electrodynamics

§8. Магнитное поле в веществе

151

r << µd , то H c ≈

IN

, H з =

IN

B ≈

µ0 IN

,

.

µd

d

d

Пример 8.5.

Шар радиусом

R из однородного

магнетика

с

магнитной

r

проницаемостью µ вносится в однородное магнитное поле с индукцией B0 .

Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне шара.

r

Решениее.

В

отсутствие токов

проводимости

rot H = 0 ,

а

поскольку

r

r

r

B = µ0

µH

и

µ не

зависит

от

координат, то

и rot B = 0 .

Это дает

известных

решений,

удовлетворяющих

этому

уравнению

и

уравнению

r

div B = 0 .

Попробуем

найти

решение этой

задачи

в

виде

суммы

r

r

однородного

поля

и

поля

магнитного

диполя

,

т.е.

B1

pm

µ

r

r

r

v r

0

3(p

m

r ) r

p

m

B = B

+

r

−

,

причем векторы

В

1

и

p

m

различны

для

1

4π

r 5

r 3

v( ) r( )

µ

3(p

(i )r )r

p(i )

v( )

r( )

µ

3(p

(e)r )r

p (e )

r

r

r

r

r

r

B i = B i +

0

m

r −

m

B e = B e +

0

m

r −

m

.

1

4π r 5

r 3

1

4π r 5

r 3

r(e)

r

(e)

, p

(e )

, p

(i )

вне и внутри шара найдем из

Четыре неизвестных вектора B

, B

m

m

1

1

r

(i )

r

(i )

r

(i )

r

(i )

.

Так как

p

m

= 0 и поэтому поле B

внутри шара однородно: B

= B

r

r

1

при r → ∞ поле однородно по условию,

то B(e ) = B , и для решения задачи

r

1

0

(i )

и

r

(e)

.

Тогда будет:

осталось подобрать вектора B

p

m

1

r( )

r( ) v( )

r( )

µ 3(p

(e )r )r p(e )

r

r

r

B i

= B i , B e = B e +

0

m

r −

m

.

r 5

1

0

4π

r 3

r

µ0

(e )

1

вектора

H следует, что

B

−

pmτ

=

B(i ) . Так как это условие должно

0τ

4π

R3

µ

1τ

выполняться в любой точке поверхности шара, то

µ

0

p(e)

1

(

)

mτ

= B

−

B i

.

(8.14)

4π

R3

0τ

µ

1τ

Второе уравнение, связывающее неизвестные векторы

r

(e)

r(i )

получим

p

m

и B

1

r

(e)

и

r

(i )

из условия непрерывности нормальных составляющих векторов B

B

r

r

r

r

r

p

r

на границе шара.

Так как

(pm r ) r

=

m r

r

есть составляющая вектора

r

r 5

r 3

r

r

r

r

r

p

m

r

(p

m

r ) r

−

p

m

r

вдоль

r ,

то

r

есть составляющая, перпендикулярная r , и

r 5

r 3

r 3

потому

равенство

нормальных

составляющих

(после

сокращения

на

r

косинус угла между радиус-вектором и направлением внешнего поля

B0 )

( )

µ

0

2 p

(e )

приводит

к

соотношению:

B i

= B +

m

и,

соответственно,

в

1

0

4π

R3

векторном виде:

r(

)

r

µ

r

(e )

0

2 p

m

B i

=

B

+

.

(8.15)

1

0

4π

R3

r

(i )

3µ

r

r

4π µ − 1

3 r

Решая систему (8.14), (8.15), получаем: B

=

B0 , pm =

R

B0 .

µ + 2

µ0 µ + 2

µ

− 1

r

r

r

3µ

r

(

)

r

3(B r )r

B

r

( )

r

Окончательно:

B e

=

B

+

0

r

−

0

;

B i

=

B .

0

µ + 2

r 5

r 3

µ +

2

0

§8. Магнитное поле в веществе

153

r

4π µ − 1

r

моментом p

m

=

R

3 B .

µ0 µ + 2

0

µ1I

в вакууме. Во второй среде

r

= 0 . При расчете поля в первой

rot B2

на границе:

Bτ 1

=

Bτ 2

; B

= B

. Для

µ1

µ2

n1

n2

154

§8. Магнитное поле в веществе

r

(во второй среде), а поле

B2 создается током γI

(в первой среде). В силу

того, что

величина

B пропорциональна току,

из граничных

условияй

следует:

µ1 − β

=

γ

µ1 + β = γ .

Откуда

получаем:

β =

µ1

(µ2 − µ1 )

,

;

µ1

µ2

µ1 + µ2

2µ1µ2

γ =

. Таким

образом, поле

в

первой

среде совпадает

с полем в

µ + µ

2

1

вакууме,

созданным

током I1 = µ1I

,

текущим по исходному проводу, и

током I

=

µ1 (µ2 − µ1 )

I ,

текущим по его зеркальному отражению. Поле во

2

µ1 + µ2

второй среде совпадает с полем, созданным током

I3 =

2µ1µ2

I , текущим

µ1

+ µ2

по исходному проводу в вакууме.

Если µ2 >> µ1 (вторая среда – ферромагнетик),

I 2 = I1 = µ2 I ; "зеркальный"

B (x) =

µ0

γI =

µ0 µ1µ2

I ,

а

ее проекции

на

касательное

2

2πr

π (µ1 + µ2 ) x 2 + a 2

направление

и

нормаль

равны

B2τ

=

µ0 µ1µ2a

I ,

π (µ + µ

2

)(x2

+ a 2 )

1

B2n

=

µ0 µ1µ2 x

I .

Согласно

условиям

для

границ

раздела,

π (µ + µ

2

)(x 2

+ a 2 )

1

B

= B

,

B

=

µ1

B

,

откуда

окончательно:

1n

2n

1τ

µ2

2τ

§8. Магнитное поле в веществе

155