electrodynamics
.pdf
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
131 |
|
|
Пример 7.4. Найдите магнитную индукцию на оси соленоида, обмотка которого содержит n0 витков на единицу длины. Ток, протекающий по обмотке, равен I.
Решение. Соленоид – цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию. При плотном расположении витков соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых витков одинакового радиуса с общей осью.
Найдем распределение поля вдоль оси соленоида B(z ). Если n0
достаточно велико, то можно заменить ток, текущий по виткам, током, равномерно распределенным по поверхности соленоида. Пусть радиус соленоида равен R , а его длина - l . Для вычисления поля в
произвольной |
|
точке |
|
M на |
|
оси |
|
|
|
|
|||||||||
выделим колечко |
|
|
с током |
|
шириной dz , центр |
которого расположен |
на |
||||||||||||
расстоянии z от M (рис. |
|
7.4). Величина вклада dB этого колечка в |
B |
||||||||||||||||
равна согласно (7.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dB = |
|
µ |
0 |
dIR 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(7.20) |
|
|||
2(R 2 + z 2 )3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Учитывая, что dI = In0dz , проинтегрируем (7.20): |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
µ |
In R 2 |
z0 +l |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B = |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 / 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
(R |
+ z |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Заменив переменную интегрирования z = R ctg β ; |
dz = − |
Rdβ |
, найдем: |
|
|||||||||||||||
sin 2 β |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
µ0 In0 |
(cos β |
|
− cos β |
) |
|
|
|
(7.21) |
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132 |
|
|
|
|
|
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
cos β 2 |
= |
|
z0 + l |
|
, cos β1 = |
|
z0 |
|
косинусы углов, |
под |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(z0 + l )2 + R 2 |
z02 + R2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которыми видны из точки наблюдения концы соленоида. В частности, если точка M находится в центре соленоида, то
cos β1 = − cos β |
2 = |
|
l / 2 |
|
и B = µ0 In0 |
|
|
l / 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
R 2 + l 2 / 4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
2 + l 2 / 4 |
|||
В случае длинного соленоида (l>>R) |
поле вдали от его концов не зависит от |
z. Для поля на оси соленоида из последнего соотношения найдем |
|
B ≈ µ0 n0 I . |
(7.22) |
Пример 7.5. Найдите силу взаимодействия между бесконечно длинным тонким прямолинейным проводником, по которому течет ток I1, и отрезком прямого тонкого проводника длиной l с током I2, лежащими в одной плоскости. Угол между проводниками равен α, нижний конец отрезка проводника находится на расстоянии a от бесконечного проводника.
Решение. Выделим на отрезке проводника с током I2 малый элемент dx на расстоянии x от его нижнего края. Проводник с током I1 создает в месте
расположения |
|
этого |
элемента магнитное |
поле |
с индукцией |
||||||||||||||||
B = |
µ0 I1 |
|
|
, и это поле действует на элемент dx |
с силой, |
равной |
|||||||||||||||
2π (a + x sin α ) |
|||||||||||||||||||||
dF = I 2 Bdx = |
|
|
µ0 I1I 2 |
|
|
dx , |
направленной |
в |
|
плоскости |
токов |
||||||||||
2π |
(a + x sin |
α ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
перпендикулярно току I2. Интегрируя по длине проводника, получаем: |
|||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
µ0 I1I 2 |
|
|
|
|
|
µ0 I1I 2 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
||
|
F = ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
+ |
sin α |
|
|
|||||||||
|
2π (a + x sin α ) |
2π sin α |
ln 1 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В случае параллельных проводников α = 0 |
и F = |
|
µ0 I1I 2l |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
2πa |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
133 |
|
|
Пример 7.6. Найдите закон движения электрона в постоянных магнитном и
|
|
r r |
электрическом полях. Считать, что поля однородные и E B . Начальная |
||
скорость электрона равна |
r |
Масса электрона - m, абсолютная величина |
v0 . |
||
его заряда - e.
Решение. На заряд q, движущийся в электрическом и магнитном полях,
действует сила |
|
|
|
|
r |
r |
r |
, B], |
|
|
|
(7.23) |
||
F = qE + q[v |
||||
r
где v - скорость заряда.
Выберем систему отсчета так, чтобы начало координат совпадало с
положением электрона в начальный момент времени; ось Ох направим по
r r
вектору E , а ось Oy – вдоль B . В этой системе координат уравнение (7.23) в проекциях запишется следующим образом:
&& |
& |
, |
(7.24) |
mx |
= −eE + eBz |
||
&& |
= 0 , |
|
(7.25) |
my |
|
|
&& |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.26) |
|
|
|
mz = −eBx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегрирование |
уравнения |
(7.25) |
при начальных |
условиях |
& |
|
|
|
||||||
y(0) = v0 y и |
||||||||||||||
y(0) = 0 |
дает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = v0 yt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.27) |
|
|
Из уравнения (7.26) имеем |
z = − |
e |
Bx + C и так как |
( |
) |
= 0 |
и |
&( |
) |
= v0 x |
, то |
|||
m |
x 0 |
|
z 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = v0 z |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.28) |
|
||
|
z = v0 z − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Введем обозначение |
e |
B = ω ; подставив (7.28) в (7.24), получим |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
|
2 |
x = ωv0 z |
− |
e |
. |
|
|
|
(7.29) |
|
||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
||||||||
x + ω |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
Решая уравнение (7.29) |
при начальных условиях x(0) = 0 и |
& |
, |
||||||||||||
x(0) = v0 x |
|||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
eE |
|
v |
0 z |
|
|
|
||
x = |
0 x |
sin ωt |
+ |
|
|
|
|
− |
|
(cos ωt − 1) . |
(7.30) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ω |
|
|
|
mω 2 |
|
ω |
|
|
||||||
Подставив (7.30) в (7.28), учитывая (7.27) и (7.30), найдем закон движения электрона в проекциях на оси координат:
|
|
v |
0 x |
eE |
|
v |
0 z |
|
|
|
|
|
||||
x = |
|
sin ωt + |
|
|
− |
|
(cos ωt − 1), |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ω |
mω 2 |
|
ω |
|
|
|
|
|||||||
y = v0 yt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
v |
0 x |
|
|
|
eE |
|
|
|
v |
0 z |
|
|
||
z = |
|
|
|
(cos ωt − 1)− |
|
|
|
|
− |
|
sin ωt |
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ω |
|
mω 2 |
|
|
ω |
|
||||||||
eE mω t
Пример 7.7. Квадратная рамка массы m, сделанная из тонкого провода, может без трения вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр перпендикулярно двум противоположным сторонам рамки. Рамка находится в горизонтальном однородном магнитном поле индукции B. По рамке течет постоянный ток I. Определите период малых колебаний рамки около положения ее равновесия.
Решение. Рамка находится в положении равновесия, когда плоскость рамки перпендикулярна к направлению внешнего поля. Причем положение равновесия устойчиво, если направление магнитного поля, создаваемого током, совпадает с направлением внешнего поля.
При отклонении рамки от ее устойчивого положения равновесия на угол ϕ ,
силы Ампера, действующие на параллельные оси стороны рамки, создают
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
135 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пару сил с моментом, равным |
IBl 2 sin ϕ , |
стремящимся вернуть рамку в |
||||||||||
положение равновесия. |
С учетом того, |
|
что |
момент инерции рамки |
||||||||
относительно оси вращения |
равен |
ml 2 |
для малых отклонений |
|||||||||
|
|
|
|
, |
||||||||
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ml |
2 |
&& |
2 |
||
(sin ϕ ≈ ϕ )получаем уравнение колебаний |
6 |
|
|
ϕ + IBl ϕ = 0 . Откуда период |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний равен T = 2π |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6IB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 7.8. Шар радиусом R, равномерно заряженный по объему зарядом q, вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найдите магнитный момент шара.
Решение. Элементарный объем |
r 2 sin ϑdrdϑdϕ (в |
сферической |
системе |
||||||||
координат) при его вращении |
задает |
круговой |
ток радиуса |
r sin ϑ |
|||||||
величиной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dI = |
|
q |
|
2πr 2 sin ϑdrdϑ |
= |
3qω |
r 2 sin ϑdrdϑ . |
|
|||
4 |
πR3 |
|
|
2π |
|
4πR3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
ω |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Этот ток создает магнитный момент, направленный вдоль оси вращения и
численно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равный |
|
πr 2 sin 2 ϑdI = πr 2 sin 2 ϑ |
3qω |
r 2 sin ϑdrdϑ = |
3qω |
r 4 sin3 |
ϑdrdϑ . |
Отсюда |
|||||||
4πR3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4R3 |
|
|
|
|
|||
R π |
3qω |
|
|
|
qωR 2 |
|
r |
|
qR 2 |
r |
|
||
pm = ∫∫ |
|
|
r 4 sin 3 ϑdrdϑ = |
|
|
и потому pm |
= |
|
ω |
|
|||
4R |
3 |
|
5 |
5 |
|
||||||||
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.9. Найти индукцию магнитного поля в центре и в фокусе эллиптического контура, по которому течет ток I. Полуоси эллипса равны a
и b (a>b).
136 |
|
|
|
|
|
|
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
r |
r |
||
Для любой точки, лежащей в плоскости контура dB = ndB , |
||||||||
где |
r |
единичный |
вектор, перпендикулярный плоскости контура и |
|||||
n - |
||||||||
направленный согласно правилу буравчика |
|
|||||||
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
dB = |
µ0 Idl sin(dl , r ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
, |
(7.31) |
||
|
|
4πr 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
радиус-вектор, проведенный в точку наблюдения M из начала вектора |
|||||||
r - |
||||||||
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
произвольного |
контура, |
|
||||
как |
r |
видно |
из |
|
|
рис.7.5, |
|
|
|
r |
|
dα - угол, под |
|
||||
dl sin(dl , r )= rdα , где |
|
|||||||
которым виден из точки наблюдения |
|
|||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
элемент |
тока |
dl , и |
формулу (7.31) |
|
||||
можно записать в виде
dB = |
µ0 I |
|
dα |
|
|
|
|
|
. |
(7.32) |
|
4π |
|
||||
|
|
r |
|
||
Если контур задан в полярных координатах уравнением r = r(ϕ ), то для точек внутри контура из (7.32)
имеем
2π
µ I ∫ dϕ
B = 0 ( ) .
4π r ϕ
0
В декартовой прямоугольной системе уравнение эллипса имеет вид
Рис.7.5
(7.33)
координат хОy каноническое
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
137 |
|
|
Рис.7.6
Так |
|
как |
x = r cos ϕ , |
|
|
|
r = |
|
b |
|
, где |
ε = |
c |
|
|
|
a |
|||
|
1 − ε 2 cos 2 ϕ |
|
||||
( 0 ≤ ε < 1 ). |
С помощью |
замены |
||||
|
|
|
|
|
x2 |
+ |
y 2 |
= 1 (7.34) |
|
||
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|||
|
Совместим |
начало |
полярной |
системы |
|||||||
|
координат с центром эллипса. Вклад в |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
поле |
в |
|
точке M(0,0) элемента dl |
|||||||
|
направлен за плоскость рисунка (на |
||||||||||
|
рис.7.6 это обозначено символом ). |
||||||||||
|
|
|
то, |
|
учитывая |
(7.34), |
получим |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
a 2 |
− b2 |
|
|
эксцентриситет |
эллипса |
|||
|
|
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
β = π − ϕ |
|
формула |
(7.33) сводится к |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
полному |
|
эллиптическому |
|
интегралу |
|
|
второго |
рода |
E(ε ): |
|||||||||||||||||
|
|
µ0 I |
π / 2 |
|
|
|
|
dβ = |
µ0 I |
E(ε ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
B |
= |
1 − ε 2 sin 2 ϕ |
|
|
|
|
|
|
Для |
окружности |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
πb |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
µ0 I |
E(0) = |
|
µ0 I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
πb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Если поместить начало полярной системы координат в фокус |
||||||||||||||||||||||||
эллипса, например в точку F1, а полярную ось направить к ближайшей |
||||||||||||||||||||||||||
вершине, |
уравнение |
эллипса |
будет r = |
|
|
b2 |
Используя (7.33), |
|||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
a(1 + ε cos ϕ ) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
µ |
0 |
I π |
a(1 + ε cos ϕ ) |
µ |
0 |
Ia |
|
|
|
|
|
|
||||||||
найдем |
BF1 |
= |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dϕ = |
|
|
|
|
. Нетрудно |
убедиться, |
что |
||||||||
|
2π |
|
b2 |
|
2b2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ0 I |
|
|
||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
BF |
= BF |
, а в случае окружности (a=b) |
B0 = |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 7.10. Найти векторный потенциал и индукцию магнитного поля,
создаваемого контуром с током I в произвольной точке на расстоянии, много большем линейного размера контура.
138 |
|
|
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
|||
|
|
|
|
|
||
Решение. |
По определению |
векторного потенциала и согласно формулам |
||||
|
r |
r |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
(7.11) и ∫ |
ϕdl = ∫∫[n; ϕ ]dS |
имеем, полагая ϕ = |
: |
|||
|
||||||
|
|
|
|
r |
||
CS
r |
|
|
r |
|
µ0 I |
|
r |
|
µ0 I |
|
|
r |
1 |
|
|
µ0 I |
|
|
[r |
r] |
|
|||
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
∫∫ |
|
|
|
∫∫ |
n; r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B = rotA = rot |
4π |
|
r |
= |
4π |
rot |
r |
4π |
rot |
r |
3 |
|
dS = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n; |
dS = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(L ) |
|
|
|
|
(S ) |
|
|
|
|
|
|
|
(S ) |
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
r r |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
rot ∫∫ |
[IdS ; r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4π |
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(S ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцирование под знаком градиента ведется по координатам начала
|
r |
|
1 |
|
|
r |
|
r |
|
||
|
|
|
r |
|
|
||||||
вектора |
r , |
поэтому |
|
|
|
= + |
|
. В |
последнем интеграле r |
- |
радиус- |
|
r 3 |
||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
вектор, |
проведенный из элемента |
dS |
натянутой на контур поверхности в |
||||||||
точку наблюдения.
Если точка наблюдения находится на большом удалении от источника поля,
r
можно приблизительно считать, что r не зависит от положения элемента
|
r |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
µ0 |
|
|
|
[pm ; r ] |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dS, и потому |
B = |
4π |
rot |
|
r 3 |
|
, |
где |
|
pm |
= I ∫∫ndS = I ∫∫dS |
|
- магнитный |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S ) |
|
(S ) |
|
|
момент контура с |
|
током. |
Тогда |
по |
формулам |
векторного |
анализа (см. |
|||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
r |
r r |
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ0 3(pm ; r )r − pm r |
|
|
r |
|
|
|
||||||||||
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Приложение) |
4π |
|
|
|
r 5 |
|
|
|
. |
Здесь |
r |
- |
радиус-вектор, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
проведенный в точку наблюдения из точки расположения контура.
Задачи и вопросы для самостоятельного решения
7.1.Найдите индукцию магнитного поля прямоугольного контура с током I в центре этого контура. Стороны прямоугольника равны a и b.
7.2.Определите индукцию магнитного поля поверхностного тока,
распределенного равномерно по плоскости с линейной плотностью i .
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
139 |
|
|
7.3.Определите индукцию магнитного поля поверхностных токов,
распределенных равномерно по двум параллельным плоскостям с
r r
линейными плотностями i и − i .
7.4.По прямолинейному цилиндрическому проводу радиуса R течет ток I, равномерно распределенный по поверхности провода. Найдите индукцию магнитного поля как функцию расстояния от оси провода.
7.5.Ток I течет вдоль длинной тонкостенной цилиндрической трубки радиусом R, имеющей по всей длине щель ширины d, d<<R, параллельную оси трубки. Определить индукцию магнитного поля внутри трубки на расстоянии r от середины щели r>>d.
7.6.Проводящая сфера радиуса R заряжена с поверхностной плотностью σ.
r
Сфера вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью ω . Найдите индукцию магнитного поля на оси вращения.
7.7. Внутри однородной проводящей сферы от точки А к точке В (см. рис.7.7) по диаметру большого круга проходит проводник. Ток силы I идет от В к А по
проводнику, а затем по сфере к точке В. Определите
r
индукцию магнитного поля B , создаваемого этими токами, внутри и вне сферы.
7.8. По бесконечной прямолинейной тонкой полосе ширины l течет ток I, равномерно распределенный по ширине полосы. Найдите индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии h от плоскости полосы над ее серединой.
140 |
|
|
§7. Магнитное поле квазистационарных токов |
||
|
|
|
|
|
|
7.9. |
На |
рис.7.8 |
показана |
схема |
|
симметричного разветвления стационарных |
|
||||
токов. Все проводники прямолинейны, |
|
||||
бесконечны и лежат в одной плоскости. |
|
||||
Определите индукцию магнитного поля на |
|
||||
линии, перпендикулярной к плоскости токов |
рис.7.8 |
||||
и проходящей через точку А, если сила тока в разветвленных проводниках равна I, а угол между ними равен 2α.
7.10. Тонкий проводник, по которому течет ток I, имеет форму двух параллельных полубесконечных прямых, соединенных полуокружностью
радиуса R. Найдите силу, действующую на проводник со стороны внешнего
r
однородного магнитного поля, вектор индукции которого B параллелен прямым проводам.
7.11.Кольцо радиусом R с током I1 лежит в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I2. Расстояние от центра кольца до провода равно а (a>R) . Найдите силу, действующую на кольцо.
7.12.Из некоторой точки объема, в котором создано однородное магнитное
r
поле с индукцией B , вылетают две частицы массами m, несущие заряды q и –q соответственно. Скорости частиц равны v, направлены под углом α к
линиям магнитной индукции, угол между векторами скоростей равен 2α. Определите траектории частиц. Через какое время и на каком расстоянии от точки вылета встретятся частицы? Каково будет максимальное расстояние между частицами в процессе движения? Кулоновским взаимодействием частиц пренебречь.
7.13. Точечный заряд q массой m влетает со скоростью v0 в область с постоянным однородным магнитным полем с индукцией В перпендикулярно линиям магнитной индукции. На какой угол α отклонится частица, если область, занимаемая магнитным полем, ограничена плоскостями, перпендикулярными вектору начальной скорости, расстояние между которыми L. Силу тяжести не учитывать.