electrodynamics

высота тороида равна h=6 см, а магнитная проницаемость его материала – Найдите коэффициент взаимной индукции между катушкой и

проводом.

9.6.На длинный соленоид с плотностью намотки n=103 витков на единицу длины и площадью витка s =10 см2 надета короткая катушка большего диаметра, содержащая N=20 витков. Найдите коэффициент их взаимной индукции.

9.7.Найдите индуктивность катушки, намотанной на тороид прямоугольного сечения с зазором, ширина которого много меньше радиусов сердечника. Внешний радиус тороида равен R2=5,4 см, внутренний – R1=2 см, высота

тороида равна h=3 см, ширина зазора =1 мм, а магнитная проницаемость материала – µ=200. Катушка содержит N=100 витков, равномерно распределенных по поверхности тороида.

9.8. Внутрь длинного соленоида с плотностью намотки n витков на единицу длины помещена короткая катушка с площадью витка s, содержащая N витков. Найдите коэффициент взаимной индукции обмоток, если оси соленоида и катушки образуют угол α.

9.9. Внутрь длинного соленоида длиной l, содержащего N витков c площадью сечения S, помещен короткий ферромагнитный сердечник длиной d<<l c

магнитной проницаемостью µ>>1. Найдите индуктивность соленоида.

9.10. В стальном цилиндре с высотой h=20 см и радиусом основания R=6 см просверлено соосное отверстие радиусом r=3 мм. Внутри отверстия вдоль оси цилиндра проходит бесконечный прямой провод, по которому протекает ток

172 §9. Магнитный поток. Индуктивность

J=100 А. Найдите энергию магнитного поля, сосредоточенного в материале цилиндра, если магнитная проницаемость стали =1000.

9.11. Найдите энергию магнитного поля, сосредоточенного в катушке, намотанной на тороид прямоугольного сечения, по которой протекает ток I=10 А. Внешний радиус тороида равен R2=5,4 см, внутренний – R1=2 см, высота тороида равна h=3 см, а магнитная проницаемость его материала – =500. Катушка содержит N=100 витков, равномерно распределенных по поверхности тороида.

9.12. Прямой провод проходит вдоль оси соленоида с плотностью витков n0=10 см-1. По проводу и по соленоиду текут постоянные токи одинаковой силы. Площадь сечения провода – S1=0,1 см2, а площадь витка соленоида – S2=10 см2. Определите – во сколько раз энергия магнитного поля, создаваемого внутри соленоида самим соленоидом превышает энергию магнитного поля, создаваемого внутри соленоида проводом. При расчетах воспользоваться условием S1<<S2.

9.13. Конденсатор емкостью С=1 мкФ, заряженный до напряжения U0=12 В, соединен с катушкой индуктивностью L=10 мГн, через ключ (рис. 9.6). Каково может быть максимальное значение силы тока в этой цепи после замыкания ключа?

9.14. Два длинных соленоида различных

Рис.9.6

диаметров вдвинуты друг в друга так, что длина области их перекрытия значительно превышает их диаметры. Токи в обмотках равны I1=2 А, I2=5 А, плотности намотки составляют n1= n2=103

витков на метр, радиус меньшей катушки r=1 см . Найдите силу взаимодействия соленоидов.

9.15. Внутри длинной катушки-соленоида индуктивностью L0 расположен соосно другой соленоид меньших размеров, все линейные размеры которого в

β раз меньше линейных размеров большого соленоида (подобные катушки).

Катушки соединены последовательно. Найдите индуктивность такой системы. Число витков обоих соленоидов одинаково.

§10. Закон электромагнитной индукции.

Краткие теоретические сведения

Закон электромагнитной индукции. Одно из наиболее важных электромагнитных явлений – это явление электромагнитной индукции, которое заключается в том, что изменение магнитного потока (9.1), пронизывающего замкнутый проводящий контур, порождает в этом контуре электродвижущую силу, которая в этом случае называется ЭДС индукции. Закон электромагнитной индукции связывает эту ЭДС со скоростью изменения магнитного потока:

где εi – ЭДС индукции в контуре, Φ – магнитный поток, пронизывающий его, а t

– время. Отметим, что закон электромагнитной индукции (10.1) справедлив независимо от того, с чем связано изменение магнитного потока – с нестационарностью магнитного поля, с деформацией контура или изменением его положения или ориентации в пространстве.

ЭДС индукции порождает в контуре индукционный ток, величина которого определяется законом Ома (6.9), а направление – правилом Ленца:

индукционный ток всегда направлен так, что его действие противоположно действию причины, его порождающей. Иными словами, магнитное поле индукционного тока стремится поддержать значение магнитного потока через контур неизменным. Этому соответствует знак «минус» в правой части закона электромагнитной индукции (10.1).

Если изменение магнитного потока через замкнутый проводящий контур связано с изменением силы тока в контуре и, как следствие, с изменением индукции магнитного поля, порождаемого этим током, то говорят о

явлении самоиндукции. Выражение для ЭДС самоиндукции легко получить, подставив в закон электромагнитной индукции (10.1) магнитный поток, выраженный из (9.6):

где εsi – ЭДС самоиндукции в контуре, L – его индуктивность, а I – сила тока в контуре.

Закон электромагнитной индукции (10.1) имеет интегральный характер, т.е. описывает макроскопический объект – замкнутый проводящий контур. Воспользовавшись определением ЭДС (6.3), определением магнитного потока (9.1) и теоремой Стокса, нетрудно получить дифференциальную формулировку закона электромагнитной индукции:

где B – индукция нестационарного магнитного поля, а E – напряженность электрического поля, порождаемого этим магнитным полем. Это не что иное, как второе уравнение Максвелла. Оно справедливо в любой точке пространства и количественно описывает тот факт, что переменное магнитное моле порождает вихревое электрическое поле. Если вихревое электрическое поле существует в объеме проводника, то оно порождает в нем токи, циркулирующие вдоль силовых линий электрического поля. Эти токи называют

вихревыми токами, или токами Фуко.

Пример 10.1. Самолет летит с постоянной скоростью v=900 км/ч над Северным магнитным полюсом Земли. Оцените разность потенциалов, возникающую между концами его крыльев, если размах крыльев составляет L=40 м, а

индукция магнитного поля Земли – B=6 10-5 Тл.

Решение. Причиной возникновения разности потенциалов между концами крыльев самолета является сила Лоренца, перемещающая заряды в его проводящих элементах. На каждый свободный заряд q действует сила

Над магнитным полюсом линии магнитной индукции «выходят из Земли» практически вертикально, а самолет летит горизонтально, поэтому сила Лоренца направлена вдоль крыльев. При этом положительные заряды смещаются к концу правого крыла, а отрицательные – к концу левого. Разделенные силой Лоренца заряды создают электрическое поле, направленное

от правого крыла к левому. Пусть напряженность этого поля равна E . Тогда оно действует на свободный заряд q с силой

с учетом (10.4) и (10.5), найдем напряженность электрического поля:

E = −[v B]= [Bv].

Отсюда найдем искомую разность потенциалов при помощи формулы (2.3), связывающей потенциал и напряженность электростатического поля:

2 2 2

U = U1 − U 2 = ∫Ed l = ∫Edl = Bv∫dl = Bvl .

1 1 1

Здесь учтено, что интегрирование ведется вдоль силовых линий электрического поля, т.е. от края правого крыла (точка «1») до края левого (точка «2»). При

этом векторы E и d l параллельны. Таким образом, за счет действия магнитного поля Земли правое крыло самолета приобретает положительный

потенциал относительно левого. Подставив в полученный ответ численные данные из условия задачи, получим U = 0,6В .

Пример 10.2. Бесконечный прямой провод и квадратная рамка со стороной a и полным сопротивлением R расположены в одной плоскости так, что провод проходит параллельно одной из сторон рамки на расстоянии d от нее. Сила тока в проводе изменятся по закону I1 (t) = αt 3 , α = const . Найдите зависимость силы тока в рамке от времени.

Решение. Для решения этой задачи мы должны воспользоваться законом электромагнитной индукции (10.1). Сначала найдем магнитный поток через рамку, создаваемый током, протекающим по проводу. В соответствии с (7.5), индукция магнитного поля, создаваемого этим током в плоскости рамки, равна

2πx

где n – единичный вектор нормали к плоскости рамки (см. рис.10.1), а x –

расстояние от провода до точки, где рассматривается индукция магнитного поля.

Магнитный поток через рамку найдем непосредственно из его определения (9.1) (см. Рис.10.1)

нормали к площадке d S .

Подставляя в выражение для потока

выражение (10.6), получаем

Рис.10.1

Для нахождения ЭДС индукции осталось подставить сюда выражение для силы тока в проводе и продифференцировать его по времени:

.

Согласно закону Ома для замкнутого контура (6.9), сила индукционного тока, протекающего в рамке равна отношению ЭДС индукции к сопротивлению рамки:

Отрицательное значение полученной силы тока говорит о том, что он течет против положительного направления обхода рамки, определяемого правилом

буравчика относительно вектора нормали n .

Пример 10.3. Соленоид имеет N=500 витков и обладает сопротивлением R=5 Ом. Площадь поперечного сечения соленоида равна S=10 см2. Концы соленоида замыкают и вносят его в однородное магнитное поле c индукцией

B=10 мТл, силовые линии которого направлены под углом α=60° к оси соленоида. Найдите заряд, протекший через обмотку соленоида.

Решение. Запишем закон электромагнитной индукции:

εi = − dΦ , dt

где εi – ЭДС индукции в соленоиде, а Φ – магнитный поток, пронизывающий

его в момент времени t. Поскольку концы соленоида замкнуты, можем найти силу индукционного тока I из закона Ома для замкнутого контура (6.9):

Индукционный ток связан с зарядом q, протекшим к моменту времени t через произвольное сечение проволоки соленоида, очевидным соотношением:

Приравнивая правые части выражений (10.7) и (10.8) и интегрируя полученное уравнение по времени, получаем:

q(t2 ) − q(t1 ) = − 1 (Φ(t2 ) − Φ(t1 )) = 1 (Φ(t1 ) − Φ(t2 )) ,

R R

где t1 и t2 – произвольные моменты времени. Выберем их так, чтобы момент t1 предшествовал внесению соленоида в магнитное поле, а момент t2 соответствовал ситуации, когда индукционный ток уже перестал течь. Тогда q(t1)=0, а q(t2) – не что иное как искомый полный заряд (обозначим его Q), а последнее выражение перепишется в виде

соответственно, до и после его внесения в магнитное поле. Очевидно,

начальный магнитный поток Φнач равен нулю, а конечный поток Φкон найдем из формулы (9.3)

Так как поле однородно, то индукцию можно вынести за знак интеграла, получим

Φкон = NB cosα ∫ds =NB S cosα .

Si

Подставляя магнитные потоки в выражение (10.9), находим искомый заряд:

Q = − NB S cosα .

R

Отрицательная величина найденного заряда означает, что индукционный ток течет против положительного направления обхода соленоида, т.е. такого направления обхода, при котором магнитное поле, создаваемое индукционным током, было бы направлено «в сторону» внешнего магнитного поля. Это находится в полном соответствии с правилом Ленца: индукционный ток «пытается препятствовать» увеличению магнитного потока через соленоид.

Подставив в полученный ответ численные данные из условия задачи,

получим Q = − 0,5 мКл.