Algebra3

Теорема 6.4 (Машке). Любое конечномерное представле-

ние эквивалентно сумме конечного числа неприводимых представлений.

Доказательство. Достаточно показать, что если R = (V, ρ) — некоторое конечномерное представление и U ≤R V , то найдется W ≤R V такое, что V = U W .

Рассмотрим какое-нибудь дополнение к U в V : V = U

U′, U′ — подпространство в V (не обязательно G-инвариантное). Обозначим через π : V → U′ проекцию на U′ параллельно U.

В качестве W выберем образ усредненного преобразования проекции: W = π¯(V ).

Поскольку π¯ — гомоморфизм представлений, W является инвариантным подпространством в V . Проверим, что V = U W . Заметим сперва, что π(U) = 0, поэтому в силу инвариантности U имеем π¯(U) = 0. Для любых v V , g G элемент ρ(g−1)v V можно единственным образом представить в виде

131

Вопрос о единственности такого представления мы рассмотрим ниже.

6.2. Характеры представлений.

Определение 6.5. Пусть R = (V, ρ) — конечномерное представление группы G над F . Функция χR : G → F , определенная правилом

χR(g) = tr(ρ(g)), g G,

где tr — след линейного преобразования, называется характером представления R.

Напомним, что множество F G всех функций из G в F наделено естественными операциями сложения и умножения:

(χ1 +χ2)(g) = χ1(g)+χ2(g), (χ1χ2)(g) = χ1(g)χ2(g), g G.

Относительно этих операций F G является ассоциативным кольцом. Операция умножения на скаляр λ F , заданная правилом

(λχ)(g) = λχ(g),

превращает это кольцо в ассоциативную алгебру над F .

Предложение 6.6. Пусть Ri = (Vi, ρi), i = 1, 2, — конеч-

номерные представления G над F . Тогда

(1)R1 R2 влечет χR1 = χR2 ;

(2)χR1 R2 = χR1 + χR2 ;

(3)χR1 R2 = χR1 χR2 .

Доказательство. Зафиксируем базисы e = (e1, . . . , en)

вV1 и f = (f1, . . . , fm) в V2.

(1)Согласно определению, существует изоморфизм ϕ: V1 →

V2 векторных пространств такой, что ϕρ1(g) = ρ2(g)ϕ (в частности, n = m). Пусть T = [ϕ]e,f — матрица отображения ϕ в базисах e и f, A1 = [ρ1(g)]e, A2 = [ρ2(g)]f — матрицы преобразований ρ1(g), ρ2(g) в соответствующих ба-

зисах. Тогда T A1 = A2T , т. е. матрицы A1 и A2 подобны, следовательно, χR1 (g) = tr A1 = tr A2 = χR2 (g) для любого g G.

132

(2) Выберем базис пространства V1 V2, составленный из базисов e и f. В этом базисе матрица преобразования (ρ1 ρ2)(g), g G, имеет блочно-диагональный вид

[ρ1(g)]e 0

0[ρ2(g)]

иее след равен сумме следов блоков.

(3)Рассмотрим базис ei fj (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)

пространства V1 V2. Зафиксируем g G и рассмотрим ма-

трицы преобразований [ρ1(g)]e = (αki) GLn(F ), [ρ2(g)]f = (βlj ) GLm(F ).

Согласно определению,

Диагональные элементы матрицы преобразования (ρ1 ρ2)(g) в рассматриваемом базисе имеют, следовательно вид αiiβjj (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m). След этой матрицы — сумма всех таких элементов:

6.3. Характеры и центральные функции.

Лемма 6.7 (Шура). Пусть Ri = (Vi, ρi), i = 1, 2, — непри- водимые представления группы G, ϕ: R1 → R2 — гомомор-

физм представлений. Тогда либо ϕ = 0, либо R1 R2.

133

Следствие 6.7.1. Если R1 6 R2 — неприводимые представления группы G, ϕ: V1 → V2 — линейное отображение, то

ϕ¯ = 0.

Следствие 6.7.2. Пусть R = (V, ρ) — неприводимое представление группы G, поле F алгебраически замкнуто и ϕ: R → R — гомоморфизм представлений. Тогда существует λ F такое, что ϕ(v) = λv для любого v V .

Доказательство. Неприводимое представление конечной группы обязательно конечномерно. Действительно, для любого v V конечномерное подпространство ρ(G)v в V , натянутое на векторы {ρ(g)v | g G}, является G-инвариантным. Если v 6= 0, то ρ(G)v 6= 0 и, следовательно, V = ρ(G)v — конечномерное пространство.

Любое линейное преобразование ϕ конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем имеет соб-

Следствие 6.7.3. Пусть R = (V, ρ) — неприводимое представление группы G, поле F алгебраически замкнуто и ϕ: V → V — линейное преобразование. Тогда существует λ F такое, что ϕ¯(v) = λv для любого v V , причем λ dim V = tr ϕ.

Доказательство. По следствию 6.7.2 ϕ¯ = λid, т. е. tr ϕ¯ = λ dim V . Остается доказать, что tr ϕ и tr ϕ¯ совпадают. Согласно конструкции усредненного преобразования

Поскольку следы сопряженных преобразований равны, tr ϕ = tr ϕ¯.

134

Из следствия 6.7.3 вытекает одно неочевидное свойство: размерность неприводимого представления не делится на характеристику поля. Действительно, пусть R = (V, ρ) — неприводимое представление. Зафиксируем базис e1, . . . , en в V

и рассмотрим ϕ: V → V такое, что ϕ(e1) = e1, ϕ(ek) = 0 при k > 1. Тогда существует λ F такое, что λ dim V = tr ϕ = 1, т. е. число dim V обратимо в F .

Напомним, что характеры представлений являются элементами векторного пространства F G. Формула

определяет билинейное отображение из F G × F G в F .

Теорема 6.8 (Первое соотношение ортогональности). Пусть

Ri = (Vi, ρi), i = 1, 2, — неприводимые представления группы G над F , поле F алгебраически замкнуто, χi = χRi . Тогда

Доказательство. Зафиксируем базисы e = (e1, . . . , en)

в V1 и f = (f1, . . . , fm) в V2. Пусть [ρ1(g−1)]e = (gik′ ) GLn(F ), [ρ2(g)]f = (glj ) GLm(F ).

Рассмотрим семейство линейных отображений ϕij : V1 → V2, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, заданных следующим правилом:

ϕij (ei) = fj, ϕij(ek) = 0 при k 6= i.

135

для всех i, k = 1, . . . , n, j, l = 1, . . . , m. В частности,

2) Предположим, R1 R2 (тогда χ1 = χ2). Покажем, что если χ — характер неприводимого представления R = (V, ρ),

то (χ, χ) = 1.

Следствие 6.7.3 и формула (6.8) для случая R1 = R2 = R (m = n, e = f) позволяют заключить, что

γi,k,l,j := |G1 | X gljgik′ = δl,kλij,

g G

где λij dim V = tr ϕij = δi,j . (Здесь δi,j — символ Кронекера). В частности, λii = 1/n, n = dim V , и поэтому

Следствие 6.8.1. Неприводимые представления группы G над алгебраически замкнутым полем F эквивалентны тогда и только тогда, когда их характеры равны.

Доказательство. Если χ = χR1 = χR2 , но R1 6 R2, то

(χR1 , χR2 ) = 0, в то время как (χ, χ) = 1, — противоречие.

Следствие 6.8.2. Любое конечномерное представление R группы G единственным образом представимо в виде суммы неприводимых представлений (с точностью до перестановки слагаемых).

Доказательство. Требуется показать, что если

R = R1 · · · Rn R1′ · · · Rm′ ,

где все Ri, Rj′ — неприводимые представления, то n = m и найдется такая перестановка σ Sn, что Ri Rσ′ (i).

Обозначим χ = χR, χi = χRi , i = 1, . . . , n, χ′j = χRj′ , j = 1, . . . , m.

136

Применим стандартное рассуждение: на множестве I = {1, . . . , n} введем эквивалентность так, что i1 i2 тогда и только тогда, когда Ri1 Ri2 . Тогда I разбивается на классы эквивалентных элементов I1, . . . , Ip.

В множестве J = {1, . . . , m} также можно выделить попарно не пересекающиеся подмножества Jk = {j J | Rj′

Ri, i Ik}, k = 1, . . . , p.

Поскольку

χ = χ1 + · · · + χn = χ′1 + · · · + χ′m,

из теоремы 6.8 следует, что для любого i Ik

|Jk| = (χ, χi) = |Ik|.

Таким образом, n ≤ m. Из соображений симметрии n = m. Существование искомой перестановки теперь очевидно.

Определение 6.9. Функция f : G → F называется цен-

тральной (или функцией классов), если для любых g, h G

выполняется равенство f(g) = f(h−1gh).

Условие центральности означает, что функция f постоянна на классах сопряженных элементов группы G. Например, на абелевой группе G любая функция центральна.

Множество центральных функций обозначим через X(G): это подпространство в F G, более того, подалгебра. Размерность X(G) как векторного пространства над F совпадает с числом c(G) классов сопряженных элементов группы G.

Очевидно, характер любого представления является центральной функцией.

Теорема 6.10. Пусть F — алгебраически замкнутое поле.

Тогда

(1)существует лишь конечное число r(G) попарно не эквивалентных неприводимых представлений G над F .

(2)r(G) = c(G), где c(G) — число классов сопряженных элементов группы G.

Доказательство. (1) Заметим, что если R1, . . . , Rr —

попарно не эквивалентные неприводимые представления G

137

над F , то их характеры χi = χRi линейно независимы в X(G) F G. Действительно, если

ψ = α1χ1 + · · · + αrχr = 0

для некоторых αi F , то

Xr

0 = (ψ, χi) = αj(χj , χi) = αi

j=1

для любого i = 1, . . . , r. Следовательно, число r не превос-

ходит dim X(G) = c(G).

(2) Покажем, что характеры неприводимых представлений образуют базис пространства X(G).

Лемма 6.11. Пусть ψ X(G) такое, что (ψ, χR) = 0 для любого неприводимого представления группы G. Тогда

ψ = 0.

Доказательство. Пусть R = (V, ρ) — некоторое конеч-

номерное представление G. Рассмотрим отображение

X

ψR : V → V, ψR(v) = ψ(g)ρ(g−1)v.

g G

Покажем, что ψR — гомоморфизм представлений R → R. Действительно,

X

ψRρ(γ) = ψ(g)ρ(g−1)ρ(γ)

для любого γ G. Поскольку ψ — центральная функция,

ψ(g) = ψ(γ−1gγ) и ψRρ(γ) = ρ(γ)ψR.

Если представление R неприводимо, то по следствию

6.7.2 ψR = λRid, поэтому

138

Следовательно, λR = 0 и ψR = 0.

Из теоремы Машке следует, что для любого конечномерного представления R

поэтому ψR = 0.

В частности, это верно для регулярного представления

R = Rreg = (F G, ρreg). Рассмотрим образ элемента e G F G относительно ψR: 0 = ψR(e) = ψ(g)ρreg(g−1)e =

Регулярное представление интересно тем, что оно включает в себя все неприводимые представления группы (с точностью до эквивалентности). Именно, имеет место

Теорема 6.12. Пусть F — алгебраически замкнутое поле, R = (V, ρ) — неприводимое представление группы G над F , χreg — характер регулярного представления. Тогда

(χreg, χR) = dim V.

Доказательство. Рассматривая матрицу преобразования ρreg(g), g G, в базисе, составленном из элементов

X

g G

139

В качестве элементарного следствия получаем следующий результат.

Следствие 6.12.1. Разложение Rreg в сумму неприводимых представлений имеет вид

где R1, . . . , Rr — все попарно не эквивалентные неприводимые представления G, Ri = (Vi, ρi), ni = dim Vi.

Следствие 6.12.2.

Xr

n2i = |G|.

i=1

Для доказательства последнего равенства достаточно рас-

смотреть (χreg, χreg) = |G|.

Последние два утверждения позволяют найти размерности неприводимых представлений для групп небольшого порядка.

Пример 6.13. Найдем характеры неприводимых представлений и опишем сами эти представления для симметрической группы S3. В ней существуют три класса сопряженных элементов

{e}, {(12), (13), (23)}, {(123), (132)}.

Следовательно, существуют три неэквивалентных неприводимых представления S3 над C. Пусть Ri = (Vi, ρi), i = 1, 2, 3, — искомые представления, ni = dim Vi. Тогда

6 = n21 + n22 + n23.

Единственное решение этого уравнения n1 = n2 = 1, n3 = 2. Следовательно, существуют два одномерных неприводимых представления и одно двумерное.

Очевидно, R1 — тривиальное представление (V1 = C1, ρ1(g) = 1 для любого g S3). Другое очевидное одномерное представление порождается отображением четности sgn : S3 → {1, −1}.

140