Algebra3

При этом Z = θ0. Пересечение двух любых конгруэнций, отличных от θ0, нетривиально: θn ∩θm = θnm. Поэтому Z не изоморфно прямому произведению нетривиальных колец.

Однако, рассмотрим семейство всех θp Cong Z (в обозначениях предыдущего примера), соответствующих простым натуральным числам p. Это полное, но не независимое семейство (проверьте это), а все Z/θp Zp являются полями.

Отображение

Y

ϕ : Z → Zp, πp(ϕ(n)) = (n mod p)

p

является мономорфизмом, причем каждое из ϕ ◦ πp сюръективно. Таким образом, хоть Z и не разлагается в прямое произведение нетривиальных колец, оно «плотно» вкладывается в прямое произведение полей.

1.3. Подпрямое произведение алгебр. Пусть (Ai)i I —

семейство алгебр сигнатуры F. Подпрямым произведением

этого семейства алгебр называется любая такая подалгебра

Y

A Ai,

i I

что πi(A) = Ai для любого i I. Тот факт, что A является подпрямым произведением семейства (Ai)i I , обозначается

через

Ys

A = Ai.

i I

Это обозначение призвано не описать конструкцию алгебры A, а обозначить ее свойство.

Если некоторая алгебра A изоморфна некоторому подпрямому произведению данного семейства алгебр, то A часто также называют подпрямым произведением этого семейства.

Теорема 1.20. Пусть (Ai)i I — семейство алгебр сигна- туры F, A — алгебра той же сигнатуры. Тогда

21

Доказательство. Отождествим A с изоморфной подалгеброй в прямом произведении. Рассмотрим θi = Ker πi∩ (A × A) Cong A. Тогда Ai A/θi по теореме о гомомор-

Очевидно (легко проверить), что ι — гомоморфизм алгебр A → A. Если ι(a) = ι(b) для некоторых a, b A, то a/θi =

Определение 1.21. Говорят, что алгебра A подпрямо неразложима, если для любого семейства алгебр (Ai)i I такого,

что Ys

A Ai,

i I

найдется i I такой, что A Ai.

Теорема 1.22. Алгебра A является подпрямо неразложи- мой тогда и только тогда, когда любое полное семейство конгруэнций на A содержит A.

Доказательство. Пусть (θi)i I — полное семейство

конгруэнций на A. Тогда по теореме 1.20

Ys

A = A/θi.

i I

Так как A подпрямо неразложима, A A/θi для некоторого i I, т. е. θi = A.

22

Если

Ys

A Ai

i I

для некоторого семейства алгебр, то по теореме 1.20 существует полное семейство конгруэнций θi Cong A, i I, такое, что Ai A/θi. По условию найдется i I такой, что

θi = A, т. е. Ai A/θi A.

Теорема 1.23. Любая алгебра A является подпрямым про-

изведением некоторого семейства подпрямо неразложимых алгебр.

Доказательство. Если |A| = 1, то алгебра подпрямо неразложима и, формально, является подпрямым произведением семейства (A)i {1}.

Если |A| > 2, то для любых a, b A, a 6= b, рассмотрим множество конгруэнций

¯ { | }

Θa,b = θ Cong A (a, b) / θ

это непустое множество A ¯ a,b частично упорядочен

(Δ

Θ

),

-

ное по обычному отношению включения . Любая возрастающая цепь

¯

θ1 θ2 . . . , θk Θa,b,

имеет верхнюю грань в этом же множестве:

[

θω =

k≥1

(необходимо убедиться, что объединение цепи конгруэнций является конгруэнцией, а то, что (a, b) / θω, очевидно). Сле-

довательно по лемме Цорна множество ¯ a,b содержит мак

, Θ -

симальный элемент θa,b Cong A, (a, b) / θa,b.

Семейство конгруэнций (θa,b)a,b A,a6=b является полным. Действительно, для любых a 6= b найдется конгруэнция θ = θa,b такая, что (a, b) / θ. Следовательно, по теореме 1.20

Ys

A A/θa,b.

a6=b

23

Убедимся, что каждая алгебра

Aa,b := A/θa,b, a 6= b,

подпрямо неразложима.

Допустим, что для некоторых a, b A, a 6= b, найдется полное семейство конгруэнций (ϑi)i I , ϑi Cong Aa,b, не содержащее Aa,b . Рассмотрим суперпозицию

Поскольку θa,b — максимальная конгруэнция на A, не содер-

a,b

чает, что

(a/θa,b, b/θa,b) ϑi, i I.

Поскольку (ϑi)i I — полное семейство конгруэнций, a/θa,b = b/θa,b, т. е. (a, b) θa,b, — противоречие.

Пример 1.19 показывает, что кольцо целых чисел является подпрямой суммой конечных полей. Очевидно, что любое кольцо, являющееся полем, подпрямо неразложимо: единственные конгруэнции такого кольца A —

Упражнение. Докажите общий факт: любая простая алгебра является подпрямо неразложимой.

Упражнение. Покажите, что подпрямо неразложимая алгебра является декартово неразложимой. (То, что обратное неверно, показывает пример 1.19.)

Упражнение. Пусть A — множество функций N → {0, 1}, F = {f, g}, ν(f) = ν(g) = 1, F = (F, ν). Построим алгебру A = (A, FA) следующим образом:

fA(x) : i 7→x(i + 1), gA(x) : i 7→x(1), x A.

Докажите, что A подпрямо неразложима.

24

1.4. Алгебры, универсальные в классе. Пусть K —

некоторый класс алгебр сигнатуры F, U = (U, FU) — некоторая алгебра той же сигнатуры, 6= X U.

Определение 1.24. Алгебра U называется универсальной для класса K относительно X, если:

(1)U = SgU(X);

(2)для любой A K и для любого отображения α : X →

A существует гомоморфизм ϕ : U → A такой, что ϕ(x) = α(x) для всех x X.

Свойство универсальности можно наглядно выразить диаграммой:

Отметим, что сама алгебра U не обязана принадлежать классу K.

Предложение 1.25. Пусть U — алгебра, универсальная для класса K относительно множества X. Тогда для любой

Предложение 1.26. Пусть U1, U2 — алгебры, универ- сальные для класса K относительно множеств X1 и X2 соответственно. Допустим, Ui K, i = 1, 2. Тогда из |X1| < |X2| следует, что U1 — гомоморфный образ U2, а если |X1| = |X2|, то U1 U2.

Доказательство. Пусть |X1| < |X2|. Тогда существует сюръективное отображение α : X2 → X1 U1, которое по свойству универсальности алгебры U2 может быть продолжено до гомоморфизма ϕ1 : U2 → U1. Поскольку U1 порождена множеством X1, гомоморфизм ϕ1 сюръективен.

25

Если |X1| = |X2|, то α может быть выбрано биективным. Тогда по свойству универсальности алгебры U1 отображение α−1 может быть продолжено до гомоморфизма ϕ2 : U1 → U2:

Суперпозиции гомоморфизмов ϕ1 ◦ ϕ2 : U1 → U1 и ϕ2 ◦ ϕ1 : U2 → U2 действуют тождественно на порождающих множествах X1 и X2, следовательно, являются тождественными отображениями. Поэтому U1 U2.

Рассмотрим пример класса алгебр, в котором не содержится ни одной алгебры, универсальной для этого класса. Пусть K — класс полей, являющихся конечными расширениями поля рациональных чисел Q. Это класс алгебр сигнатуры

F= {+, −, 0, ·, 1, α˙ | α Q},

ν(+) = ν(·) = 2, ν(0) = ν(1) = 0, ν(−) = ν(α˙ ) = 1, α Q

(операция α˙ интерпретируется как умножение на скаляр из поля Q). Допустим, U — алгебра, универсальная для K относительно некоторого множества X 6= . Если U K, то любой элемент

x X алгебраический над Q. Пусть fx(t) Q[t] — минимальный

1

многочлен для x, n = deg fx. Рассмотрим A = Q(2n+1 ). Тогда

любое отображение α : X → A должно продолжаться до гомо-

1

морфизма алгебр ϕ : U → A. Но если взять α(x) = 2n+1 , то

1

0 = ϕ(fx(x)) = fx(ϕ(x)) = fx(2n+1 ), что невозможно, поскольку

1

минимальный многочлен для 2n+1 над Q равен tn+1 − 2.

Однако можно утверждать, что для любого класса алгебр K и для любого множества X 6= существует универсальная для K относительно X алгебра (которая может и не принадлежать самому классу K). Приведем конструкцию такой алгебры.

Рассмотрим X как множество переменных и обозначим через TF (X) множество всех термов сигнатуры F от переменных X. Напомним, что согласно определению

26

•x X является термом;

•если f F , ν(f) = n, t1, . . . , tn — термы, то f(t1, . . . , tn)

является термом;

•других термов нет.

Определим на множестве TF (X) структуру алгебры

TF (X) = TF (X), FTF (X)

следующим образом: для f F , ν(f) = n, положим fTF (X)(t1, . . . , tn) = f(t1, . . . , tn), ti TF (X).

Полученная алгебра называется алгеброй термов сигнатуры F, порожденной множеством X.

Предложение 1.27. Алгебра TF (X) является универсаль- ной для любого класса алгебр сигнатуры F относительно X.

Доказательство. Обозначим для краткости TF (X) через U. Равенство U = SgU(X) легко доказывается индукцией по длине терма. Рассмотрим некоторую алгебру A сигнатуры F и произвольное отображение α : X → A. Определим значение отображения ϕ : TF (X) → A на терме t по индукции:

•если t = x X, то ϕ(t) = α(x);

•если t = f(t1, . . . , tn), то ϕ(t) = fA(ϕ(t1), . . . , ϕ(tn)).

Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом

Алгебра термов является, в частности, универсальной для класса всех алгебр сигнатуры F (из предложения 1.26 следует, что такая алгебра единственна с точностью до изоморфизма). Но для м´еньших классов алгебра термов заведомо избыточна.

Покажем, как для данного класса алгебр K можно упростить эту алгебру, сохранив универсальность для K. Пусть X 6= — некоторое множество. Рассмотрим

ΘK(X) = θ Cong TF (X) | ϕ : TF (X) → A K, θ = Ker ϕ .

27

Иными словами, ΘK(X) состоит из всех ядер гомоморфизмов из алгебры TF (X) во все алгебры класса K. Обозначим

\

θK(X) = θ

θ ΘK(X)

и положим

FK(X) = TF (X)/θK(X).

Замечание 1.28. Если класс K содержит хоть одну нетривиальную алгебру A (т. е. |A| > 1), то естественный гомоморфизм τθK(X) действует инъективно на X.

Действительно, если x1, x2 X, x1 6= x2, то найдется такое α : X → A, что α(x1) 6= α(x2). По универсальному свойству алгебры термов существует продолжение ϕ : TK(X) → A K, ядро которого лежит в множестве ΘK(X). Поскольку

ϕ(x1) = α(x1) 6= α(x2) = ϕ(x2), то (x1, x2) / θK(X).

В дальнейшем мы будем преимущественно рассматривать такие классы K, в которых содержатся не только тривиальные (одноэлементные) алгебры. Для таких классов можно отождествлять множество переменных X (как подмножество в алгебре термов TF (X)) и его образ X = X/θK(X)

в FK(X).

Теорема 1.29. Алгебра FK(X) является универсальной для класса K относительно X.

Доказательство. Если K содержит только тривиаль-

ные алгебры, то θK(X) = TF (X), т. е. алгебра FK(X) тоже тривиальна и, следовательно, универсальна для K.

Пусть K содержит не только тривиальные алгебры. Алгебра FK(X) является гомоморфным образом TF (X), следо-

вательно, порождается множеством X. Рассмотрим любую алгебру A K и произвольное отображение α : X → A. Поскольку X и X равномощны, α можно считать отображением из X в A. По универсальному свойству алгебры термов существует гомоморфизм ψ : TF (X) → A, продолжающий α.

28

Тогда θ = Ker ψ ΘK(X), следовательно, θ θK(X). По теореме о гомоморфизмах существует χ : FK(X) → A такой,

что τθK(X) ◦χ = ψ. При этом χ(x/θK(X)) = χ(τθK(X)) = ψ(x) = α(x).

Теорема 1.30. Алгебра FK(X) изоморфна подалгебре пря- мого произведения семейства алгебр из K.

Доказательство. Для каждого θ ΘK(X) выберем ту алгебру Aθ K, для которой существует гомоморфизм ϕθ :

TF (X) → Aθ с ядром, равным θ.

По предложению 1.10 существует такой гомоморфизм

Y

ϕ : TF (X) → Aθ,

θ ΘK(X)

что ϕ◦πθ = ϕθ. Поскольку семейство канонических проекций

Действительно, если (p, q) Ker ϕ, то (p, q) Ker(ϕ ◦ πθ) = Ker ϕθ = θ. Обратно, если (p, q) Ker ϕθ = Ker(ϕ ◦ πθ),

но (p, q) / Ker ϕ, то (ϕ(p), ϕ(q)) Ker πθ для любого θ, что невозможно при ϕ(p) 6= ϕ(q).

По теореме о гомоморфизмах

1.5. Многообразия алгебр.

Определение 1.31. Класс K алгебр сигнатуры F называется многообразием, если выполнены следующие три условия.

29

•Если A K, ϕ : A → B — эпиморфизм, то B K.

Иными словами: многообразие — это класс алгебр, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и прямых произведений.

Теорема 1.32. Любое многообразие K содержит свобод- ную алгебру FK(X) для любого множества X 6= .

Доказательство. Непосредственно вытекает из теоре-

мы 1.30.

Любой (непустой) класс алгебр порождает многообразие следующим образом. Пусть K — некоторый класс алгебр сигнатуры F. Определим операторы J, H, S, P , преобразующие этот класс алгебр в классы J(K), H(K), S(K), P (K) соответственно:

J(K) = K {B | B A},

H(K) = K {B | ϕ : A → B, A K, ϕ(A) = B},

S(K) = K {B | B A, A K},

Очевидно, что K X(K) и если K1 K2, то X(K1)

X(K2) для X = J, H, S, P .

Рассмотрим суперпозиции этих операторов. Заметим, что для любого класса K выполнены следующие равенства:

HH(K) = H(K) J(K) K,

SS(K) = S(K) K,

JP P (K) = JP (K) J(K),

последнее вытекает из следствия 1.14: если A P P (K), то A JP (K); обратное вложение вытекает из P (K) P P (K). Кроме того, очевидно, что

SH(K) HS(K)

30