electrodynamics

Заметим, что конденсатор с учетом влияния коробки может быть представлен эквивалентной схемой, показанной на рис. 5.6. Исходя из этой схемы, можно решить задачу, пользуясь правилами вычисления емкости параллельного и последовательного соединений конденсаторов.

Пример 5.4. Определите приближенно емкость конденсатора,

образованного двумя одинаковыми шарами радиусом R , находящимися на большом (по сравнению с R ) расстоянии a . Все остальные тела далеки от шаров.

Решение. Потенциал каждого шара определяется его собственным зарядом,

распределенным по его поверхности, и зарядом второго шара, который в силу его удаленности можно считать сосредоточенным в центре. Так как потенциал проводящего шара совпадает с потенциалом его центра, то шар,

При a → ∞ емкость приближенно будет равна 2πε 0 R .

92 §5. Электроемкость. Энергия электрического поля

Пример 5.5. Два конденсатора C1 и C2 ,

показанные на рис.5.7, заряжаются следующим образом. Сначала замыкают и размыкают ключ К1, затем замыкают ключ К2. Определите разность потенциалов U1

иU 2 на конденсаторах, если ЭДС батарей

ε1 и ε 2 .

Решение. При замыкании ключа К1

заряжается только конденсатор C1 ,

причем напряжение на нем совпадает с ЭДС первой батареи ε1 . Размыкание

Искомые напряжения на них находим согласно (5.3):

Пример 5.6. Между обкладками плоского конденсатора с размером пластин a хb

находится диэлектрическая пластинка,

толщина которой практически равна расстоянию между пластинами l ,

заполняющая пространство между пластинами лишь частично, как показано на рис.5.9. Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна U .

Диэлектрическая проницаемость материала, из которого изготовлена пластинка, равна ε . Найдите силу, которая

будет действовать на пластинку и втягивать ее в конденсатор.

Решение. Провести детальное исследование силы очень трудно, так как она связана с неоднородностями поля вблизи концов диэлектрика и пластин.

Однако ее можно найти, используя энергетические соображения. Для этого найдем сначала зависимость емкости конденсатора от длины помещенной в него части пластины. Конденсатор, показанный на рис.5.9, можно представить как параллельное соединение двух конденсаторов: первый с площадью пластин S1 = ax , заполненный диэлектриком, и второй с площадью пластин S 2 без диэлектрика. При параллельном соединении емкости складываются, поэтому с учетом (5.5) находим

совершена эта работа? Возможны два различных варианта расчета работы.

В первом случае конденсатор отключен от источника. При этом сохраняется заряд конденсатора, а разность потенциалов изменяется. Работа совершается только за счет энергии конденсатора, то есть

откуда находим силу, действующую на пластинку:

При продолжении процесса напряжение на конденсаторе, а вместе с ним и действующая на пластинку сила будут изменяться, однако соотношение

(5.18) остается в силе.

При другом подходе напряжение на обкладках конденсатора,

который постоянно подключен к источнику, поддерживается постоянным.

При смещении пластины в цепи источника протекает ток, и он совершает работу A1= UdQ=U2dC. Одновременно энергия конденсатора возрастает (а

не убывает, как в предыдущем случае) на величину A2= ½U2dC. Таким

l

пластинку в зазор между обкладками конденсатора. Теперь,однако, эта сила не изменяется при перемещении пластины.

Пример 5.7. Вычислите энергию поля заряженного шара радиусом R в

вакууме, если заряд шара Q равномерно распределен по его объему. Как изменится результат, если заряд будет равномерно распределен по поверхности шара? Диэлектрическая проницаемость материала шара - ε.

Решение. Так как поле вне шара не зависит от того, распределен заряд равномерно по объему шара, или по его поверхности, то начнем с нахождения энергии этой части поля. Используя выражение (5.10) для плотности энергии поля, получим

∞

W0 = ∫ 12 ε 0 E 2 (r )4πr 2 dr .

R

Напряженность электрического поля для заданного в условии задачи распределения зарядов задается формулой Подставляя ее в предыдущую формулу, получим

Q 2

можно переписать в виде W0 = . 8ε 0πR

Заряженный по объему шар будет иметь дополнительную энергию,

заключенную в поле внутри шара. Используя полученное ранее выражение для поля внутри шара, имеем

Полная энергия шара, равномерно заряженного по объему, равна

разности между энергиями поля для шаров, находящихся на расстоянии a ,

и шаров, удаленных друг от друга на очень большое по сравнению с радиусами шаров расстояние. Последняя энергия равна энергии поля двух уединенных шаров

Энергия шаров, находящихся на произвольном расстоянии друг от друга,

равна

22

где ϕ Q и ϕ q -- потенциалы шаров радиусом R и r соответственно. По

условию задачи r << R , поэтому при определении ϕ Q малый шар радиусом r можно заменить точечным зарядом q , помещенным в его центр. Внутри

присутствии малого заряженного шара распределен по поверхности

неравномерно. В примере 4 четвертого параграфа было показано, что поле,

создаваемое неравномерно распределенным по поверхности большего шара

Пример 5.9. Два проводящие шара с радиусами R и r расположены так,

что расстояние между их центрами равно a . На первом находится заряд Q ,

а второй не заряжен. В предположении, что r << R оцените энергию взаимодействия между ними.

98 §5. Электроемкость. Энергия электрического поля

Решение. Энергия взаимодействия между описанными в условии задачи, но заряженными шарами была найдена в предыдущем примере и задается выражением (5.24). Видим, что если заряд q равен нулю, то она также равна нулю. Однако при выводе выражения (5.24) не учитывалось, что заряд q на шаре радиусом r также, как и на второй сфере, распределен неравномерно. Учет неравномерности распределения зарядов по сферам дает малую поправку в (5.24), которая не обращается в ноль при q = 0 .

Найдем ее.

Будем предполагать, что в пределах малого шара поле, создаваемое большим, можно считать однородным. В примере 7 из параграфа 3 было показано, что на проводящем шаре в однородном электрическом поле напряженностью E появляется наведенный заряд, поле которого за пределами этого шара эквивалентно полю диполя с дипольным моментом

p e = 4πε 0 r 3 E , помещенного в центр шара, и определяется выражением

(2.8). В центре большого шара этот диполь создает дополнительный

Это малое изменение потенциала большого шара, обусловленное зарядами, наведенными на малом шаре радиусом r , и определяет энергию взаимодействия заряженного и незаряженного шаров

Задачи для самостоятельной работы

5.1. Определите емкость уединенного шарового проводника радиусом R1,

окруженного прилегающим к нему шаровым слоем однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Внешний радиус слоя –

R2.

5.2. Сферический конденсатор, состоящий из двух концентрических проводящих сфер с радиусами R1 и R2 ( R2 > R1 ), заряжен до напряжения

U. Насколько изменится энергия электрического поля, если заземлить внутреннюю сферу?

5.3. Как изменится емкость помещенного в коробку конденсатора (см.

Пример 3), если коробку соединить с одной из пластин?

5.4. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого линейно меняется в перпендикулярном обкладкам направлении от значения ε1 у одной пластины до значения ε 2 < ε1 у другой. Расстояние между пластинами d ,

площадь каждой из них равна S . Найдите емкость конденсатора.

5.5.Радиусы внутренней и внешней обкладок цилиндрического конденсатора увеличили вдвое, сохранив заряды на обкладках. Изменились ли: а)напряжение на конденсаторе; б)напряженность электрического поля вблизи внутренней обкладки конденсатора?

5.6.Сферический конденсатор с радиусами обкладок a и b ( b > a )

заполнен диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого зависит

емкость конденсатора и энергию, запасенную в нем, если разность потенциалов обкладок равна U .