Algebra3

Значения характеров представлений удобно записывать в виде таблицы, строки которой соответствуют значениям характеров на классах сопряженных элементов. В заголовке каждого столбца укажем представитель класса сопряженных элементов и (через запятую) мощность этого класса.

Значения характера χ3 на (12) и (123) легко найти из соотношения ортогональности: χ3(12) = 0, χ3(123) = −1.

Чтобы найти представление R3, рассмотрим каноническое действие группы S3 на трехмерном пространстве (перестановкой координат). Обозначим соответствующее представление через R0 = (V0, ρ0). Очевидно, значение характера χ0(g) совпадает с числом неподвижных элементов подстановки g S3:

e, 1 (12), 3 (123), 2

Непосредственно вычислим (χ0, χ1) = 1, (χ0, χ2) = 0, (χ0, χ3) = 1. Следовательно, R0 = R1 R3. Чтобы найти представление R3, достаточно разложить C3 в сумму двух подпространств, инвариантных относительно действия всех подстановок из S3. Поскольку матрица ρ0(g) унитарна для любого g S3, искомое разложение имеет вид C3 = U W , U = {a(1, 1, 1) | a C}, а W — плоскость, заданная уравне-

нием x1 + x2 + x3 = 0.

Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль, G — конечная группа, |G| = n, R = (V, ρ) — конечномерное представление G над F . Тогда для любого g G имеем ρ(g)n = idV . Следовательно, все собственные значения линейного преобразования ρ(g) лежат в множестве {ε1, . . . , εn} корней n-й степени из единицы. В частности,

141

след этого преобразования (равный χR(g)) является элементом кольца

Kn = Zε1 + · · · + Zεn Q F ∩ C,

где Q — алгебраическое замыкание поля Q.

Более того, минимальный многочлен преобразования ρ(g) делит xn − 1, следовательно, не имеет кратных корней. Это означает, что в некотором базисе матрица преобразования ρ(g) диагональна, поэтому матрица ρ(g−1) = ρ(g)−1 в этом же базисе тоже диагональна. Из того, что ε−k 1 = ε¯k, где черта означает комплексное сопряжение, следует, что для

любого g G выполняется равенство χR(g−1) = χR(g).

Теорема 6.14 (Второе соотношение ортогональности). Пусть

F — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль,

C(g) = |{x G | xg = gx}|, g G, χ1, . . . , χr, r = c(G), — все

различные характеры неприводимых представлений группы G над F . Тогда

Здесь hG = {x−1hx | x G} — класс сопряженных элементов группы G, содержащий h.

Доказательство. Пусть g1, . . . , gr G — представи-

Хорошо известно (следствие теоремы Лагранжа о мощности орбиты), что |{gG}| = |G|/C(g). Поэтому

(χi, χj ) = Xr χi(gk)χj (gk).

k=1

142

(выбирается положительное значение корня).

Это означает, что матрица M = (mij ) является унитарной матрицей размера r × r:

MMT = E.

Следовательно, M−1 = MT и MT M = E. Последнее равенство означает, что

C(g) = C(gi), C(h) = C(gj ), откуда следует утверждение теоремы.

143

§ 7. Радикал кольца. Теорема Веддерберна — Артина

В этом разделе мы приведем основные понятия теории радикала Джекобсона и докажем основную структурную теорему об артиновых кольцах. Всюду ниже R — некоторое кольцо (не обязательно с единицей), R# означает кольцо с присоединенной единицей.

7.1. Регулярные и квазирегулярные идеалы.

Определение 7.1. Левый идеал I El R называется регулярным (или модулярным), если существует такое x R, что R(1 − x) I, т. е. a − ax I для любого a R.

Заметим, что если R(1 − x) I El R и x I, то I = R. Кроме того, если I — регулярный левый идеал и I J El R, то J тоже регулярный.

Лемма 7.2. Всякий собственный регулярный левый идеал вкладывается в максимальный левый идеал, который также является регулярным.

Доказательство. Пусть I — собственный регулярный идеал в R, R(1 − x) I, x / I. Рассмотрим множество M всех собственных левых идеалов, содержащих I, как ч.у.м. по отношению вложения. Любая цепь в этом множестве

J1 J2 . . .

состоит из регулярных собственных идеалов, поэтому x / Jn

Обозначим через MR множество всех максимальных регулярных левых идеалов кольца R. Множество MR является пустым тогда и только тогда, когда в кольце R нет ни одного собственного регулярного идеала.

Определение 7.3. Элемент x R называется квазирегулярным слева (или справа), если R(1−x) = R (или (1−x)R =

144

R). Левый (или правый) идеал I кольца R называется квазирегулярным, если каждый его элемент квазирегулярен слева (или справа).

Условие квазирегулярности слева может быть интерпретировано следующим образом: если R(1 − x) = R, то, в частности, найдется y R такое, что y − yx = −x R, т.е. yx = x+y. Элемент y называется левым квазиобратным для элемента x. Обратно, если некоторый элемент x R имеет левый квазиобратный y, то R(1 − x) −x и, следовательно, регулярный идеал R(1 − x) совпадает с R.

Аналогично, элемент x R является квазирегулярным справа тогда и только тогда, когда найдется y R такое,

что xy = x + y.

Например, любой нильпотентный элемент x R является

квазирегулярным: если xn = 0, то yx − x − y = 0 для y = x + x2 + · · · + xn−1 R.

Заметим, что если I — квазирегулярный левый идеал, то каждый его элемент квазирегулярен не только слева, но и справа. (Аналогично, любой элемент квазирегулярного правого идеала квазирегулярен также слева.) Действительно, пусть I El R — квазирегулярный левый идеал, x I, y R — квазиобратный для x. Поскольку y = yx − x I, то y также квазирегулярен слева: существует w R такое,

что wy = w + y. Тогда wyx = (w + y)x = w(x + y), т.е. x + y = yx = wy = w + y, откуда w = x. Следовательно, xy = yx = x + y.

Лемма 7.4. Пусть I — квазирегулярный левый идеал, J MR — максимальный регулярный левый идеал. Тогда I J.

Доказательство. Пусть x R таков, что R(1−x) J, x / J. Если I 6J, то I + J = R в силу максимальности J. Поэтому x I + J, т.е. существуют y I, z J такие, что x = y + z. Пусть w R — квазиобратный для y I.

Тогда wx = wy + wz = w + y + wz, т.е. −w(1 − x) = y + wz.

Поскольку z, w(1 − x) J, то y J, откуда следует, что x J, — противоречие.

145

Таким образом, любой квазирегулярный левый идеал кольца R содержится в пересечении всех максимальных регулярных

левых идеалов. Это пересечение

\

JMR

называется радикалом (или радикалом Джекобсона) кольца

R.

Если MR = , то кольцо называется радикальным (в этом случае J(R) = R). Легко видеть, что кольцо радикально тогда и только тогда, когда каждый его элемент квазирегулярен.

7.2. Радикал кольца. Согласно определению радикал J(R) кольца R — это пересечение всех максимальных регулярных левых идеалов кольца R. Установим еще одно его определяющее свойство: это наибольший среди односторонних квазирегулярных идеалов.

Лемма 7.5. Радикал кольца R является квазирегулярным левым идеалом кольца R.

Доказательство. Пусть x J(R) не является квазирегулярным. Тогда R(1 − x) = I R, I 6= R. По лемме 7.2 идеал I вкладывается в J MR, но J(R) J по определению, т.е. x J. Отсюда J = R — противоречие.

Лемма 7.6. Радикал кольца R является двусторонним иде- алом в R.

Доказательство. Допустим, существует a R такое, что J(R)a 6J(R). Это значит, что существует такой J MR, что J(R)a 6J. Из максимальности J следует, что

J(R)a + J = R,

в частности, a = xa + y для некоторых x J(R), y J. По лемме 7.5 элемент x квазирегулярен, т.е. найдется w R такое, что

wa = wxa + wy = (w + x)a + wy,

146

откуда xa = wy J. Следовательно, a = xa + y J, что противоречит выбору a.

Мы установили, что наибольший квазирегулярный левый идеал является двусторонним идеалом. Аналогичное утверждение можно доказать для наибольшего квазирегулярного правого идеала. Следовательно, эти идеалы совпадают, т.е. определение радикала не зависит от выбора левых/правых идеалов.

7.3. Нильпотентность радикала артинова кольца.

Напомним, что односторонний идеал I кольца R называется ниль-идеалом, если все его элементы нильпотентны. Если же найдется n ≥ 1 такое, что для любых x1, . . . , xn I выполняется равенство x1 . . . xn = 0, то I называется нильпотентным. Любой нильпотентный идеал является, очевидно, ниль-идеалом.

Выше мы видели, что нильпотентные элементы всегда являются квазирегулярными. Следовательно, все односторонние ниль-идеалы содержатся в радикале. Следующий пример показывает, что радикал может быть ненулевым даже в кольце без делителей нуля.

Пример 7.7. Пусть R = Q[[x]] — кольцо формальных степенных рядов с рациональными коэффициентами (коммутативное кольцо без делителей нуля). Тогда J(R) = xR.

Действительно, если a = xf xR, то ряд 1 − a обратим в кольце R, поэтому xR J(R). Обратно, R/xR Q — поле, не имеющее идеалов. Поскольку J(R) заведомо не совпадает с R, то J(R)/xR = 0, что и требовалось.

Однако для артиновых колец имеет место следующее утверждение.

Теорема 7.8. Пусть R — артиново кольцо. Тогда любой односторонний квазирегулярный идеал в R нильпотентен.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для I = J(R) — наибольшего среди односторонних квазирегулярных идеалов.

.......

147

7.4. Теорема Веддербёрна — Артина. Формулировка Единственность Существование

148

2-й семестр

7. Покажите, что если X1, X2 — конечные множества и

GrhX1i GrhX2i, то |X1| = |X2|.

8.Докажите, что теорема о свободе подалгебр верна в многообразии абелевых групп.

9.Докажите, что теорема о свободе подалгебр неверна в многообразии коммутативных колец.

10.Приведите пример кольца, для которого свободный модуль, порожденный одним элементом, изоморфен свободному модулю, порожденному двумя элементами

11.Приведите пример, когда подкольцо или даже идеал нетерова кольца само таковым не является.

12.Докажите, что кольцо матриц Mn(R) над артиновым кольцом R артиново. Верно ли это для кольца многочленов

R[x]?

13.Пусть R — групповое кольцо симметрической группы S3 над полем C. Найдите разложение R в прямую сумму матричных колец и укажите образы транспозиций в этом разложении. Какой вид имеет такое разложение для знакопеременной группы A4?

Литература.

1.Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука,

1970.

2.Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука,

1983.

3.Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: «Лань»,

2007.

4.Burris S. N., Sankappanavar H. P. A Course in Universal

Algebra. http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html

150