Algebra3

Обозначим через B множество всех ультрафильтров булевой алгебры B. Для любого элемента a B введем

Ua = {U B | a U}.

Теорема 3.18. Пусть B — булева алгебра, a, b B. Тогда

(1)Ua = a = 0;

(2)Ua = B a = 1;

(3)Ua ∩ Ub = Ua b;

(4)Ua Ub = Ua b;

(5)Ua′ = B \ Ua;

Доказательство. (1) ( ) Если a 6= 0, то a′ 6= 1 и I =

Ba′ — идеал в B . Идеал I является собственным, так как в противном случае 1 I и найдется x B такой, что 1 = xa′. Но a′(a′ − 1) = 0 в булевом кольце, следовательно,

a′ − 1 = 1(a′ − 1) = xa′(a′ − 1) = 0, a′ = 1,

— противоречие.

Если I — собственный идеал, то F = I′ — собственный фильтр, a F . Любой собственный фильтр не содержит 0, поэтому по предложению 3.16 найдется ультрафильтр U F a, т. е. U Ua.

( ) Очевидно по определению.

(2)( ) Если a 6= 1, то множество {1} является фильтром, не содержащим a. По предложению 3.16 найдется ультра-

фильтр U такой, что a / U, поэтому U / Ua. ( ) Очевидно по определению.

(3)( ) Если U Ua, U Ub, то a, b U. По определению фильтра a b U, что означает U Ua b.

( ) Если U Ua b, то a b U. Тогда a (a b) = a U и a = b (a b) U, поэтому U Ua ∩ Ub.

(4) ( ) Допустим, U Ua Ub. Тогда a U или b U. В любом случае a b U по определению фильтра.

Следовательно, U Ua b

( ) Допустим, U Ua b, но a / U, b / U. Тогда J = U′ — максимальный идеал в B , a′ / J, a′ / J, но a′b′ = (a b)′ J.

Это невозможно в силу того, что B /J не имеет делителей нуля (это поле из двух элементов).

81

(5) Если U a′, то U 6a по предложению 3.17. Сле-

3.4. Двойственность Стоуна. Рассмотрим классиче-

скую конструкцию, связывающую булевы алгебры с топологическими пространствами.

Напомним, что топологическим пространством называ-

ется пара

X = (X, τ),

где X — непустое множество, τ P(X) — такая совокупность подмножеств, что

• τ, X τ;

• для любого семейства подмножеств {Yi}i I , Yi τ, их объединение Y = S Yi снова лежит в τ;

i I

• если Y1, Y2 τ, то Y1 ∩ Y2 τ.

Совокупность τ называется топологией на множестве X, подмножество Y τ называется открытым в X. Дополнения к открытым подмножествам называются замкнутыми в X. Если Y τ и X \ Y τ, то Y называется открыто-

Топологическое пространство X = (X, τ) называется ком-

пактным, если для любого покрытия

[

X = Yi, Yi τ,

i I

можно выбрать конечное подпокрытие

X = Yi1 · · · Yin .

Напомним также, что топологическое пространство X = (X, τ) называется хаусдорфовым, если для любых двух x, y X, x 6= y, найдутся Y1, Y2 τ такие, что

x Y1, y Y2, Y1 ∩ Y2 = .

82

Рассмотрим булеву алгебру B и множество X = B всех ее ультрафильтров. Введем топологию на этом множестве следующим образом:

Из теоремы 3.18 вытекает, что это действительно топология на B , причем множества вида Ua, a B, являются открытозамкнутыми. Базисом этой топологии является множество

τ0 = {Ua | a B},

которое состоит из открыто-замкнутых множеств. Построенное топологическое пространство обозначим через B .

Теорема 3.19. Для любой булевой алгебры B топологиче- ское пространство B является компактным и хаусдорфо- вым.

Доказательство. Для доказательства компактности достаточно убедиться, что из любого покрытия B базисными открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.

Допустим, [

B = Ua, A B.

a A

Рассмотрим идеал I булева кольца B , порожденный мно-

жеством A:

( ) Xn

Если I 6= B, то F = I′ — собственный фильтр, вкладывается в некоторый ультрафильтр U B . Поскольку A I, то A′ I′ U. Но, поскольку множество всех ультрафильтров покрывается семейством {Ua}a A, то и U Ua для некоторого a A. Таким образом, a, a′ U, что невозможно.

Следовательно, I = B и, в частности, 1 I:

83

Лемма 3.20. Если U — ультрафильтр булевой алгебры B

и x + y U, то x U или y U.

Доказательство. Если x / U и y / U, то x, y U по предложению 3.17. Следовательно, x′, y′ / U′ = J, где J — максимальный идеал в B , а x, y J. Тогда

J(x + y)′ = ((x′ y) (x y′))′ = (x′ y)′ (x y′)′

=(x y′) (x′ y) = (x + y′ + xy′)(x′ + y + x′y),

откуда следует, что x′y′ J. Мы уже видели, что это невозможно для максимального идеала в булевом кольце.

Из доказанной леммы и разложения ( ) следует, что для любого ультрафильтра U B найдется i {1, . . . , n} такое,

что xiai U. Тогда ai U и, значит, U Uai . Следовательно,

B = Ua1 · · · Uan

— конечное подпокрытие.

Покажем хаусдорфовость пространства B . Для любых U1, U2 B , U1 6= U2, найдется a U1 \ U2. Тогда

Мы показали, как по данной булевой алгебре построить топологическое пространство. Построим обратную конструкцию. Пусть X = (X, τ) — топологическое пространство. Обозначим через X совокупность всех открыто-замк- нутых подмножеств в X. По аксиомам топологического пространства, X замкнуто относительно операций , ∩, и дополнения ′, т. е. является подалгеброй в булевой алгебре P(X) всех подмножеств множества X. Обозначим

X = (X , , ∩, ′, 0 = , 1 = X).

Теорема 3.21 (двойственности Стоуна). Если B — булева алгебра, то B (B ) .

84

Доказательство. Обозначим через B множество всех открыто-замкнутых множеств пространства B и рассмо-

трим отображение

ϕ : B → B ,

заданное правилом

ϕ(a) = Ua, a B.

Из теоремы 3.18 следует, что это гомоморфизм булевых алгебр. Остается проверить биективность этого отображения.

A

— открытое покрытие компактного пространства, из которого можно выбрать конечное подпокрытие

Теорема 3.21 позволяет получить еще одно доказательство теоремы 3.14.

Пусть B — конечная булева алгебра. Тогда B — конечное множество, и поэтому B — конечное хаусдорфово топологическое пространство. Легко понять, что такое пространство дискретно, т. е. его топология совпадает с P(B ) —

любое подмножество в B открыто-замкнуто. Следовательно,

B = P(B ) и B P(B ).

85

§ 4. Свободные полугруппы и переписывающие системы

4.1. Свободная полугруппа. Обозначим через Smg

многообразие полугрупп, т. е. класс всех алгебраических систем A, сигнатура которых состоит из одной бинарной операции ·, на которых выполнено тождество ассоциативности:

A|= x1 · (x2 · x3) ≈ (x1 · x2) · x3.

Вдальнейшем, как обычно, мы будем опускать символ операции там, где это возможно: для a, b A будем писать ab вместо a · b.

Пусть X — некоторое непустое множество, FSmg(X) — свободная алгебра многообразия Smg, порожденная множеством X (поскольку многообразие полугрупп нетривиально,

можно считать, что X FSmg(X)).

Приведем явную конструкцию этой полугруппы. Рассмотрим множество X всех непустых слов в алфавите X:

n≥1

Длиной слова u X называется такое n ≥ 1, что u Xn. Через X# обозначим X {ε}, где ε — пустое слово (длины нуль).

На множестве X определим бинарную операцию

·: (u, v) 7→uv, u, v X ,

где uv — конкатенация (соединение) слов u и v. Множество X с указанной операцией является полугруппой, которую мы будем обозначать SmghXi.

Замечание 4.1. Более строгое описания понятий слова в алфавите X и конкатенации слов состоит в следующем. Слово u длины n в алфавите X — это функция из множества нату-

ральных чисел {1, . . . , n} в множество X: если u = x1 . . . xn, xi X, то u(i) = xi. Конкатенация двух слов u и v, имеющих

длину n и m соответственно — это слово w длины n + m,

86

Теорема 4.2. Полугруппы FSmg(X) и SmghXi изоморфны, причем x X соответствует x X1 X .

Доказательство. Рассмотрим вложение X X , полученное отождествлением X и X1. Полугруппа SmghXi порождена множеством X. Пусть A — некоторая полугруппа, и пусть α : X → A — некоторое отображение. Тогда существует отображение ϕ: X → A, однозначно определен-

ное правилом ϕ(x1 . . . xn) = ϕ(x1) . . . ϕ(xn), n ≥ 1, xi X.

Очевидно, что ϕ — гомоморфизм полугруппы SmghXi в A, причем ϕ|X = α.

Мы показали, что SmghXi является универсальной алгеброй для класса Smg над множеством X. Поскольку любое многообразие содержит единственную (с точностью до изоморфизма) такую алгебру, имеем FSmg(X) SmghXi.

Рассмотрим множество S X × X и конгруэнцию θ = θS полугруппы SmghXi, порожденную множеством S, т. е. наименьшую конгруэнцию полугруппы SmghXi, содержащую S. Пусть

Из теоремы о гомоморфизмах сразу следует, что полугруппа SmghX | Si обладает следующим свойством: для любой полугруппы A и для любого гомоморфизма ϕ: SmghXi → A такого, что ϕ(u) = ϕ(v) для всех hu, vi S, существует гомоморфизм ψ : SmghX | Si → A такой, что ϕ = ψτθS .

Говорят, что полугруппа A задана множествами поро-

ждающих элементов X и определяющих соотношений S,

если A SmghX | Si.

Один из наиболее важных вопросов о полугруппе вида (4.1) состоит в следующем: для двух данных слов u, v X определить, равны ли их образы u/θS и v/θS в полугруппе SmghX | Si. Эта задача известна как проблема равенства для полугруппы SmghX | Si. Этот вопрос относится

87

к числу алгоритмически неразрешимых: существуют конечные множества X и S такие, что не существует алгоритма, позволяющего для любых данных слов u, v X определить, равны ли их образы.

Другой класс задач, связанных с представлением полугрупп в виде (4.1), состоит в том, чтобы для данной полугруппы A найти множества X и S X × X такие, что A SmghX | Si. С одной стороны, решением такой задачи всегда является X = A, S = {hab, ci | c = a · b, a, b A} (здесь a · b A — результат вычисления операции в полугруппе A, а ab в левой части соотношения означает слово длины два). С другой стороны, например, для реализации бесконечных полугрупп в системах компьютерной алгебры такое решение не годится, поскольку вычислительная машина способна работать лишь с конечным объемом данных. Кроме того, описание конкретной полугруппы A может не быть в достаточной мере конструктивным: например, если A — множество отображений некоторого множества в себя, обладающих некоторым свойством, сохраняющимся при композициях (эндоморфизмов алгебраических систем, преобразований симметрии геометрических объектов и т. п.).

Мы рассмотрим процедуру, не являющуюся алгоритмом в обычном смысле, которая позволяет решать проблему равенства для различных полугрупп. Эта же процедура помогает находить определяющие соотношения для данной полугруппы.

4.2. Конгруэнции полугрупп. Пусть A — некоторая полугруппа, F — некоторое коммутативное кольцо с единицей (или поле). Множество всех функций f : A → F таких, что f(a) = 0 для почти всех a A, обозначим через F A. Каждый элемент f F A отождествим с формальным выражением

Xn

αiai, n ≥ 0, αi = f(ai) F, ai A,

i=1

где {a1, . . . , an} = {a A | f(a) 6= 0}.

88

Определим операцию умножения ·: F A × F A → F A по следующему правилу: если

Правило (4.2) по сути означает, что для вычисления fg нужно раскрыть скобки в произведении соответствующих линейных комбинаций и привести подобные слагаемые.

Очевидно, что векторное пространство F A с введенной операцией умножения является алгеброй над кольцом F . Эта алгебра называется полугрупповой алгеброй полугруппы A и обозначается F A. Легко проверить, что

F A |= x1(x2x3) ≈ (x1x2)x3,

т. е. эта алгебра ассоциативна.

Мы рассмотрим простейший случай, когда F = Z2 — поле из двух элементов. Полугрупповую алгебру полугруппы A будем в этом случае обозначать через A .

Предложение 4.3. 1. Если θ — конгруэнция полугруппы

A, то множество

( ) Xn

является идеалом алгебры A .

2. Если I — идеал алгебры A , то

θ(I) = {hu, vi | u, v A, u + v I}

является конгруэнцией полугруппы A.

3.Если θ1 θ2, то I(θ1) I(θ2). Если I1 I2, то

θ(I1) θ(I2).

4.Если θ Cong A, то θ(I(θ)) = θ.

Доказательство. Утверждения 1, 2 и 3 очевидны. Докажем утверждение 4.

89

Если n = 0, то u = v. При n = 1 обязательно выполняется равенство {u, v} = {u1, v1}, поэтому hu, vi θ.

Пусть n ≥ 2. Если u 6= v, то элементы u и v обязательно встретятся среди элементов {ui, vi | i = 1, . . . , n}. Если

{u, v} = {ui, vi} для некоторого i {1, . . . , n}, то hu, vi θ.

В противном случае перенумеруем пары hui, vii так, чтобы u = u1, v = vn. Тогда

Xn−1

0 = v1 + (ui + vi) + un,

i=2

откуда по предположению индукции получаем hv1, uni θ. Транзитивность отношения θ влечет hu, vi θ.

Следствие 4.4. Пусть A — некоторая полугруппа, S A×A. Тогда θS совпадает с θ(J), где J — идеал алгебры A , порожденный множеством S+ = {u + v | hu, vi S} A .

Доказательство. Очевидно, что θ(J) S и I = I(θS )

Замечание 4.5. В ассоциативной алгебре A идеал, порожденный данным множеством B Z2A, состоит из всех сумм вида

где nk ≥ 0, bi, ci, c′i, di B, ui, vi, vi′ A.

90