electrodynamics

Здесь а неизвестная пока постоянная. Найдем ее из граничного условия на аноде: ϕ(d) = U0. Подстановка в (11.20) найденного значения а дает окончательно:

Решение. Так как распределение тока проводимости вне пластин и токов смещения между ними обладает цилиндрической симметрией, воспользуемся этим фактом при выборе контура обхода для теоремы о циркуляции (см. рис.11.4). В силу симметрии модуль напряженности магнитного поля на окружности L , ось которой совпадает с током, одинаков во всех точках, поэтому

Рис.11.4

Для контура, лежащего внутри конденсатора, как следует из уравнения (11.1), ее следует приравнять току смещения, пронизывающему контур L :

Для определения поля вне конденсатора применим теорему о циркуляции к контуру L1 (рис.11.4). Циркуляцию вектора H по этому контуру следует приравнять току проводимости I , заряжающему конденсатор, откуда

I

H 1 = π . (11.25) 2 r

Скачок поля при переходе через пластину конденсатора обусловлен наличием радиальных токов, текущих по поверхности пластин в процессе зарядки конденсатора (рис.11.4).

Пример 11.4. Заряженный и отключенный от источника плоский конденсатор с круглыми пластинами медленно разряжается объемными токами проводимости, возникающими в диэлектрике между обкладками из-за наличия слабой проводимости. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислите напряженность магнитного поля внутри конденсатора.

Решение. Воспользуемся цилиндрической симметрией в распределении токов и вычислим циркуляцию вектора Н для контура L , введенного в предыдущем примере:

В отличие от предыдущего примера, теперь ток проводимости не распределен равномерно по объему поля между пластинами, а сосредоточен в узкой области вблизи оси конденсатора.

Пример 11.6. Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков радиусом R =10см. Пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями ε и µ .

Конденсатор включен в цепь переменного тока I = I 0 cos ωt . Пренебрегая краевыми эффектами, вычислите электрическую и магнитные энергии, локализованные в конденсаторе. Найдите отношение максимальной магнитной к максимальной электрической энергии. При расчетах следует принять

ε = µ = 1 , а частоту тока ν = ω 2π =100 Гц.

Решение. Энергия электрического поля, заключенного между обкладками плоского конденсатора определяется выражением (5.8) и для данных задачи равна

Магнитное поле в конденсаторе создается током смещения. Оно было подсчитано в Примере 3 и задается выражением (11.24). Плотность энергии магнитного поля задается выражением (9.9). Воспользуемся ею для определения энергии магнитного поля в конденсаторе. Энергия поля в цилиндрическом слое, ограниченном радиусами r и r + dr равна

Интегрируя это выражение по всему объему цилиндра, получаем

Подставим в выражения (11.27) и (11.29) заданное по условию задачи

Видим, что энергия магнитного поля составляет ничтожную долю от энергии электрического поля, заключенного между обкладками конденсатора.

проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ . Длина соленоида равна l ,

радиус R . По обмотке соленоида течет переменный ток I = I 0 cos ωt .

Пренебрегая краевыми эффектами, вычислите электрическую и магнитную энергии, локализованные внутри соленоида, и найдите отношение максимальных значений этих энергий. Численный расчет провести для R = 5 см,

ε = µ = 1 при частоте тока ν = ω 2π =100 Гц.

Решение. Энергия магнитного поля, заключенного в катушке, определяется выражением (9.7), а ее индуктивность – формулой (9.15):

Для определения электрического поля в катушке отметим, что распределение тока обладает цилиндрической симметрией, поэтому силовые линии напряженности электрического поля будут окружностями, концентрическими с витками катушки. Выберем контур C , совпадающим с одной из силовых линий и запишем для него закон электромагнитной индукции:

Индукция магнитного поля на оси соленоида задается выражением (9.13). Подставляя его в (11.31), получаем

Энергия электрического поля, заключенная в катушке, может быть подсчитана

Отношение максимальных значений электрической энергии к энергии магнитного поля равно

Пример 11.8. Внутри цилиндрической области пространства радиусом R=10 см (см. рис.11.5) магнитное поле направлено параллельно оси OO′ воображаемого цилиндра, а его индукция изменяется по закону B(t) = k t, k=60 Тл/c. Вне этой области магнитная индукция равна нулю. На расстоянии a=19 см от оси OO′ расположена,

как показано на рисунке, тонкая проводящая палочка длиной l=22 см. Найдите разность потенциалов между концами палочки.

Решение. Как внутри, так и вне области,

занятой переменным во времени магнитным полем, существует электрическое поле, определяемое уравнением (11.2). Структура этого поля внутри области однородного цилиндрически симметричного магнитного поля была подробно рассмотрена в примере 1. Как было показано, в рассматриваемом случае отлична от нуля только азимутальная составляющая Еϕ , и она равна –½ kr (r< R). Найдем теперь электрическое поле вне области магнитного поля. При r>R

∂(rEϕ ) =

(В=0) эта составляющая удовлетворяет уравнению 0 , откуда следует

∂r

Еϕ = C/r. Теперь особая точка r = 0 не входит в расматриваемую область, и это решение не должно быть отброшено. Постоянная С находится из условия

непрерывности вектора E при r = R: C/R = −½kR, откуда окончательно:

Заметим, что найденное выражение для вихревого электрического поля есть не

из выражения для векторного потенциала. При помещении проводящей палочки во внешнее поле в ней произойдет перемещение свободных зарядов и их стационарное распределение должно удовлетворять условию равенства нулю полного электрического поля:

электромагнитной индукции.

Интегриуя это выржение вдоль палочки, получим выражение для искомой разности потенциалов:

210 §11. Уравнения Максвелла

4a 2 + l 2

рассчитанная разность потенциалов учитывает только потенциальную часть полного поля и, поэтому, не равна работе по перемещению пробного заряда от одного конца палочки до другого. Эта работа зависит от траектории (так как полное поле не потенциально), и включает как работу потенциальных сил, так и вихревой составляющей поля.

Задание для самостоятельной работы

11.1. Из материала с проводимостью λ=6 107 (Ом м)-1 изготовлен сплошной цилиндр длиной l=4 см и радиусом R=1 см. Цилиндр помещают в

нестационарное магнитное поле, вектор индукции которого B параллелен оси цилиндра. Магнитное поле изменяется по закону

где r – расстояние от оси цилиндра, а R1>R. Найдите тепловую мощность, выделяющуюся в цилиндре за счет токов Фуко, если k=10 Тл/c.