Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Соболева часть 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

108	Лекции 12 - 14

x0 x1 x2

: 2a2 = 0 → a2 = 0;

: 6a3 = 2 + 4 → a3 =1;

:12a4 = 4a2 + 4a2 → a4 = 0;

……

=2an−2 n −1

……

= 24 = 12 , a6 = 0,…. y = x + x3 + 12 x5 +….

14. Ряды в комплексной области

14.1. Числовые ряды с комплексными членами

Пусть zn = an + ibn , n N - последовательность комплексных чисел.

	∞	(1) называется числовым рядом
О	Выражение ∑zn = z1 + z2 +…+ zn +…	(1) называется числовым рядом

n=1

вкомплексной плоскости.

ТРяд (1) сходится, если существует конечный предел

S =limS		n	z	=lim (a +ib )+(a +ib )+…+(a +ib ) =
S =limS		=lim	z	=lim (a +ib )+(a +ib )+…+(a +ib ) =
n→∞	n	n→∞∑ k		n→∞	1 1	2 2	k x
		k=1
	n	n		= A+iB,
=lim ∑ak +i∑bk				= A+iB,
n→∞ k=1		k=1

где A и B - пределы соответствующих частичных сумм рядов, составленных из действительных и мнимых частей чисел zn .

Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (1) явля-

			∞	∞
	ется одновременная сходимость числовых рядов ∑an			и ∑bn	с дей-
			n=1	n=1
	ствительными членами.
	∞
	∞
Т	Если сходится положительный ряд ∑	zn	, составленный из модулей
Т	Если сходится положительный ряд ∑	zn	, составленный из модулей

n=1

членов ряда (1), то ряд (1) так же сходится. Напомним, что

eiϕ = cosϕ + i sinϕ, eiϕ = cos2 ϕ + sin2 ϕ =1. z = x +iy = x2 + y2.

Функциональные ряды

109

Пример:

Исследуйте на сходимость ряды:

∞

iπn

∞

(−

1) ∑

∑(cosπn + i sinπn)= ∑

сходится условно.

n=1

∞

iπ

∑

сходится абсолютно, поскольку

n=1

∞

а)

, ряд ∑

сходится абсолютно;

n=1 n

∞

iπ

∞

cos π

∞

sin π

∞

cos π

∞

sin π

б) ∑

= ∑

+ i∑

, ряды ∑

∑

сходятся

n=1 n

n=1

∞

абсолютно по теореме сравнения со сходящимися рядом ∑

n=1

sin

так как

cos n

≤

;

≤

∞

n + 2i

∑=

(1 + i)n +

n + 2

(n + 2i)n

(n2 + 4)n 2

(1 + i)n +

((1

+ i)n + 3)n

((n + 3)2 + n2 )n 2

+ 4

n 2

Сравним полученный ряд со сходящимся рядом

+ 6n + 9

∞

1 n 2

∞

∑

=∑

который

представляет

собой

бесконечно

( 2 )

n=1

убывающую геометрическую прогрессию:

+ 4

n 2

+ 6n +

lim

=1,

исследуемый ряд сходится абсолютно.

1 n 2

n→∞

∞

2n + 5

∞

+ i

ряд

∑

сходится по при-

∑

− 2n

расходится, т.к.

n=1

un+1

(n +1)3 2n

∞

2n + 5

знаку Даламбера

, а ряд

∑

= lim

n+1

lim

− 2n

n→∞

n=1

расходится по признаку сравнивания с гармоническим рядом ∑∞ 1 :

n=1 n

110

Лекции 12 - 14

(2n

+ 5)n

lim

3n2

− 2n

n→∞

∞

+ i)

∑

расходится, так как

n=1

(

5 )n n

+ i)n n

n → ∞ .

∞

+ i)

2nn

= n n .

∑

сходится абсолютно, так как

n=1

	∞	n
Ряд	∑	n	сходится
Ряд	∑	n	сходится
	n=1	2

lim	(n +	1) 2 n
		n+1
n→∞	2		n

	∞		1
7. ∑
	n=1	(n −i)

= 12 <1.

n	= ∑n=1 (n2n++1)i	n
	∞

по признаку Даламбера:

сходится абсолютно, так как

+ (n2 +1)2 n

(n2 +1)2 n

(n2

+1)n

Сравнивая

этот

ряд

со

сходящимся

рядом

lim

=1 , убеждаемся,

что исследуемый ряд схо-

(n2

n→∞

1)n

дится абсолютно.

14.2. Степенные ряды в комплексной области

ОСтепенным рядом в комплексной области называется ряд вида

∞	(z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 )+ a2	(z − z0 )2 +...,
∑an	(z − z0 )n = a0 + a1 (z − z0 )+ a2	(z − z0 )2 +...,	(1)
n=0
где ai (i N ) u z0	- фиксированные комплексные числа, z = x + iy		- не-
зависимая комплексная переменная.
	∞
При z0 = 0 ряд принимает вид ∑an zn		= a0 + a1z + a2 z2 +...	2)

n=0

Функциональные ряды

111

ОПусть z1 - некоторое комплексное число. Ряд (1) сходится в точке z1 , если при подставке в него вместо z числа z1 , получается сходящийся ряд с комплексными членами. В противном случае ряд (1) расходится.

ТТеорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z1 , то он сходится, и притом абсолютно, в любой точке z1 , которая лежит внутри окружности с центром z0 , проходящей через z1 , т.е. для

всех z таких, что z − z0 < z1 − z0 .

ОМножество точек z, в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Для степенных рядов (1) возможны случаи: 1) ряд сходится только при z − z0 (R = 0);

2)ряд сходится при всех z(R = ∞);

3)существует такое число R>0, что ряд сходится при любом значении

z, для которого z − z0 < R и расходится при любом z, для которого z − z0 > R . Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (1), а круг z − z0 < R называется кругом сходимости ряда.

На границе области сходимости z − z0 = R ряд

может как сходиться, так и расходиться.

Для ряда (2) областью сходимости ряда является круг z < R радиуса R с центром в начале коорди-

нат.

Радиус сходимости: по признаку Даламбера:

R =

= lim

n→∞

lim

n+1

n→∞

по признаку Коши:

R =

lim n

n→∞

112

Лекции 12 - 14

Пример:

Найдите области сходимости рядов

∞

∑(z − z0 )n =1 + (z − z0 )+ (z − z0 )2 +...

R=1

Ряд

сходится внутри

n=0

круга

z − z0

<1 и расходится вне этого круга. В точках окружности

z − z0

=1 ряд расходится,

т.к. его общий член не стремится к ну-

лю.

∞

n +1

∑

= z +

+... R = lim

=1. Ряд сходится внутри кру-

n→1

n→∞

га

<1 и расходится вне этого круга. На граничной окружности

=1 в некоторых точках

(z = −1) сходится,

а в некоторых (z =1)

расходится.

∞

∑

= z +

+...

R = lim

= ∞ Ряд сходится, при том

(n −1)!

n=1

n→∞

абсолютно, при любом z.

∞

∑n!z n =1!z + 2!z 2 + 3!z3 +...

R = lim

= lim

= 0

n=1

n→∞ (n +1)!

n→∞ n +1

Ряд сходится только в точке z0 = 0 .

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать:

определение функционального ряда, точки сходимости ряда, области сходимости ряда; понятие равномерной сходимости, признак Вейерштрасса;

степенные ряды, их область сходимости, вычисление радиуса сходимости; разложение функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена; ряды Тейлора и Маклорена основных элементарных функций;

применение степенных рядов (вычисление значений функций, вычисление интегралов, не берущихся в элементарных функциях, решение дифференциальных уравнений).

Лекции 15 - 16 РЯДЫ ФУРЬЕ

При описании периодически повторяющихся явлений более естественными являются разложения изучаемых функций не в степенные ряды, а в ряды по функциям, также обладающим свойством периодичности. В лекциях 15 – 16 рассмотрены тригонометрические ряды Фурье, широко использующиеся при исследовании периодических функций.

15.1.Гармонический анализ. Ряды Фурье

15.2.Ортогональные системы функций

15.3.Тригонометрические ряды

15.4.Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π

15.5.Разложение функций в тригонометрические ряды

16.1.Разложение в ряд четных и нечетных функций с периодом 2π

16.2.Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2L

16.3.Разложение в ряд Фурье непериодических функций

16.4.Комплексная форма ряда Фурье

16.5.Интеграл Фурье

15.1.Гармонический анализ. Ряды Фурье

Гармоническим колебанием называется периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса.

ООсновной гармоникой называется простейшая периодическая функция вида (x ) = a s i n ) = ), где− ϕ 0+ ϕ 0f x x aa c o s (ω(ωy = –

амплитуда, ω - круговая частота, ϕ0 - начальная фаза колебания.

Если независимая переменная - время t, то величина у=f(t) совер-

шает		гармоническое колебание с периодом T =			2π	и	частотой
					ω
	1		ω
υ=		=		.
	T
			2π
Функции a2 (sin 2ωx +ϕ0 ), a3 sin (3ωx +ϕ0 ), ... называются							второй,

третьей, … высшими гармониками относительно основной.

114	Лекции 15 - 16

Основная гармоника может быть представлена в виде суммы двух тригонометрических функций одного и того же аргумента:

a sin (ωx +ϕ0 )= a sin ωx cosϕ0 + a cosωx sinϕ0 = Asin ωx + B cosωx .

Функции sin x и cos x являются периодическими с периодом T = 2π .

Функции sin 2x и cos 2x , sin 3x и cos3x ,… так же имеют период 2π .

Любая линейная комбинация вида

a0 + a1 cos x +b1 sin x + a2 cos 2x +b2 sin 2x +...

(1)

так же является периодической с периодом T = 2π .

Гармонический анализ используется для изучения периодических процессов. Любая величина f (t ), связанная с периодическим процес-

сом, по истечении периода T возвращается к своему первоначальному значению, т.е. является периодической функцией с периодом T .

Сущность гармонического анализа заключается в представлении функций, описывающих периодические процессы, в виде конечной или бесконечной суммы гармонических колебаний вида (1); гармонический анализ состоит в разложении периодических функций в сходящийся ряд Фурье.

15.2. Ортогональные системы функций

Предварительно докажем следующие утверждения, которые следует знать для дальнейшего изложения.

1). Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Если f(x)=-f(-x), то

∫a	f (x)= ∫0	f (x) dx + ∫a	f (x)dx =
−a	−a	0

замена х на (-х) в первом интеграле дает

= ∫0 f (x)dx + ∫a f (x)dx = ∫0 f (−x)dx + ∫a f (x)dx = −∫a f (x)dx + ∫a f (x)dx = 0 .

−a

Ряды Фурье

115

2). f(x)=f(-x) – четная функция.

∫a f (x)dx = ∫0 f (x)dx + ∫a f (x)dx =

−a

Заменяя х на (-х) в первом интеграле, получим

= −∫0 f (−x)dx + ∫a f (x)dx = ∫a f (x)dx + ∫a f (x)dx = 2∫a f (x)dx.

!Если функция f(x) имеет период 2π, то интеграл от нее по любому отрезку длины 2π имеет одно и то же значение, т.е.

			a+∫2π	f (x)dx = 2∫π			f (x)dx.			(٭)
			a			0
Имеем a+∫2π	f (x)dx = ∫0		f (x)dx +		2∫π	f (x)dx +		2π∫+a	f (x)dx	(٭٭)
a		a			0			2π		x = 2π +t, тогда
Заменим в		последнем		интеграле			правой части			x = 2π +t, тогда

2π∫+a f (x)dx = ∫a f (2π + t )dt = ∫a f (t )dt в силу периодичности f(x).

2π 0 0

Отсюда следует, что сумма первого и третьего интегралов в правой части (**) равна нулю.

Пусть функции f1 (x) и f2 (x) заданы на отрезке x [a,b,], а произведение этих функций f1 (x) f2 (x) интегрируемо на этом отрезке.

ОФункции f1 (x) и f2 (x) называются ортогональными на отрезке

[a,b], если ∫b	f1 (x)f2 (x)dx = 0.
a
Рассмотрим систему периодических тригонометрических функций
	{	}	.
с периодом 2π : cos0 =1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... cos nx, sin nx,...			.

Покажем, что эти функции ортогональны на отрезке [−π, π], а значит, в силу утверждения 3 и на любом отрезке [a, a + 2π].

Для доказательства нужно вычислить и убедиться, что интегралы

π∫sin nxdx = 0,	π∫cos nxdx = 0,	π∫cos mxsin nxdx = 0,
−π	−π	−π
π∫cos mx cos nx dx = 0 при m ≠ n ,			π∫sin mxsin nxdx = 0 при m ≠ n .
−π			−π

Действительно,

116							Лекции 15 - 16
	π		cos nx			π

1)	∫	sin nx dx = −					= 0 в силу нечетности подынтегральной

	−π		n			−π

	функции;				π
2)	π∫	cos nx dx = sin nx				=	1 (sinπn −sin (−πn))= 0 , так как sinπn = 0 .

	−π		n		−π		n

3)	π∫sin nx cos nx dx =			1 π∫sin 2nx dx = 0 в силу нечетности подынтеграль-
	−π			2 −π

ной функции.

С использованием формул:

cos nxcos mx = 12 cos(n + m)x + cos(n − m)x ;

sin nxsin mx = 12 cos(n − m)x −cos(n + m)x ; sin nx cos mx = 12 sin (m + n)x + sin (m − n)x .

Вычислим следующие интегралы:

sin nx sin mx dx =

(

cos (n

−m)x −cos (n + m)x dx =

∫

)

−π

2 −π

sin

(

n −m

)

sin

(

n + m

)

−

= 0, так как sin Rπ = 0.

n −m

n + m

−π

cos nx cos mx dx =

cos

(n −m)x +cos (n + m)x dx =

∫

∫ (

)

−π

sin

(n − m)x

sin (n + m)x

= 0 .

n − m

n + m

−π

(

sin nx cos mx dx =

sin (n

+ m)x +sin (n −m)x dx = 0

∫

)

−π

в силу нечетности подынтегральной функции системы.

Итак, ортогональность γ тригонометрических функций доказана.

Вычислим значения интегралов при m=n:

7) π∫

−π

8) ∫

−π

sin

nx dx =

(1 −cos 2nx)dx =

sin 2nx

(π +π )=π ;

2 −∫π

x −

−π

(1 +cos 2nx)dx =

sin 2nx

(π +π )=π .

cos

nx dx =

−∫π

x +

−π

Ряды Фурье

117

15.3. Тригонометрические ряды

ОФункциональный ряд вида:

a0 + a1 cos x +b1 sin x + a cos 2x +b2 sin 2x +... = a0		∞
a0 + a1 cos x +b1 sin x + a cos 2x +b2 sin 2x +... = a0		+ ∑(an cos nx +bn
2	2	n=1
называется	тригонометрическим рядом,	а постоянные
an , bn , (n =1,	2, 3...) называются коэффициентами ряда.

sin nx)

числа

15.4.Коэффициенты Фурье и ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π

ТЕсли f(x) непрерывная периодическая функция с периодом 2π, интегрируемая на интервале (-π, π), такая, что для всех х справедливо разложение

	a0	∞
f (x)=		+ ∑(an cos nx +bk sin nx),	(1)

2		n=1

и ряд сходится к f(x) равномерно, то для коэффициентов ряда справедливы формулы Фурье:

(

x dx,

a =

(

)

cos nx dx,

b =

π f

(

)

sin nx dx

∫

)

∫

−π

Доказательство:

Так как ряд (1) сходится к f(x) равномерно, то его можно интегри-

ровать почленно:

x dx =

dx +

∞

a cos nx dx + π b sin nx dx

(2)

∫

(

∫

∑ ∫

)

∫

−π

n=1 −π

−π

В п. 15.1. показано, что

π∫ an

cos nx dx = 0,

π∫bn sin nx dx = 0 .

−π

Значит, из (2)

π∫ f (x)dx = π a0 ,

откуда a0

f (x)dx.

(3)

∫

−π

Умножим ряд (1) почленно на cos kx и проинтегрируем:

∞

∫ f (x)cos kx dx =

∫cos kx dx +∑

an ∫cos nx cos kxdx +bn ∫sin nxcos kx dx

−π

n=1

−π

так как все интегралы кроме того, для которого n = k , равны нулю, (см. п. 15.1.), получаем:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019861 Кб136Лекции РИМ сводная_1.doc
#
17.11.2019236 Кб13Лекции РЦБ - кусочки.doc
#
21.12.2018682 Кб62Лекции сенсоры.doc
#
24.08.2019643 Кб54Лекции сенсоры.doc
#
23.02.2015732 Кб18лекции сист эл снабж.pdf
#
23.02.20153 Мб81Лекции Соболева часть 3.pdf
#
22.02.20151 Мб377Лекции соц психология.doc
#
23.02.20155 Мб111Лекции Стечкина по матану.pdf
#
01.05.20252 Мб5Лекции ТОМ 7.12.07doc.doc
#
21.12.201816 Мб64Лекции ТЭПП.doc
#
01.04.20253 Мб6ЛЕКЦИИ УПРАВЛЕНИЕ ДАННЫМИ 2012.doc