Методические указания и примеры выполнения заданий
Пример
1.
Вычислить
интеграл
.
Решение. Используем свойства неопределенного интеграла и получаем сумму табличных интегралов.
.
Пример
2.
Вычислить
интеграл
.
Решение.
.
Пример
3.
Вычислить интеграл
.
Решение. Применим метод замены переменной.
Пусть
,
тогда
,
и, следовательно,
.
Пример
4. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Пусть
,
тогда
,
и, следовательно,
.
Пример
5. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Для нахождения
заданного интеграла используем формулу
интегрирования по частям
.
Положим
,
,
тогда
,
.
Следовательно,
.
Пример
6.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Положим
,
,
тогда
,
.
Следовательно,
Пример
7. Вычислить
определенный интеграл
.
Решение.
Так как
и
,
то
- нечетная функция. Следовательно,
.
Действительно:
.
Пример
8.
.
Решение.
Сделаем подстановку
,
и при
переменная
.
Пример
9. Вычислить
определенный интеграл
.
Решение. Используем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла
Пусть
,
тогда
.
Следовательно,
.
Пример
10.
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной графиками
функций
и
.
Решение.
1
)
Точки пересечения параболы и прямой
можно найти из системы
Имеем,
,
.
2)
Площадь фигуры, ограниченной кривой
,
прямой
и прямыми
и
,
вычисляется по формуле
Пример
11.
Вычислить
несобственный интеграл
.
Решение.
Данный интеграл является несобственным
интегралом то неограниченной функции
и терпит разрыв в верхнем пределе при
.
Индивидуальные задания
I. Найти неопределенные интегралы.
II. Вычислить определенные интегралы.
III. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.
IV. Вычислить несобственный интеграл или доказать что он расходится.
|
Вариант № 1 |
Вариант № 2 |
Вариант № 3 |
|
I |
I |
I |
|
1. 3.
4.
5. 6. 7. 8. 9.
10.
|
1.
2. 4.
5. 6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1.
2.
|
1.
2.
|
1. 2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 4 |
Вариант № 5 |
Вариант № 6 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6. 7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1. 2.
|
1. 2.
|
1. 2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 7 |
Вариант № 8 |
Вариант № 9 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1.
2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 10 |
Вариант № 11 |
Вариант № 12 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1. 2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 13 |
Вариант № 14 |
Вариант № 15 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1. 2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 16 |
Вариант № 17 |
Вариант № 18 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1.
2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 19 |
Вариант № 20 |
Вариант № 21 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1.
2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 22 |
Вариант № 23 |
Вариант № 24 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1.
2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 25 |
Вариант № 26 |
Вариант № 27 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1.
2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
|
Вариант № 28 |
Вариант № 29 |
Вариант № 30 |
|
I |
I |
I |
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
|
|
II |
II |
II |
|
1.
2.
|
1.
2.
|
1.
2.
|
|
III |
III |
III |
|
|
|
|
|
IV |
IV |
IV |
|
|
|
|
2.
3.
