electrodynamics
.pdf
|
Приложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
321 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сферическая система координат (r,ϑ,ϕ ) |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a = ar er |
+ aϕ eϕ |
+ aϑ eϑ |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cosϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Элемент дуги (dl )2 = (dr)2 + r 2 |
(dϑ )2 + r 2 sin 2 ϑ (dϕ )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Элемент объема dV = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Единичные векторы вдоль координатных линий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
er |
= cosϕ sin ϑ i + sin ϕ sin ϑ j + cosϑ k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
eϑ |
= cos ϕ cosϑ i + sin ϕ cosϑ j − sin ϑ k , |
|
|
eϕ = − sin ϕ i + cosϕ j |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad f = |
|
∂f |
r |
+ |
1 ∂f r |
+ |
|
|
|
1 ∂f r |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Градиент скалярного поля |
|
|
|
|
er |
|
|
|
|
|
|
|
|
eϑ |
|
|
|
|
|
|
|
eϕ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂r |
r |
∂ϑ |
|
r sin ϑ |
∂ϕ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дивергенция векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
1 |
|
|
∂ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∂aϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
div a |
= |
|
|
|
|
(r |
|
ar ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(aϑ sin ϑ ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r 2 |
|
|
∂r |
|
r sin ϑ |
|
∂ϑ |
r sin ϑ |
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Оператор Лапласа |
|
|
f |
= |
1 |
|
∂ |
(r 2 |
∂f |
) + |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
(sin ϑ |
∂f |
) + |
|
|
1 |
|
|
|
∂2 f |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
∂r |
|
|
|
r 2 sin ϑ ∂ϑ |
|
|
|
∂ϑ |
|
r |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Некоторые частные решения уравнения Лапласа |
f |
= 0 : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
p cosϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
f |
1 |
|
(поле точечного заряда); |
f |
|
( p; r ) |
|
= |
|
(поле диполя); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
pr cosϑ = pz |
|
(однородное поле) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
1 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
er |
|
|
|
|
|
|
eϑ |
|
|
|
|
eϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 sin ϑ |
|
|
|
r sinϑ |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
rot a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
∂ϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ar |
|
|
|
|
|
|
r aϑ |
|
|
|
|
r sin ϑ aϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Элементарная работа векторного поля |
A = (adl ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ar dr + aϕ r sin ϑ dϕ + raϑ dϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Поток векторного поля Φ = ∫∫ad S = ∫∫(a, n)dS = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= ∫∫r 2 ar |
sin ϑdϕ dϑ + raϕ drdϑ + r sin ϑ aϑ drdϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература |
322 |
Литература
1.С.Г. Калашников. Электричество. М.: Наука, 1985.
2.А.Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа", 1986.
3.И. В. Савельев. Курс общей физики. Том II. Электричество. М.: Наука, 1964.
4.З. Парселл. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1971.
5.И.Е. Тамм. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.
6.Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука, 1973.
7.Л.И. Антонов, Л.Г. Деденко, А.Н. Матвеев. Методика решения задач по электричеству. М.: Изд-во МГУ, 1982.
8.В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин. Сборник задач по электродинамике. М:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002.
9. С.М. Козел, В.Г. Лейман, Г.Р. Локшин, В.А. Овчинкин, Э.В. Прут.
Сборник задач по общему курсу физики. Ч.2. Электричество и магнетизм.
Оптика. М: Изд-во МФТИ, 2000.
10. Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм.
под ред. И.А. Яковлева. М: Наука, 1977.
11.Е.И. Бабаджан, В.И. Гервидс, В.М. Дубовик, Э.А. Нерсесов. Сборник качественных вопросов и задач по общей физике. М: Наука, 1990.
12.Н.Н. Взоров, О.И. Замша, И.Е. Иродов, И.В. Савельев. Сборник задач по общей физике. М: Наука, 1968.
13.Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и
решениями. М: Мир, 1978.