electrodynamics
.pdf§14. Задачи повышенной трудности |
261 |
||||||||||
Подставляя найденные выражения в (14.4), находим |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
Q = q0 1 − |
|
|
+ |
|
− |
|
+ |
|
− ... . |
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В скобках стоит |
ряд, |
сумма |
которого равна ln 2 . |
Подставляя найденное |
|||||||
значение q0 в выражение для потенциала шаров ϕ , |
а его в свою очередь в |
закон сохранения энергии (14.1), окончательно получаем
|
ϕ − ϕ |
0 |
|
k |
|
1 |
|
v = |
|
Q = Q |
|
|
|
− 1 . |
|
|
|
|
|
||||
|
m |
|
|
mr ln 2 |
|
Пример 14.2. Пластины плоского конденсатора расположены вертикально.
Длина пластины по вертикали равна l , ее ширина - a , расстояние между пластинами d . Между пластинами введен диэлектрик так, что незаполненной осталась лишь верхняя часть конденсатора длины x . Заряд конденсатора равен q , масса диэлектрической пластины m . Найдите закон движения
диэлектрической пластины с учетом действия силы тяжести, а также
определите координату ее положения равновесия x0 .
Решение. Направим ось 0x вдоль стороны l конденсатора от верхнего края
пластин вниз. Пусть верхний край диэлектрической пластины имеет координату x , а скорость пластины равна v = dx . Полная энергия пластины складывается
|
|
|
|
|
dt |
|
из ее кинетической энергии |
mv |
2 |
, потенциальной энергии силы тяжести: - |
|||
|
|
|||||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
mg x + |
|
и частью энергии электрического поля, |
обусловленной наличием |
|||
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
диэлектрической пластинки. |
Последнюю находим |
как разность энергии |
262 |
|
|
§14. Задачи повышенной трудности |
|||
|
|
|
|
|
|
|
конденсатора |
q 2 |
и энергии конденсатора без пластинки |
q 2 |
. Емкость |
||
|
|
|||||
2C(x) |
|
2C0 |
конденсатора можно представить как емкость двух параллельно соединенных конденсаторов:
C(x) = εε 0 a(l − x) + ε 0 ax = ε 0 a (εl + x − εx) .
dd d
Функция Лагранжа для диэлектрической пластины примет вид
|
& 2 |
l |
|
q |
2 |
|
q |
2 |
d |
1 |
|
||
|
mx |
|
|
|
|
||||||||
L = |
|
+ mg |
|
+ x + |
|
|
− |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
2C0 |
|
2ε 0 a εl + x − εx |
откуда получим уравнение Лагранжа
&& |
|
q 2 d |
|
1 − ε |
|
|
|
||
mx |
− mg − |
2ε |
0 |
a ( |
εx |
)2 = 0 . |
|||
|
|
|
|
|
εl + x − |
|
|
Выражение для функции Лагранжа и уравнение Лагранжа справедливы для x ≤ l . Если x > l (пластина полностью выпала из конденсатора), то энергия электростатического поля в пластине равна нулю, а уравнение Лагранжа принимает вид m&x& = mg .
Положение равновесия пластины определяется условием &x& = 0 , откуда
x0 |
= |
ε |
|
l − q |
|
d (ε − 1) |
|
. |
ε − 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
2ε 0 amg |
Оно существует, если x0 ≤ l , или
mgl ( )3
≤ ε − 1 .
E0
§14. Задачи повышенной трудности |
263 |
Здесь mgl − изменение потенциальной энергии пластины при ее перемещении от крайнего верхнего до крайнего нижнего положения внутри конденсатора, а
q 2
E0 = -- энергия конденсатора в отсутствии пластинки. 2C0
Если же x0 > l , то пластина выпадет из конденсатора и далее будет свободно падать с ускорением свободного падения.
Пример 14.3. Проводящая сфера радиусом R составлена из двух полусфер. Определите силу F , с которой отталкиваются эти полусферы, если полный заряд сферы равен Q .
Решение. Выделим на сфере небольшой участок площадью dS , несущий заряд dq . Поле в окрестности этого заряда складывается из поля, создаваемого самим зарядом dq , и поля, создаваемого остальными зарядами на сфере.
Суммарное поле равномерно заряженной сферы внутри сферы равно нулю, а
снаружи |
E = |
|
Q |
= |
σ |
|
. Вблизи поверхности |
||||||||
4πε 0 R 2 |
ε 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
площадки |
dS поле, |
создаваемое |
зарядом |
dq , |
|||||||||||
можно |
аппроксимировать |
полем |
|
бесконечной |
|||||||||||
плоскости, |
напряженность |
которого E ′ = |
σ |
||||||||||||
|
. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ε 0 |
||
Следовательно поле, создаваемое зарядами, |
|||||||||||||||
расположенными |
на |
сфере, |
за |
исключением dq |
|||||||||||
является однородным и равно |
σ |
|
, |
как показано |
|||||||||||
2ε 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис.14.3 |
|
|
|
поле действует на |
заряд |
dq с |
|||||||||
на рис.14.3. Это |
264 |
|
|
|
|
|
|
|
|
§14. Задачи повышенной трудности |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
силой, |
направленной по радиусу |
сферы |
из |
|
|
центра |
|
наружу |
и |
равной |
|||||||||||||
dF = |
σ |
|
dq . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Теперь |
|
|
|
нетрудно |
найти |
силу, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
действующую на полусферу. Разделим ее на |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
кольца, |
|
как |
|
|
|
показано |
на |
|
рис.14.4. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Результирующая сила, действующая на кольцо, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
выделенное углом |
|
θ |
и его приращением dθ , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
направлена по оси 0z |
и равна |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dF = |
|
σ |
|
q sin θ . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рис.14.4 |
|
Здесь |
q |
-- |
|
заряд, |
находящийся на |
кольце и |
||||||||||||
равный q = σ 2πR cosθ Rdθ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Подставляя |
q в выражение для |
|
dFz |
и интегрируя по углу θ , находим |
|||||||||||||||||
искомую силу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π / 2 |
σ |
|
|
|
πσ 2 R 2 |
|
|
|
Q 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F = ∫ |
|
2πσR 2 sin θ cosθdθ = |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
2ε |
0 |
|
2ε |
0 |
|
32πε |
|
R |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14.4. Оцените, насколько изменится емкость плоского конденсатора,
пластины которого находятся на расстоянии d = 1см друг от друга, если в него внести проводящий шарик радиусом r = 0,2 мм и расположить его вдали от пластин.
Решение. При внесении шарика в пространство между пластинами конденсатора на его поверхности появится наведенный заряд. Так как поле в конденсаторе однородное ( r << d , поэтому шарик вносит искажения в поле в малой окрестности вокруг себя), то поле, создаваемое зарядом на шарике вне него совпадает с полем диполя (см. пример 7 параграфа 3) с дипольным
§14. Задачи повышенной трудности |
265 |
|
|
r |
моментом p = 4πε |
0 |
r 3 E = α E . Наличие этого поля изменяет разность |
|
|
потенциалов между обкладками конденсатора. Расчет этого изменения достаточно сложен, поэтому для определения изменения емкости конденсатора удобнее воспользоваться энергетическим подходом.
Найдем работу, которую нужно совершить, чтобы внести шарик в заряженный конденсатор. Так как электростатическое поле потенциально, то работа не зависит от траектории и последняя может быть выбрана произвольно. Направим ось 0x вдоль плоскости симметрии пластин и будем перемещать шарик вдоль оси 0x из конденсатора в бесконечность. Сила, действующая на диполь, когда он
{x,0,0}, равна (рис.14.5)
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
∂E |
x |
|
∂E |
x |
|
||||
F |
|
= qE |
|
x, |
|
|
|
− qE |
|
|
x,− |
|
|
|
= ql |
|
= p |
|
. |
|||||
x |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
∂y |
|
∂y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В силу потенциальности поля |
|
∂E x |
= |
|
∂E y |
( rot E |
= 0 ), поэтому окончательно |
|||||||||||||||||
|
|
∂y |
|
∂x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Fx |
= αE y |
|
∂E y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа, совершаемая при перенесении шарика вдоль оси 0x на dx равна
|
|
∂E |
y |
|
|
E |
2 |
|
|
dA = F dx = αE |
|
|
dx = αd |
|
|
y |
|
, |
|
|
∂x |
|
2 |
|
|||||
x |
y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
266 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§14. Задачи повышенной трудности |
||||
а вся работа по перемещению шарика из конденсатора в бесконечность |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A = α |
E y2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
= |
|
|
Q |
|
α = 4πε 0 r 3 , |
S − площадь пластин конденсатора. |
||||||||||||||||
E y |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε 0 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Энергия, |
|
заключенная |
в |
конденсаторе до внесения шарика равна |
||||||||||||||||||
W0 |
= |
Q |
2 |
|
|
. При малом изменении емкости и неизменном заряде она изменится |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2C |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
на |
W = − |
Q 2 |
|
C . Это изменение энергии равно работе по внесению шарика в |
|||||||||||||||||||||
2C 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
конденсатор, или |
|
W = − A , откуда |
|
W |
= − |
|
C |
, или |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W0 |
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
C = C |
|
A |
= |
4πr 3 |
C 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W0 ε 0 S 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Емкость плоского конденсатора C = ε 0 S , откуда окончательно d
С =4πε0r3/d2 = 8,85 10-6 пкФ.
Пример 14.5. Конденсатор емкостью С зарядили от источника ЭДС до разности потенциалов U и отключили от него. Пластины конденсатора поочередно заземляют. Можно ли, используя эту процедуру, полностью разрядить конденсатор? Куда при этом девается его энергия?
§14. Задачи повышенной трудности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
267 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Заземление означает соединение |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пластин поочередно с достаточно большим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удаленным проводником, потенциал которого |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полагают равным нулю. Этот проводник и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обкладки |
конденсатора |
образуют конденсаторы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 и C2 |
(см. рис.14.6). Пусть после зарядки |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потенциал |
отрицательно |
заряженной пластины |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конденсатора А равен ϕ 0 , а другой пластины - |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ϕ 0 + U ). После соединения пластины А с землей |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(с проводником О-О) ее потенциал станет равен |
||||||||||||||
|
|
|
Рис.14.6 |
|
|
нулю, |
а |
заряд |
Q |
перераспределится |
между |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
конденсаторами |
С |
и |
С2. Согласно закону |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
сохранения |
заряда |
Q = q (1) |
+ q |
(1) |
и |
равенству напряжений |
на конденсаторах |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q (1) |
q (1) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
QC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
2 |
, откуда |
q 1 |
= |
|
|
|
|
|
. По аналогии после заземления обкладки |
||||||||||||
|
|
C + C2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
C |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В конденсатор С2 |
разрядится, |
|
|
а заряд |
q (1) перераспределится по обкладкам |
|||||||||||||||||||
конденсаторов |
С |
и С1. При |
|
этом |
на |
конденсаторе С |
останется |
заряд |
||||||||||||||||
q (2) = |
Cq (1) |
|
= |
|
C 2Q |
|
|
|
|
. |
Видим, |
что |
после |
очередного заземления |
||||||||||
C + C |
|
(C + C )(C + C |
2 |
) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пластин конденсатора заряд на нем уменьшается в
C 2
k = (C + C1 )(C + C2 ) раз.
Итак, конденсатор полностью разрядить не удается, даже если повторить процедуру заземления пластин неоднократно.
268 |
|
|
§14. Задачи повышенной трудности |
|
|
|
|
|
|
Энергия конденсатора |
Q |
2 |
уменьшается. Она переходит в тепло, |
|
|
|
|||
|
|
|||
|
2C |
|||
выделяющееся при разрядке конденсаторов С1 и С2. |
Пример 14.6. Конденсатор емкостью C присоединен к верхним концам двух параллельных медных шин, расположенных вертикально на расстоянии l друг от друга. Вся система находится в постоянном однородном магнитном поле,
вектор индукции которого B перпендикулярен плоскости шин. Вдоль шин падает без начальной скорости медный проводник массы m так, что всегда есть контакт между проводником и шинами. Найти ускорение проводника и силу тока, заряжающего конденсатор. Сопротивлением и индуктивностью проводников, а также трением проводника о шины пренебречь.
|
Решение. Для задания текущего положения |
|||
|
проводника введем координатную ось Ox, |
|||
|
направленную вертикально вниз (см. рис.14.7). |
|||
|
Рассмотрим силы, действующие на проводник: |
|||
|
это |
сила |
тяжести FT = mg , |
направленная |
|
вертикально вниз, и сила Ампера (7.2), |
|||
|
возникающая за счет протекания по проводнику |
|||
|
индукционного тока. Пусть вектор индукции |
|||
|
внешнего магнитного поля направлен «от нас», а |
|||
|
индукционный ток I в контуре, образованном |
|||
|
конденсатором, шинами и проводником, течет |
|||
Рис.14.7 |
против часовой стрелки. Тогда сила Ампера |
|||
|
||||
направлена вертикально |
вверх и |
равна |
по модулю FA = IlB . |
Запишем для |
проводника второй закон Ньютона в проекции на ось Ox: |
|
|||
ma = mg − IlB |
, |
|
|
|
§14. Задачи повышенной трудности |
269 |
|||
или |
|
|
||
a = g − |
IlB |
, |
(14.1) |
|
|
|
|||
|
m |
|
|
где a – ускорение проводника.
Для нахождения индукционного тока необходимо воспользоваться законом электромагнитной индукции. Сначала найдем магнитный поток через наш замкнутый контур:
Φ = ∫B ds = −Blx .
S
где S – плоская поверхность, ограниченная контуром, а знак «–» появился из-за того, что при данном выборе направления индукционного тока вектор нормали
к плоскости контура d S антипараллелен вектору магнитной индукции B . ЭДС индукции найдем, продифференцировав последнее выражение по времени:
εi |
= − |
dΦ |
= Bl |
dx |
= Blv , |
|
(14.2) |
||
dt |
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||
где v = v(t ) |
– мгновенная скорость проводника. |
|
|
||||||
Применим |
теперь |
к |
участку |
рассматриваемого |
контура, |
начинающемуся в точке «1» и заканчивающемуся в точке «2» (см. рис.14.7)
закон Ома: 0 = u 2 − u1 + εi |
, или |
u12 = εi . |
(14.3) |
Здесь учтено, что сопротивление проводников исчезающе мало, и введено обозначение u12 ≡ u1 − u2 для разности потенциалов между обкладками
конденсатора, которая зависит от их заряда Q: u12 = Q , или
C
270 |
§14. Задачи повышенной трудности |
|
|
|
|
Q = C u12 = CBlv .
Сила индукционного тока равна скорости изменения заряда обкладок конденсатора:
I = |
dQ |
= CBl |
dv |
= CBla . |
(14.4) |
|
|
||||
|
dt |
|
dt |
|
Подставив последнее выражение в (14.1), выразим из последнего искомое ускорение:
a = |
|
|
g |
|
. |
(14.5) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
1 + |
B |
2 l |
2 C |
|
||
|
|
|
|
|
|
m
Из полученной формулы видно, что в достаточно сильном магнитном поле ускорение проводника может быть значительно меньше ускорения свободного падения – индукционный ток противодействует падению проводника, но остановить его не в состоянии.
Окончательное выражение для силы индукционного тока получим,
подставив (14.5) в (14.4):
I = |
|
BlCg |
|||||
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
2 l |
|
|||
|
1 + |
B |
2C |
||||
|
|
|
|
|
|
m
Пример 14.7. По двум вертикальным параллельным медным шинам в поле силы тяжести может скользить без трения идеальная проводящая перемычка массой m и длиной l . Шины сверху замкнуты индуктивностью L , а снизу -
сопротивлением R . Система находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости шин и равна В. Перемычка сначала удерживается в некотором положении, а затем отпускается без толчка.