Algebra3

для a, b R, m, n Z. Получается кольцо с единицей, в котором 0 = (0, 0), 1 = (0, 1). При этом R является подкольцом в кольце (R#) . Следующая лемма показывает, что эта конструкция универсальна.

Лемма 5.2. Пусть R Rng. Тогда для любого R1 Rng# и для любого гомоморфизма ϕ : R → R1 существует го- моморфизм колец с единицей ψ : R# → R1 такой, что ψ(a) = ϕ(a) для всех a R.

Доказательство. Пусть 1 R1 — единица кольца R1. Для произвольного (a, n) R# положим ψ(a, n) = ϕ(a) + n ·

Теперь мы можем описать свободные алгебры в многообразиях Rng и Rng#.

Теорема 5.3. Пусть X — непустое множество, SmghXi — свободная полугруппа, порожденная множеством X. Тогда кольцо Z SmghXi изоморфно свободному кольцу RnghXi, порожденному множеством X.

Доказательство. Поскольку кольцо RnghXi является универсальным относительно X для класса всех колец, то по предложению 1.26 достаточно показать, что таковым же является Z SmghXi.

Допустим, R — некоторое кольцо, α : X → R — отображение множеств. Тогда по универсальному свойству свободной полугруппы существует гомоморфизм полугрупп ϕ : SmghXi → Rsmg такой, что ϕ(x) = α(x) для всех x X. По лемме 5.1 гомоморфизм ϕ продолжается до гомоморфизма колец Z SmghXi → R, т. е. полугрупповое кольцо Z SmghXi является универсальным относительно X в классе всех колец.

Следствие 5.4. Кольцо Rng#hXi изоморфно кольцу (RnghXi)#.

Доказательство. Универсальное свойство кольца (RnghXi)# в классе всех колец с единицей вытекает из леммы 5.2.

111

Напомним, что если полугруппа удовлетворяет тождеству

x1x2 = x2x1,

то она называется коммутативной. Класс всех коммутативных полугрупп обозначим через CSmg, — это подмногообразие в Smg.

Кольцо R называется коммутативным, если Rsmg — коммутативная полугруппа.

Класс всех коммутативных колец (с единицей) образует подмногообразие CRng (CRng#) в многообразии Rng (Rng#).

Теорема 5.5. Пусть X — непустое множество, CSmghXi — свободная коммутативная полугруппа, порожденная мно- жеством X. Тогда кольцо ZCSmghXi изоморфно свобод- ному коммутативному кольцу CRnghXi, порожденному мно- жеством X.

Доказательство. Полностью аналогично теореме 5.3.

Следствие 5.6. Кольцо CRng#hXi изоморфно кольцу (CRnghXi)#.

Строение свободной коммутативной полугруппы, порожденной множеством X, легко понять, используя технику из раздела 4:

CSmghXi SmghX | hxy, yxi, x, y Xi.

Ее элементы можно отождествить с функциями u : X → N {0}, равными нулю на почти всех элементах из X. Такую функцию удобно записывать в виде монома

u = xm1 1 . . . xmn n ,

если u : xi 7→mi N, u : x 7→0 при x 6= xi, i = 1, . . . , n.

Таким образом, свободное коммутативное кольцо изоморфно кольцу многочленов с целыми коэффициентами без свободного члена:

112

— обычное кольцо многочленов от X над Z.

Приведем пример, показывающий, что подкольцо свободного кольца не обязательно является свободным.

Прежде рассмотрим процедуру «абелинизации» произвольного кольца. Если R Rng, C(R) — идеал в R, порожденный всеми элементами вида [a, b] := ab − ba, a, b R, то фактор-кольцо R/C(R) является коммутативным. Обозначим это кольцо Rab.

Предложение 5.7. (1) Для любых колец R1, R2 Rng и для любого гомоморфизма ϕ : R1 → R2 существует гомо-

(2) Для любых колец R1 Rng, R2 CRng и для любого гомоморфизма ϕ : R1 → R2 существует гомоморфизм ком- мутативных колец ψ : Rab1 → R2 такой, что

ψ(x + C(R1)) = ϕ(x), x R1.

Доказательство. (1) Рассмотрим диаграмму

на которой вертикальные стрелки означают естественные гомоморфизмы τi : Ri → Rabi = Ri/C(Ri). Рассмотрим композицию ϕ ◦ τ2. Ядро этого гомоморфизма содержит ядро τ1, поскольку ϕ(C(R1)) C(R2). Следовательно, по теореме о гомоморфизмах существует ψ : Rab1 → Rab2 такой, что

ψ(τ1(x)) = τ2(ϕ(x)),

что в точности совпадает с (5.3).

(2) Вытекает из доказанного в утверждении 1: достаточно лишь заметить, что R = Rab для коммутативного кольца R.

113

Следствие 5.8. Пусть X — непустое множество. Тогда

(RnghXi)ab CRnghXi.

Доказательство. Из утверждения 2 предложения 5.7 следует, что (RnghXi)ab является универсальной алгеброй относительно X в классе CRng. Следовательно, это кольцо изоморфно свободному коммутативному кольцу, порожденному множеством X.

Теперь перейдем непосредственно к примеру не свободного подкольца в свободном кольце. Пусть R = Rnghx, yi — свободное кольцо, порожденное множеством {x, y} из двух элементов. Рассмотрим B = C(R) как подкольцо в R. По определению z = [x, y] B. Допустим, что B является свободным кольцом. Тогда по следствию 5.8 Bab является свободным коммутативным кольцом.

Заметим, что

z4 = z[xz, yz] − zx[z, yz] − zy[xz, z] C(B). (5.4)

Действительно, операция [·, ·] на ассоциативном кольце обладает следующими хорошо известными свойствами, которые легко проверить:

[a, a] = 0, [a, b] = −[b, a], [a, bc] = [a, b]c + b[a, c].

Поэтому левую часть (5.4) можно переписать следующим образом:

z([xz, y]z + y[xz, z]) − zx[z, y]z − zy[x, z]z

=z([x, y]z2 + x[z, y]z + y[x, z]z]) − zx[z, y]z − zy[x, z]z

=z[x, y]z2 = z4. (5.5)

Таким образом, (z + C(B))4 = 0 в кольце Bab. Но свободное коммутативное кольцо — это по (5.1) кольцо многочленов над Z, которое, как известно, не имеет делителей нуля. Сле-

довательно, z + C(B) = 0, т. е. z = xy − yx C(B).

114

Элементы множества B = C(R) R представляют собой линейные комбинации слов в алфавите X = {x, y} следую-

щего вида:

X

ai(wiuiviwi′ − wiviuiwi′), ai Z, ui, vi X , wi, wi′ X#.

i

Поскольку слова ui, vi непустые, то все слова, входящие в запись любого элемента B, имеют длину не меньше двух.

Аналогично строится C(B) B. Поэтому если f C(B), то все слова от X, входящие в запись f, имеют длину не меньше четырех. Следовательно, элемент z = xy − yx не может входить в C(B). Полученное противоречие доказывает, что B не является свободным кольцом.

Упражнение. Докажите, что теорема о свободе подалгебр неверна в многообразии коммутативных колец.

5.2. Модули. Пусть R Rng — некоторое кольцо. Абелева группа M (в аддитивной записи) называется левым R- модулем, если для нее задана операция · : R×M → M такая, что

a(m + n) = am + an, (a + b)m = am + bm, a(bm) = (ab)m

для любых a, b R, m, n M. Аналогично вводится понятие правого R-модуля. В дальнейшем мы под словом «модуль» будем понимать левый модуль.

Если R Rng# и M — такой R-модуль, что 1m = m при всех m M, то M называется унитальным R-модулем.

Класс всех модулей над фиксированным кольцом R можно рассматривать как многообразие алгебр, сигнатура которых состоит из операций +, −, 0 и набора унарных операций a˙ , a R, которые интерпретируются следующим образом: a˙ : m 7→am, m M. Определение модуля записывается в тождествах этой сигнатуры. Обозначим многообразие всех модулей над R-Mod. Если R Rng#, то класс всех унитальных R-модулей образует подмногообразие в R-Mod, которое мы обозначим через R-Mod#.

Понятие подмодуля, гомоморфизма модулей, конгруэнции, фактор-модуля, прямого произведения модулей определяются по универсальной схеме для алгебраических систем.

115

Как и в абелевых группах, конгруэнции модуля M находятся во взаимно-однозначном соответствии с его подмодулями. Для декартова произведения конечного числа модулей используется обозначение (прямой суммы).

Простейшим примером R-модуля может являться любая абелева группа M, на которой операции a˙ заданы тривиальным образом: am = 0 для всех a R, m M. Такие модули называются тривиальными.

Другой пример модуля над R — само кольцо R. Этот R-модуль называется регулярным. Подмодули регулярного модуля — это в точности левые идеалы I El R кольца R. Если I El R, то аддитивная фактор-группа R/I является R-модулем — это фактор-модуль регулярного модуля, который будем обозначать через R/I.

Пусть X — некоторое непустое множество. Рассмотрим

множество формальных линейных комбинаций

X

RX := axx | ax R, почти все ax = 0 .

x X

Это множество наделено естественной структурой абелевой группы, на которой можно ввести умножение слева на элементы из R по дистрибутивности. Получится R-модуль, который мы обозначим через RX.

Как и всякое многообразие, классы R-Mod (или R-Mod#) содержат свободные алгебры — свободные (унитальные) R- модули.

Теорема 5.9. Если R Rng#, то R-Mod#hXi RX.

Доказательство. Множество X вложим в RX по правилу x 7→1x, x X. Очевидно, что RX порождается как R-модуль образом множества X. Если M — другой унитальный R-модуль и α : X → M — некоторое отображение, то существует гомоморфизм R-модулей

ϕ : RX → M,

действующий по правилу ϕ(Px axx) = Px axα(x). При этом

ϕ(1x) = 1α(x) = α(x) для любого x X.

116

Следовательно, RX универсален относительно множества X в классе R-Mod#.

Следствие 5.10. Если R Rng, то R-ModhXi R#-Mod#hXi.

Доказательство. Достаточно заметить, что любой модуль M R-Mod является унитальным модулем из класса

бодный модуль, порожденный одним элементом, изоморфен свободному модулю, порожденному двумя элементами.

5.3. Артиновы и нетеровы модули. Пусть R Rng.

Говорят, что M R-Mod удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей (ascending chain condition, a.c.c.) для подмодулей, если для любой бесконечной цепи

N1 N2 · · · Nk . . . ,

где Nk — подмодули в M, найдется такой номер n 1, что Nn = Nn+1 = . . . . Аналогично определяется условие обрыва убывающих цепей (descending chain condition, d.c.c.)

для подмодулей.

Модуль M называется нетеровым (артиновым), если он удовлетворяет a.c.c. (d.c.c.) для подмодулей.

Предложение 5.11. Пусть M R-Mod. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1)M удовлетворяет A.C.C. (D.C.C.);

(2)любое непустое семейство подмодулей в M содержит максимальный (минимальный) по включению элемент.

Доказательство. (1) (2) Пусть M — некоторое непустое семейство подмодулей в M, частично упорядоченное по включению. Из условия a.c.c. (d.c.c.) вытекает, что объединение любой возрастающей (убывающей) цепи в M совпадает с одним из ее членов, следовательно, лежит в M. По лемме Цорна M содержит максимальный (минимальный) по включению элемент.

(2) (1) Очевидно.

117

Определение 5.12. Нётеровым (артиновым) называется модуль, удовлетворяющий a.c.c. (d.c.c.) для подмодулей. Кольцо называется нетеровым (артиновым), если оно как регулярный левый модуль над собой нетерово (артиново).

Иными словами, нетерово (артиново) кольцо — это такое, которое удовлетворяет a.c.c. (d.c.c.) для левых идеалов.

Основные свойства нетеровых и артиновых модулей описывает следующая

Теорема 5.13. Пусть M R-Mod. Тогда

(1)если M нетеров (артинов) и N M — его подмо- дуль, то N нетеров (артинов);

(2)если M нетеров (артинов) и ϕ : M → M′ — эпимор- физм R-модулей, то M′ нетеров (артинов);

(3)если N M — подмодуль, N нетеров (артинов) и M/N нетеров (артинов), то M нетеров (артинов).

Доказательство. (1) Очевидно по определению: любой подмодуль в N является также подмодулем в M.

(2)Для любого подмодуля N′ M′ можно построить N = ϕ−1(N′) M. Если выполнено условие обрыва цепей для прообразов в M, то оно же, очевидно, выполнено для подмодулей в M′.

(3)Разберем артинов случай. Пусть N1 N2 . . . — убывающая цепь подмодулей в M. Рассмотрим цепи пересечений:

N1 ∩ N N2 ∩ N . . .

и образов в M/N:

N1 + N/N N2 + N/N . . . .

По условию существует такой номер n ≥ 1, что обе эти цепи стабилизируются на n-м шаге, т. е.

Nn ∩ N = Nn+1 ∩ N = . . . , Nn + N/N = Nn+1 + N/N = . . . .

(5.6)

Отсюда для любого x Nn найдется z Nn+1 такое, что

x + N = z + N. Это означает, что x − z N. Но x, z Nn, поэтому x − z Nn ∩ N. Из (5.6) следует, что x − z Nn+1, т. е. x Nn+1. Следовательно, Nn = Nn+1.

118

Следствие 5.14. Пусть M1, . . . , Mn R-Mod — конечный набор нетеровых (артиновых) модулей. Тогда их прямая сумма M1 · · · Mn является нетеровым (артиновым) мо- дулем.

Доказательство. Из соображений индукции достаточно доказать утверждение для n = 2. Если M = M1 M2,

Для нетеровых (артиновых) колец утверждения теоремы 5.13 примут несколько иной вид. Можно привести пример, когда подкольцо или даже идеал нетерова (артинова) кольца само таковым не является (см. упражнение в конце раздела). Но, очевидно, гомоморфный образ нетерова (артинова) кольца является нетеровым (артиновым) кольцом.

Теорема 5.15. Пусть R Rng.

(1)Пусть I El R, I и R/I — нетеровы (артиновы) R- модули. Тогда R — нетерово (артиново) кольцо.

(2)Пусть I E R — двусторонний идеал, I — нетеров (артинов) R-модуль, и R/I — нетерово (артиново) кольцо. Тогда R — нетерово (артиново) кольцо.

(3)Пусть R — нетерово (артиново) кольцо, ϕ : R → R′ — сюръективный гомоморфизм. Тогда R′ — нетерово (артиново) кольцо.

Доказательство. (1) Совпадает с утверждением тео-

ремы 5.13(3).

(2) Достаточно заметить, что если R = R/I — нетерово (артиново) кольцо, то оно является нетеровым (артиновым) R-модулем. Действительно, любой левый идеал в R замкнут относительно действия R, ибо по определению a(b + I) = ab + I = (a + I)(b + I) для a, b R.

(3) Кольцо R′ можно рассматривать как R-модуль относительно действия xa′ = ϕ(x)a′, x R, a′ R′. Тогда R′ —

гомоморфный образ регулярного R-модуля, который является нетеровым (артиновым). Поскольку все левые идеалы R′ являются R-подмодулями, нетеровость (артиновость) R′

119

Следствие 5.16. Прямая сумма нетеровых (артиновых) колец является нетеровым (артиновым) кольцом

5.4. Нетеровы кольца. Теорема Гильберта. От-

метим еще одну важнейшую характеризацию нетеровых модулей.

Предложение 5.17. Пусть R Rng, M R-Mod. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1)M нетеров;

(2)любой подмодуль в M порожден конечным числом элементов.

Доказательство. (1) (2) Допустим, существует подмодуль N M, который не порождается никаким своим конечным подмножеством. Выберем 0 6= x1 N, x2 / SgM(x1), xn / SgM(x1, . . . , xn−1), и т. д. Получим строго возрастающую цепь подмодулей

0 SgM(x1) · · · SgM(x1, . . . , xn) . . . ,

которой не может существовать по определению нетерова модуля.

(2) (1) Если существует бесконечная возрастающая цепь подмодулей

N1 N2 . . . ,

то выберем xn Nn \ Nn−1 (N0 = 0), n ≥ 1. Подмодуль SgM(x1, x2, . . . ) не является конечно-порожденным.

В частности, кольцо является нетеровым тогда и только тогда, когда в нем всякий левый идеал порожден конечным числом элементов. Например, все кольца главных идеалов нетеровы.

Предложение 5.18. (1) Кольцо R нетерово тогда и только тогда, когда R# нетерово.

(2) Конечно-порожденный унитальный модуль M над нетеровым кольцом R нетеров.

120