Algebra3

Проверим, что χ — гомоморфизм. Для любого f F , ν(f) = n, и для любых b1, . . . , bn B1 имеем

Поскольку ψ(a) не зависит от конкретного выбора a, найдем ai A такие, что ϕ(ai) = bi (i = 1, . . . , n), и возьмем

a = fA(a1, . . . , an).

Этот элемент удовлетворяет условию ( ) и

ψ(a) = fB2 (ψ(a1), . . . , ψ(an)),

где ψ(ai) = χ(bi) по построению χ.

Теорема 1.7 представляет наиболее употребительный факт о гомоморфизмах алгебр. Аналоги классических теорем о гомоморфизмах для групп, колец и т. п. также переносятся на произвольные алгебры.

Следствие 1.8. Пусть A и B — алгебры сигнатуры F.

(1) Если ϕ : A → B — гомоморфизм, то

A/ Ker ϕ Im ϕ B.

(2) Если B A, θ Cong A, то θB = θ ∩ B2 Cong B,

причем

B/θB A/θ.

11

(3) Если B A, θ Cong A, то B1 = τθ−1[τθ(B)] соответ- ствует подалгебре B1 A, причем

B/θB B1/θB1 .

Доказательство. (1) Применим теорему 1.7 к B1 =

Im ϕ B, B2 = A/θ, ψ = τθ, где θ = Ker ϕ, — это можно сделать, поскольку Ker ϕ = Ker τθ. Найдем χ1 : Im ϕ → A/θ

такой, что τθ = ϕ ◦ χ1.

Затем применим теорему 1.7, поменяв B1 и B2 местами:

найдем такое χ2 : A/θ → Im ϕ, что ϕ = τθ ◦ χ2.

Тогда τθ = ϕ ◦ χ1 = τθ ◦ χ2 ◦ χ1, т. е. τθ = τθ ◦ (χ2 ◦

χ1). Поскольку τθ сюръективно, это означает χ2 ◦ χ1 = idA/θ.

Аналогично, ϕ = τθ ◦ χ2 = ϕ ◦ χ1 ◦ χ2, χ1 ◦ χ2 = idIm ϕ. Таким образом, Im ϕ A/θ.

Таким образом, B и B1 — две подалгебры в A, их образы относительно τθ : A → A/θ совпадают. Поскольку Ker(τθ|B) =

θ ∩ B2 = θB, Ker(τθ|B1 ) = θB1 , то по (1)

B/θB Im τθ|B = Im τθ|B1 B1/θB1 .

12

Упражнение. Пусть A = (A, FA) — алгебра. Доказать, что отображение

CgA : P(A × A) → P(A × A),

которое любому подмножеству X A × A ставит в соответствие наименьшее θ Cong A, содержащее множество X, является алгебраическим оператором замыкания.

1.2. Прямое произведение алгебр. Пусть I — неко-

торое непустое множество, (Ai)i I — семейство алгебр сиг-

натуры F. Прямым (или декартовым) произведением этого семейства алгебр называется алгебра A = (A, FA), в которой

fA(a1, . . . , an) : i 7→fAi (a1(i), . . . , an(i))

для любых f F , ν(f) = n, ak A, k = 1, . . . , n, i I.

Прямое произведение семейства алгебр (Ai)i I обозначается

через

Y

Ai.

i I

Для того, чтобы доказать ряд полезных свойств прямого произведения, нам нужна универсальная характеризация этой алгебры. Отметим сперва несколько очевидных свойств.

Пусть (Ai)i I — семейство алгебр сигнатуры F, A — некоторая алгебра той же сигнатуры. Семейство гомоморфизмов

ϕi : A → Ai, i I,

называется полным (или разделяющим точки), если для лю-

бых a, b A

( i I ϕi(a) = ϕi(b)) a = b.

Иными словами, полнота семейства гомоморфизмов означает, что пересечение их ядер совпадает с A.

13

Например, если A = Q Ai, то для любого i I отображе-

i I

ние

πiA = πi : A → Ai,

: a 7→a(i), a A,

является эпиморфизмом A → Ai, называемым канонической проекцией. Семейство канонических проекций (πi)i I является полным Ниже мы будем опускать символ алгебры в обозначении канонической проекции там, где его значение ясно из контекста.

Отметим одно свойство полных семейств гомоморфизмов (не обязательно канонических проекций).

Лемма 1.9. Если A, Ai (i I) — алгебры сигнатуры F, πi : A → Ai — некоторое полное семейство гомоморфизмов, χ : A → A — гомоморфизм, то

( i I χ ◦ πi = πi) χ = idA.

Доказательство. Для любых a A, i I выполняется

моморфизмов (δi)i I , δi : B → Ai, существует гомоморфизм δ : B → A такой, что

δ ◦ πi = δi i I.

Доказательство. Определим δ : B → A по правилу

δ(b)(i) = δi(b), b B, i I.

Проверим, что δ — гомоморфизм алгебр сигнатуры F. Рас-

смотрим f F , n = ν(f), b1, . . . , bn B. Тогда δ(fB(b1, . . . , bn))(i) = δi(fB(b1, . . . , bn))

= fAi (δi(b1), . . . , δi(bn)) = fAi (δ(b1)(i), . . . , δ(bn)(i))

= (fA(δ(b1), . . . , δ(bn)))(i)

для любого i I. Следовательно,

δ(fB(b1, . . . , bn)) = fA(δ(b1), . . . , δ(bn)).

14

Наконец, равенство δ ◦ πi = δi выполнено по построению.

Следующее утверждение является в некотором смысле обратным к предложению 1.10.

Теорема 1.11. Пусть (Ai)i I — семейство алгебр сигна- туры F, и пусть A — алгебра той же сигнатуры, удовле- творяющая следующим двум условиям:

(а) для любого i I существует гомоморфизм ϕi : A → Ai, причем семейство (ϕi)i I полное;

(б) для любой алгебры B сигнатуры F и для любого семейства гомоморфизмов (δi)i I , δi : B → A существует

такое δ : B → A, что δ ◦ ϕi = δi.

Q

Тогда существует изоморфизм ψ : A → Ai, причем ϕi =

i I

ψ ◦ πi.

Доказательство. Применим предложение 1.10, рассмотрев в качестве B алгебру A, а в качестве δi — ϕi, i I.

Получим, что существует гомоморфизм

Y

χ1 : A → Ai, χ1 ◦ πi = ϕi, i I.

i I

Затем применим условие (б) теоремы, взяв в качестве B

Q

алгебру Ai, а в качестве δi — πi, i I. Получим, что

По лемме 1.9 χ1 ◦χ2 и χ2 ◦χ1 — тождественные отображения,

также задано отображение σ : I → J и для каждого i I

15

определен гомоморфизм ϕi : Bσ(i) → Ai. Тогда существует

гомоморфизм

Доказательство. Определим ϕ : B → A по правилу

ϕ(b)(i) = ϕi(b(σ(i))), b B, i I.

Тогда ϕ ◦ πiA = πσB(i) по построению. Непосредственной проверкой легко убедиться, что это — гомоморфизм алгебр: для

fF , ν(f) = n, b1, . . . , bn B

ϕ(fB(b1, . . . , bn))(i) = ϕi(fB(b1, . . . , bn)(σ(i)))

=ϕi(fBσ(i) (b1(σ(i)), . . . , bn(σ(i)))) = fAi (ϕ(b1)(i), . . . , ϕ(bn)(i))

= fA(ϕ(b1), . . . , ϕ(bn))(i)

Непосредственными следствиями этого предложения являются свойства коммутативности и ассоциативности прямого произведения.

Следствие 1.13. Пусть (Ai)i I — семейство алгебр сиг- натуры F, σ S(I) — биективное отображение I на себя,

(Bi = Aσ(i))i I . Тогда

16

Следствие 1.14. Пусть (Ai)i I — семейство алгебр сигна- туры F, σ : I → J — сюръективное отображение множеств (J 6= ). Обозначим

Y

k I:σ(k)=σ(i)

Найдем гомоморфизм ϕ такой, что диаграмма

коммутативна для любого i I. Остается показать, что ϕ — изоморфизм.

Покажем сперва инъективность. Пусть b1, b2 B, b1 6= b2. Тогда существует j J такой, что b1(j) 6= b2(j) в алгебре Bj = Q Ak. Следовательно, для некоторого k Ij имеем

k Ij

b1(j)(k) 6= b2(j)(k) в алгебре Ak, k I. Но если ϕ(b1) = ϕ(b2) A, то

b1(j)(k) = πkA(ϕ(b1)) = πkA(ϕ(b2)) = b2(j)(k),

— противоречие.

Покажем сюръективность. Для данного a A возьмем b B такой, что b(j)(k) = a(k) для данных j J, k Ij . Тогда ϕ(b) = a.

Полученную в теореме 1.11 характеризацию прямого произведения можно перевести с языка гомоморфизмов на язык конгруэнций. Приведем необходимые необходимые понятия.

17

Пусть A = (A, FA) — алгебра. Семейство конгруэнций (θi)i I , θi Cong A, называется независимым, если для любого отображения α : I → A найдется a A такое, что (a, α(i)) θi для всех i I. Семейство конгруэнций (θi)i I называется полным, если для любых a, b A, a 6= b, найдется i I такое, что (a, b) / θi.

Заметим, что если независимое семейство конгруэнций является полным, то для любого отображения α : I → A существует только одно a A такое, что (a, α(i)) θi для всех i I. Действительно, если для всех i I

(a1, ai) θi, (a2, ai) θi,

то (a1, a2) θi, т. е. a1 = a2.

Теорема 1.15. Пусть A — алгебра сигнатуры F, (θi)i I — полная независимая система конгруэнций на A. Тогда

Y

A A/θi.

i I

Доказательство. Рассмотрим гомоморфизмы

ϕi = τθi : A → Ai := A/θi

для всех i I. Очевидно, (ϕi)i I — полное семейство гомоморфизмов, т. е. выполнено условие (а) теоремы 1.11. Проверим условие (б) той же теоремы.

Пусть B — некоторая алгебра, δi : B → Ai, i I, — некоторые гомоморфизмы. Для любого элемента b B построим отображение αb : I → A такое, что

αb(i) = ai, ai/θi = δi(b), i I

(выберем произвольный представитель ai из каждого класса эквивалентности). Из независимости системы конгруэнций (θi)i I следует, что найдется (единственное!) такое a A, что

(a, ai) θi, i I.

Отметим, что элемент a не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности. Действительно, если ai/θi =

18

a′i/θi для каких-то других a′i A и a′ A выбрано так, что (a′, a′i) θi для всех i I, то

(ai, a′i) θi, (a, ai) θi, (a′, a′i) θi (a, a′) θi i I.

Ввиду полноты a = a′.

Таким образом, для любого b B однозначно определен a A такой, что a/θi = δi(b), т. е. ϕi(a) = δi(b). Определим

δ : B → A, δ(b) = a.

Тогда δ ◦ ϕi = δi по построению. Остается показать, что δ — гомоморфизм алгебр.

Пусть f F , ν(f) = n, b1, . . . , bn B, ak = δ(bk), k =

ремы 1.11 для Ai = A/θi, поэтому A изоморфна прямому

где |Ai| > 1 для i = 1, 2. Если алгебра не является декартово разложимой, то она называется декартово неразложимой.

Теорема 1.15 позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие декартовой разложимости.

Следствие 1.17. Алгебра A, |A| > 1, является декартово разложимой тогда и только тогда, когда на ней есть полное независимое семейство конгруэнций, не включающее A.

19

ства (θ1, θ2) требует θ2 = A, т. е. |A2| = 1.

конгруэнций разделить на два подсемейства так, чтобы каждое из этих подсемейств содержало не только A (чтобы |A1|, |A2| > 1). Этого нельзя сделать только в том случае, когда семейство конгруэнций содержит лишь одно θi0 6= A, а для i 6= i0 θi = A. Но в этом случае полнота семейства (θi)i I требует θi0 = A, что невозможно по условию.

Следующее очень простое утверждение, играющее, тем не менее, важную роль в computer science.

Теорема 1.18. Любая конечная алгебра изоморфна пря- мому произведению декартово неразложимых конечных ал- гебр.

Доказательство. Индукцией по мощности носителя ал-

Действительно, хорошо известно, что Z — кольцо главных идеалов. Поэтому все конгруэнции на Z имеют вид

θn = {(a, b) | q : a − b = qn}, n Z.

20