Algebra3

аналогично,

P (V) = P (HSP (K)) HP SP (K) HSP P (K)

=HJSP P (K) = HSJP P (K) = HSJP (K) = HJSP (K)

=HSP (K) = V.

Следовательно, V = HSP (K) — многообразие. Заметим, что

HSP (K) HP (K) JP (K) K.

Если V′ — какое-то многообразие, содержащее класс K, то

HSP (K) HSP (V′) V′.

Класс HSP (K) называется многообразием, порожденным классом K.

1.6. Тождества. Пусть X = {x1, x2, . . . } — счетное множество, TF (X) — множество термов сигнатуры F от переменных X. Говорят, что алгебра A той же сигнатуры F

удовлетворяет тождеству p ≈ q, p, q TF (X), если

A |= x1 . . . xnp ≈ q, p = p(x1, . . . , xn), q = q(x1, . . . , xn).

Предложение 1.34. Алгебра A удовлетворяет тождеству p ≈ q, p, q TF (X), X = {x1, x2, . . . }, тогда и только тогда, когда ϕ(p) = ϕ(q) для любого гомоморфизма ϕ : TF (X) →

A.

Доказательство. Пусть A |= x1 . . . xnp ≈ q. То-

гда для любого гомоморфизма ϕ имеем

ϕ(p(x1, . . . , xn)) = p(ϕ(x1), . . . , ϕ(xn))

= q(ϕ(x1), . . . , ϕ(xn)) = ϕ(q(x1, . . . , xn)).

Присвоение значений из A переменным, входящим в термы p и q, осуществляется при помощи некоторого отображения α : X → A. В силу универсального свойства

32

любое такое отображение продолжается до гомоморфизма ϕ : TF (X) → A. При этом

p(α(x1), . . . , α(xn)) = ϕ(p(x1, . . . , xn))

= ϕ(q(x1, . . . , xn)) = q(α(x1), . . . , α(xn)).

В дальнейшем обозначение

A |= p ≈ q, p, q TF (X)

означает, что алгебра A удовлетворяет тождеству p ≈ q в смысле предложения 1.34.

Если Σ — некоторое множество тождеств, то A |= Σ означает, что A удовлетворяет каждому тождеству множества Σ. Если при этом K — некоторый класс алгебр, то

K |= Σ

означает, что каждая алгебра класса K удовлетворяет каждому тождеству множества Σ.

Теорема 1.35. Пусть Σ — некоторое множество тождеств сигнатуры F. Тогда класс

V(Σ) = {A | A |= Σ}

является многообразием.

Доказательство. Пусть V = V(Σ) Проверим H(V)

V. Действительно, пусть ψ : A → B — эпиморфизм, и

ϕ: TF (X) → B

—гомоморфизм. Тогда ϕ(xi) = bi, xi X, i = 1, 2, . . . , и для каждого bi можно найти ai A такое, что ψ(ai) = bi.

Отображение X → A, xi 7→ai, продолжается до гомоморфизма χ : TF (X) → A, причем χ ◦ ψ = ϕ (т. к. эти гомоморфизмы совпадают на множестве X порождающих алгебры

TF (X)).

Если A V, то χ(p) = χ(q) для любого тождества p ≈ q Σ. Поэтому B |= p ≈ q.

33

Проверим S(V) V. Легко видеть, что любой гомоморфизм

ϕ : TF (X) → B A V

можно рассматривать как гомоморфизм в A, поэтому ϕ(p) = ϕ(q) для любого p ≈ q Σ.

Проверим P (V) V. Рассмотрим некоторое семейство

алгебр (Ai)i I из V, их прямое произведение

Y

A = Ai

i I

и произвольный гомоморфизм

ϕ : TF (X) → A.

Тогда

ϕi = ϕ ◦ πi : TF (X) → Ai,

поэтому ϕi(p) = ϕi(q) для всех i I и для всех p ≈ q

Предложение 1.36. Пусть K — класс алгебр сигнатуры F, X — непустое множество, p, q TF (X). Тогда следую- щие условия эквивалентны:

(1)K |= p ≈ q;

(2)FK(X) |= p ≈ q;

(3)(p, q) θK(X) Cong TF (X).

Доказательство. (1) (2) Согласно теореме 1.30

FK(X) JSP (K) V({p ≈ q}).

Следовательно, FK(X) |= p ≈ q.

(2) (3) По условию (2) для любого гомоморфизма

ϕ : TF (X) → FK(X)

выполняется равенство ϕ(p) = ϕ(q). В частности, это верно

34

Введем следующее обозначение: для некоторого класса K алгебр сигнатуры F и непустого множества X положим

Id(K, X) = {p ≈ q | p, q TF (X), K |= p ≈ q}.

Предложение 1.37. Пусть K — класс алгебр, X и Y — бесконечные множества. Тогда

V(Id(K, X)) = V(Id(K, Y )).

Доказательство. В силу симметрии достаточно показать вложение « ».

Пусть p, q TF (Y ),

p = p(y1, . . . , yn), q = q(y1, . . . , yn).

Обозначим Y0 = {y1, . . . , yn} Y .

Следующее утверждение формализует очевидный факт, что утверждение «A |= p ≈ q» не зависит от множества всех переменных Y , для его проверки достаточно рассматривать только переменные из Y0, т. е. те, от которых реально зависят термы p и q.

Лемма 1.38. Для любой алгебры B

B |= p ≈ q ϕ(p) = ϕ(q) ϕ : TF (Y0) → B.

Доказательство. Пусть ϕ : TF (Y0) → B. По-

строим α : Y → B такое, что α(y) = ϕ(y) для всех y Y0. Продолжим α до гомоморфизма ψ : TF (Y ) → B.

Поскольку ψ|Y0 = ϕ, мы имеем ψ(t) = ϕ(t) для любого t

TF (Y0) TF (Y ). Следовательно, ϕ(p) = ψ(p) = ψ(q) = ϕ(q).

Следует из того, что TF (Y0) TF (Y ).

Лемма 1.39. Пусть τ : X → Y0 — сюръекция множеств, X0 = {x1, . . . , xn} — множество выбранных прообразов xi τ−1[yi]. Тогда отображение τ продолжается до изомор-

физма

35

Доказательство. Действительно, τ¯ является изоморфизмом, поскольку |X0| = |Y0|, а алгебра термов универсальна в классе всех алгебр. Условие (1.4) вытекает из рассмотрения диаграммы

Если ϕ : TF (X0) → B — некоторый гомоморфизм, то

ψ = τ¯−1 ◦ ϕ : TF (Y0) → B и ψ(p) = ϕ(px), ψ(q) = ϕ(qx).

Надо показать, что A |= p ≈ q для любой алгебры A

V(Id(K, X)).

Из леммы 1.38 следует, что

p ≈ q Id(K, Y0),

поэтому для любой B K

B |= p ≈ q B |= px ≈ qx

по лемме 1.39, и, следовательно, px ≈ qx Id(K, X).

Таким образом, если A V(Id(K, X)), то A |= px ≈ qx, что эквивалентно A |= p ≈ q по лемме 1.39. Следовательно,

A V(Id(K, Y )).

Теорема 1.40 (Биркгофа о многообразиях). Класс алгебр

K сигнатуры F является многообразием тогда и только тогда, когда существует такое множество тождеств Σ сиг- натуры F, что K = V(Σ).

Доказательство. Достаточно доказать утверждение «только тогда», поскольку «тогда» доказано в теореме 1.35.

36

Пусть K — многообразие. Если K содержит только тривиальные алгебры A (|A| = 1), то он определяется тождеством x1 ≈ x2. Действительно, поскольку все тривиальные алгебры изоморфны, то в этом случае K — это класс всех тривиальных алгебр. Но A |= x1 ≈ x2 тогда и только тогда, когда алгебра A тривиальна.

Далее полагаем, что многообразие K содержит нетривиальные алгебры. Рассмотрим X = {x1, x2, . . . } — счетное множество, и пусть

Σ = Id(K, X), K′ = V(Σ).

Очевидно, что K K′. Покажем, что обратное вложение также верно.

Рассмотрим A K′, A = SgA(A0), A0 A. Выберем множество Y таким, чтобы

|Y | = max{ω, |A0|}

(ω — мощность счетного множества). Тогда Y — бесконечное множество и существует сюръекция множеств

α : Y → A0.

По предложению 1.37

K′ = V(Id(K, X)) = V(Id(K, Y )).

Но в силу предложения 1.36((1) (2))

Id(K, Y ) = Id({FK(Y )}, Y ), Id(K′, Y ) = Id({FK′ (Y )}, Y ).

Сравним свободные алгебры F = FK(Y ) и F′ = FK′ (Y ):

F = TF (Y )/θK(Y ), F = TF (Y )/θK′ (Y ).

Согласно предложению 1.36((1) (3))

Действительно, утверждение « » следует из того, что K K′. Утверждение « » следует из конструкции K′: это класс всех алгебр, удовлетворяющих всем тем тождествам, которые выполнены на K.

37

Наконец, по предложению 1.36((1) (3))

p ≈ q Id(K′, Y ) (p, q) θK′ (Y ).

Мы установили, что

θK(Y ) = θK′ (Y ),

поэтому

F′ = F K.

Но алгебра A является гомоморфным образом F′, следова-

Упражнение. Докажите, что любое нетривиальное многообразие содержит нетривиальную простую алгебру.

38

§2. Решетки

2.1.Основные определения и примеры. Рассмот-

рим частично упорядоченное множество (A, ≤). Напомним, что верхней гранью подмножества M A называется такой элемент c A, что c ≥ x для всех x M. Точной верхней гранью подмножества M называется наименьший элемент среди всех верхних граней M. Если точная верхняя грань существует, то она единственна и обозначается sup M. Аналогично определяется точная нижняя грань подмножества M — это наибольший элемент среди всех нижних граней M, который (если существует) обозначается inf M.

Определение 2.1. Частично упорядоченное множество (A, ≤ ), A 6= , называется решеткой, если для любых a, b A существуют элементы c, d A такие, что c = sup{a, b}, d = inf{a, b}.

Заметим, что в любой решетке существуют sup M и inf M для любого конечного подмножества M:

sup{x1, . . . , xn} = sup{x1, sup{x2, . . . , sup{xn, xn−1} . . . }}, inf{x1, . . . , xn} = inf{x1, inf{x2, . . . , inf{xn, xn−1} . . . }},

Рассмотрим сигнатуру FL, состоящую из двух функциональных символов и арности два. На любой решетке (A, ≤) можно задать структуру алгебры сигнатуры FL следующим образом:

a b = sup{a, b}, a b = inf{a, b}

для всех a, b A. Получаем алгебру A = (A, FLA), для которой верно следующее утверждение.

Предложение 2.2. (Р1) A |= x1 (x2 x3) ≈ (x1 x2) x3,

A |= x1 (x2 x3) ≈ (x1 x2) x3;

(Р2) A |= x1 x2 ≈ x2 x1, A |= x1 x2 ≈ x2 x1; (Р3) A |= x1 x1 ≈ x1, A |= x1 x1 ≈ x1,

(Р4) A |= x1 (x1 x2) ≈ x1, A |= x1 (x1 x2) ≈ x1.

Тождества (Р1)–(Р4) известны как аксиомы ассоциативности, коммутативности, идемпотентности и поглощения.

39

Доказательство. (Р1) Очевидно (и легко проверяется), что для любых a, b, c A

Обозначим через L класс всех алгебр сигнатуры FL, удовлетворяющих тождествам (Р1)–(Р4). Как показано в предложении 2.2, на любой решетке (A, ≤) можно определить структуру алгебры из класса L так, что a b = sup{a, b}, a b = inf{a, b} для любых a, b A. Следующая теорема отвечает на вопрос, любая ли алгебра из класса L получается таким образом из некоторой решетки.

Теорема 2.3. Пусть A L. Тогда на множестве A можно так определить частичный порядок ≤, что (A, ≤) — ре- шетка, причем sup{a, b} = a b, inf{a, b} = a b для любых a, b A.

Доказательство. Для a, b A положим a ≤ b в том и только том случае, когда a b = b. Заметим, что

a b = b a b = a,

это легко следует из (Р4).

Проверим, что ≤ — отношение частичного порядка. Рефлексивность a ≤ a следует из (Р3). Покажем антисимметричность: используя (Р2), запишем

a ≤ b a = a b = b a, b ≤ a a = b a

и получим

a = b a = b (b a) = b

по (Р4). Покажем транзитивность:

a ≤ b b = a b, b ≤ c c = b c,

поэтому

a c = a (b c) = (a b) c = b c = c,

т. е. a ≤ c.

40