Algebra3

Поскольку ak1 ≤ bk для всех k = 1, . . . , m, то ak1 (a11 · · ·

· · · am1 ) ≤ bk (b1 · · · bk−1 bk+1 · · · bm) = 0, т.е. w = a11 × · · · × am1 .

Покажем, что w < 1: в противном случае

bj = bj 1 = bj (a11 · · · aj1 · · · am1 )

= aj1 (bj (a11 · · · aj1−1 aj1+1 · · · am1 )) ≤ aj1 0 = aj1,

что противоречит предположению aj1 < bj . Покажем, что a1 ≤ w:

Следовательно, интервал A1 = [0, w] является решеткой, композиционный ряд которой короче, чем у исходной решетки A. Отметим, что элемент является неразложимыми

врешетке A тогда и только тогда, когда он неразложим

врешетке A1, поскольку A1 вместе с любым элементом x содержит все элементы A, меньшие x.

Рассмотрим два прямых -разложения наибольшего эле-

мента в A1:

(легко убедиться, что разложение (2.4) действительно прямое). Пользуясь леммой 2.28, продолжим эти -разложения

61

до разложений на неприводимые элементы. Получим соответственно

Элементы cik, a1, yi являются неразложимыми, и по предположению индукции элемент a1 в разложении (2.6) можно заменить на некоторый cik из разложения (2.5):

w= cik × y1 × · · · × yp = cik × (w a¯1).

Вчастности, a1 cik, и поэтому d(a1) = d(cik). Но cik ≤ w, поэтому

0 = cik (w a¯1) = (cik w) a¯1 = cik a¯1.

Следовательно, cik a¯1 = cik × a¯1,

d(cik × a¯1) = d(cik) + d(¯a1) = d(a1) + d(¯a1) = d(a1 × a¯1) = d(1).

Поскольку размерность d(1) имеет только наибольший элемент решетки, заключаем, что

1 = cik × a¯1 = cik × a2 × · · · × an.

Вспомним, что cik входило в разложение элемента ai1, поэтому

cik ≤ ai1 ≤ bi.

Но в силу модулярности

cik (bi a¯1) = bi (cik a¯1) = bi 1 = bi,

и, кроме того, cik (bi a¯1) = 0. Поэтому

bi = cik × (bi a¯1),

но по условию теоремы элементы bi и cik неразложимы. Следовательно, cik = bi, bi a¯1 = 0, откуда следует, что

cik = ai1 = bi, 1 = bi × a2 × · · · × an,

что и требовалось. Рассмотрение случая 1 завершено. Прежде чем переходить ко второму случаю, заметим сле-

дующее. Мы показали, что если выполняется условие случая 1, то найдется i {1, . . . , m} такое, что ai1 = bi.

62

Случай 2. Пусть b1k < a1 для любого k = 1, . . . , m. Тогда, каждый bk удовлетворяет условию, которое в случае 1 накладывалось на a1. Следовательно, для любого

1 = ai1 × · · · × aim .

Отсюда очевидно, что среди индексов ik встречается единица: в противном случае

a1 = a1 1 = a1 (ai1 × · · · × aim ) = 0.

Следовательно, найдется k такое, что ik = 1 и b1k = a1, т. е. случай 2 невозможен.

Случай 3. Пусть aj1 = bj для любого j = 1, . . . , m и существует i {1, . . . , m} такое, что b1i = a1.

Не ограничивая общности, можно считать, что i = 1, т. е.

a1 (b1 a¯1) = b1 a¯1,

a1 (b1 a¯1) = b1 (a1 a¯1) = b1 1 = 1.

То, что это прямые -разложения, вытекает из рассмотрения размерностей:

63

Складывая эти неравенства, заключаем, что d(a1) = d(b1),

2.5. Алгебраические решетки. В этом разделе мы изучим характеристические свойства решеток подалгебр произвольной алгебры B = (B, FB) некоторой сигнатуры F.

Напомним (см. определение 1.2), что оператором замыкания называется такое отображение C : P(B) → P(B), что

C(X) X, C(C(X)) = C(X) для любого X B и C(X)

C(Y ) для любых X Y B. Подмножество X B называется замкнутым относительно C, если X = C(X). Обозначим через LC (B) множество всех замкнутых относительно C подмножеств множества B. Легко доказать, что пересечение любого числа замкнутых подмножеств — снова замкнутое подмножество. Для объединений (даже конечных) это неверно. Однако любое множество {Bi B | i I} LC (B) имеет точную верхнюю грань в множестве LC (B):

Таким образом, (LC (B), ) является решеткой, в которой существуют sup и inf для любого множества элементов.

Это относится, в частности, к решеткам (Sub B, ), которые являются в точности решетками замкнутых подмножеств в B относительно оператора SgB, где SgB(X) означает подалгебру алгебры B, порожденную множеством X: если

{Bi | i I} Sub B, то

Определение 2.30. Частично упорядоченное множество A = (A, ≤), A 6= , называется полной решеткой, если для любого

XA существуют a, b A такие, что a = inf X, b = sup X.

Вчастности, полная решетка (A, ≤) является обычной решеткой, в ней обязательно содержатся наибольший (sup A) и наименьший (inf A) элементы. Примерами полной решетки являются решетка подалгебр (Sub B, ) некоторой алгебры

64

B, пополненное множество вещественных чисел R = R {−∞, +∞} относительно обычного порядка ≤, множество натуральных чисел с нулем N = N {0} по отношению деления |.

Полные решетки A1 и A2 называются изоморфными, если существует биективное отображение ϕ : A1 → A2 такое, что

ϕ(sup X) = sup{ϕ(x) | x X}, ϕ(inf X) = inf{ϕ(x) | x X}

для любого X A1.

Лемма 2.31. Полные решетки A1 и A2 изоморфны тогда и только тогда, когда существует биективное отображение ϕ : A1 → A2 такое, что ϕ и ϕ−1 монотонны.

Доказательство. Очевидно, изоморфизм (полных) решеток ϕ и обратное к нему ϕ−1 — монотонные отображения:

x ≤ y x y = y ϕ(y) = ϕ(x) ϕ(y) ϕ(x) ≤ ϕ(y).

Обратно, если ϕ : A1 → A2, ϕ−1 : A2 → A1 — монотонные биективные отображения, то для любого X A1

b = ϕ(sup X) ≥ ϕ(x), x X.

Если b′ A2 — другая верхняя грань множества ϕ(X) =

{ϕ(x) | x X}, b′ = ϕ(a′), a′ A1, то a′ = ϕ−1(b′) ≥

ϕ−1ϕ(X) = X, т. е. a′ ≥ sup X. Следовательно, b′ ≥ b и

Замечание 2.32. В лемме 2.31 условие монотонности одного только ϕ не обеспечивает изоморфизма решеток. Примером может служить следующая монотонная биекция между неизоморфными конечными решетками.

Здесь ϕ монотонно, но ϕ−1 не монотонно.

65

Определение 2.33. Пусть A = (A, ≤) — полная решетка.

(1)Элемент a A называется компактным, если в любом подмножестве B A таком, что a ≤ sup B, можно выбрать конечное подмножество B0 B такое, что a ≤ sup B0.

Множество компактных элементов полной решетки A обозначим через Comp A.

(2)Полная решетка A называется алгебраической, если

для любого a A найдется X Comp A такое, что a = sup X.

Пример 2.34. (1) Любая конечная решетка является полной, любой ее элемент компактен, следовательно, она является алгебраической.

(2)Полная решетка (P(M), ) всех подмножеств некоторого множества M является алгебраической: ее компактные элементы — это в точности все конечные подмножества.

(3)Полная решетка (R, ≤) не является алгебраической, так как единственный ее компактный элемент равен −∞.

(4)Полная решетка (N, |) не является алгебраической, так как в ней имеется единственный компактный элемент

1 N.

Теорема 2.35. Для любой алгебры B = (B, FB) полная решетка Sub B является алгебраической.

Доказательство. Первым (и часто основным) шагом проверки алгебраичности полной решетки является описание множества компактных элементов.

Покажем, что подалгебра B1 B является компактным элементом в Sub B тогда и только тогда, когда найдется конечное множество B0 B такое, что B1 = SgB(B0).

Пусть B1 Comp Sub B. Рассмотрим

B1 = sup{Bb = SgB(b) | b B1}

и выберем конечное подмножество B0 B1 такое, что

B1 = sup{Bb | b B0}.

Очевидно, что Bb SgB(B0) для любого b B0, поэтому

B1 = sup{Bb | b B0} SgB(B0).

66

Обратное вложение очевидно. Следовательно, B1 — подалгебра, порожденная конечным множеством B0.

Допустим, B1 = SgB(B0), |B0| < ω. Рассмотрим произвольное множество подалгебр {Bi | i I} Sub B

такое, что

[

B1 sup{Bi | i I} = SgB Bi .

i I

Напомним, что в силу теоремы 1.3 оператор SgB является алгебраическим оператором замыкания на множестве всех подмножеств множества B. Свойство алгебраичности оператора замыкания состоит в том (см. (1.2)), что

[

SgB(X) = SgB(Y )

Y X

|Y | < ω

для любого X B. В нашем случае X = S Bi.

i I

В частности, для любого b B0 найдется конечное под-

множество

[

Yb Bi такое, что b SgB(Yb).

i I

Поскольку Yb конечно, найдется конечное множество индексов Ib I такое, что

Yb Bi.

где I0 — конечное множество.

Для завершения доказательства теоремы остается заметить, что любая подалгебра B1 является точной верхней гранью множества 1-порожденных подалгебр Bb = SgB(b),

67

Теорема 2.36. Для любой алгебраической решетки A най- дутся множество B и алгебраический оператор замыкания C : P(B) → P(B) такие, что A (LC (B), ) как полные решетки.

Доказательство. Пусть A = (A, ≤) — алгебраическая решетка. Положим B = Comp A,

C : P(B) → P(B), C(X) = {x B | x ≤ sup X}, X B.

Проверим, что C — оператор замыкания. Свойство X C(X) выполнено по определению, равенство C(X) = C(C(X)) вытекает из того, что sup C(X) = sup X. Действительно, sup X ≤ sup C(X), но C(X) ≤ sup X по определению оператора C, следовательно, sup C(X) ≤ sup X. Наконец, из X Y следует sup X ≤ sup Y , поэтому C(X) C(Y ).

Проверим алгебраичность оператора C. Если x C(X), x ≤ sup X, то по определению компактного элемента найдется конечное подмножество X0 X такое, что x ≤ sup X0.

Следовательно,

[

C(X) C(Y ).

Y X

|Y | < ω

Обратное вложение верно для любого оператора замыкания. Определим отображение ϕ : LC (B) → A по правилу

ϕ(X) = sup X.

Проверим биективность этого отображения. По определению алгебраической решетки для любого a A найдется

X B такое, что a = sup X, но sup X = sup C(X), C(X)

LC (B). Если sup X = b = sup Y для некоторых X, Y LC (B), то

X = C(X) = {x B | x ≤ b} = C(Y ) = Y.

Наконец, если X Y , то ϕ(X) ≤ ϕ(Y ), т. е. отображение ϕ монотонно.

Построим обратное отображение

ϕ−1 : a 7→ x{ B | x ≤ a}.

68

Действительно, sup{x B | x ≤ a} ≤ a, но по свойству алгебраичности существует такое множество X B, что a = sup X. Очевидно, X {x B | x ≤ a}, поэтому a = sup{x B | x ≤ a}.

Монотонность отображения ϕ−1 очевидна. Следовательно, по лемме 2.31 ϕ — изоморфизм полных решеток.

Теорема 2.37 (Биркгофа — Фринка). Полная решетка A

является алгебраической тогда и только тогда, когда су- ществует такая алгебра B = (B, FB), что A Sub B как полная решетка.

Доказательство. По теореме 2.35 решетка Sub B является алгебраической. Очевидно, что если полная решетка изоморфна алгебраической, то она сама является алгебраической (достаточно убедиться, что при изоморфизме полных решеток компактные элементы переходят в компактные). Это доказывает утверждение «тогда».

По теореме 2.36 для любой алгебраической решетки A найдется такое множество B и алгебраический оператор замыкания C, что A LC (B). Но по теореме 1.4 для алгебраического оператора замыкания C можно так задать структуру алгебры B = (B, FB) на множестве B, что C = SgB. Замкнутые относительно C подмножества являются в точности подалгебрами этой алгебры, поэтому LC (B) = Sub B. Следовательно, A Sub B как полная решетка.

Упражнение. Пусть A — полная решетка. Покажите, что множество Comp A замкнуто относительно операции (точная верхняя грань пары элементов), т. е. ч.у.м. (Comp A, ≤) является

верхней полурешеткой.

Идеалом верхней полурешетки (B, ≤) называется такое подмножество I B, что x y I для любых x, y I, и если a ≤ x I, то a I.

Упражнение. Пусть A — алгебраическая решетка, I — множество всех идеалов верхней полурешетки (Comp A, ≤). Покажите, что ч.у.м. (I, ) является решеткой, изоморфной A.

69

§3. Булевы алгебры

3.1.Дополнения в дистрибутивных решетках.

Пусть A = (A, , ) — дистрибутивная решетка с наименьшим и наибольшим элементами 0 и 1 соответственно. Для некоторого a A его дополнением в решетке A называется такой элемент a′ A, что

a a′ = 1, a a′ = 0.

Не во всякой дистрибутивной решетке для любого ее элемента найдется дополнение (например, в линейно упорядоченном множестве дополнения существуют только у 0 и 1).

Лемма 3.1. Если для элемента a дистрибутивной решетки A существует его дополнение a′, то оно единственно.

Доказательство. Допустим, a′1, a′2 A — два дополнения для a A. Тогда

a′1 = a′1 0 = a′1 (a′2 a) = (a′1 a′2) (a′1 a) = (a′1 a′2) 1 = a′1 a′2.

Следовательно, a′1 ≥ a′2. Обратное неравенство получается из соображений симметрии.

Определение 3.2. Булевой алгеброй называется дистрибутивная решетка с 0 и 1, в которой для каждого элемента найдется его дополнение.

Класс булевых алгебр можно рассматривать как многообразие алгебраических систем сигнатуры FBoole, где

FBoole = {, , ′, 0, 1},

ν( ) = ν( ) = 2, ν(′) = 1, ν(0) = ν(1) = 0.

Алгебра

B = (B, FBooleB )

является булевой алгеброй, если

(Б1) (B, , ) — дистрибутивная решетка; (Б2) B |= x 1 ≈ 1, B |= x 0 ≈ 0;

(Б3) B |= x x′ ≈ 1, B |= x x′ ≈ 0.

70