Тема 5. Исследование операций Теоретические вопросы

1. Сформулируйте постановку следующих экономико-математических моделей: задача о ресурсах, задача и диете, транспортная задача.

2. Запишите стандартную форму записи задачи линейного программирования.

3. Приведите алгоритм графического метода решения задач линейного программирования, для какого вида задач он применим?

4. Какие переменные называются базисными в задаче линейного программирования?

6. Что такое допустимое и оптимальное решение задачи линейного программирования?

7. Сформулируйте основную идею симплекс-метода.

8. Сформулируйте признак неограниченности решения в симплекс-методе.

9. Как составить опорный план транспортной задачи?

10. Сформулируйте экономический смысл целевой функции, ограничений и переменных транспортной задачи.

Методические указания и примеры выполнения заданий

Пример 1. . Пусть бригада имеет: 300 кг металла, 100 м² стекла, 160 чел. / час. рабочего времени. Надо изготовить: изделия А и В. Прибыль от реализации изделий: А — 10 у.е., В — 12 у.е. Для изготовления изделия А расходуется: 4 кг металла, 2 м² стекла и 2 чел./час. рабочего времени. Для изготовления изделия В расходуется: 5 кг металла, 1 м² стекла и 3 чел./час. рабочего времени. Требуется спланировать выпуск продукции так, чтобы прибыль была максимальной. Решить задачу симплекс-методом.

Решение. Математическая постановка задачи.

Пусть и— количество изделий А и В, тогда ресурсы сырья и рабочего времени запишем в виде ограничений—неравенств:

Прибыль от реализации всей продукции составит

Это типичная задача линейного программирования (). Вид данной задачи не канонический, поскольку условия имеют вид неравенств, а не уравнений. Сведем ее к каноническому виду, добавив дополнительные переменныепо числу ограничений - неравенств:

(1)

При этом . Выделение новых переменных не влияет на вид целевой функции. Они будут указывать на остатки ресурсов, не использованные в производстве.

Перепишем систему (1) в более удобном виде, выразив дополнительные переменные

(2)

Чтобы свести данную задачу к задаче минимизации целевой функции, функцию нужно взять со знаком минус:

Запишем условие задачи в виде таблицы

(3)

Так как все , то в качестве начального опорного решения можно взять следующее решение:

Этому решению соответствует значение целевой функции

Оно не оптимально, так как эта величина может быть уменьшена за счет свободных параметров (коэффициенты ипри неизвестныхив целевой функции отрицательны). Наибольшим среди всех отрицательныхявляется коэффициент, которому соответствует переменная. Определим базисную переменную, которая первой станет равной 0 при увеличении значения. Для этого вычислим следующие величины:

Наименьшей является величина 53,3, которая соответствует переменной . Определим новое опорное решение из системы (2):

Значение целевой функции

Это решение уже лучше.

Следующий шаг начнем с выбора нового базиса. Примем переменные в качестве базисных и перейдем к этому базису. Результаты представлены в следующей таблице:

(4)

Этому решению соответствует значение целевой функции

Оно не оптимально, так как эта величина может быть уменьшена за счет свободного параметра (коэффициентпри неизвестномв целевой функции отрицателен). Определим базисную переменную, которая первой станет равной 0 при увеличении значения. Для этого вычислим следующие величины:

Наименьшей является величина 35, которая соответствует переменной . Определим новое опорное решение:

Значение целевой функции

Это решение еще лучше предыдущего.

Следующий шаг начнем с выбора нового базиса. Примем переменные в качестве базисных и перейдем к этому базису. Результаты представлены в следующей таблице:

(5)

Коэффициенты при свободных неизвестных в целевой функции положительны, поэтому, при их увеличении целевая функция может лишь увеличиваться. Следовательно, решение, полученное на предыдущем шаге, является оптимальным, а значение целевой функции равно

Ответ: Для получение максимума прибыли в 710 у.е. необходимо изготовить 35 изделий А и 30 изделий В. При этом все ресурсы стекла и рабочего времени будут использованы полностью, а металла останется 10 кг.

Пример 2. Найти опорное решение задачи методом северо-западного угла.

На три базы А₁, А₂, А₃ поступил однородный груз в количествах, приведенных в таблице 3. Требуется перевезти этот груз в пять пунктов назначения В₁, В₂, B₃, В₄, В₅, данные приведены в таблице 1. Составить опорный план методом северо-западного угла, и найти такой план закрепления потребителей и поставщиков, чтобы общие затраты на перевозки были минимальны (метод потенциалов).

Таблица 1

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2	3	4	2	4	140
	8	4	1	4	1	180
	9	7	3	7	2	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Стоимость перевозок единицы груза с каждого из пунктов отправления в соответствующие пункты назначения известны. Найти план перевозок методом северо-западного угла.

Решение. Здесь число пунктов отправления m=3, а число пунктов назначения n=5. Заполнение таблицы начинаем с верхней левой клетки (1,1), т.е. попытаемся удовлетворить потребности первого пункта назначения за счет запасов первого пункта отправления. Так как запасы пункта А₁ больше, чем потребности пункта В₁, то полагаем , записываем это значение в клетке (1,1) и временно исключаем из рассмотрения столбец В₁, считая при этом запасы А₁=80. Рассматриваем далее первые из оставшихся пунктов отправления А₁ и назначения В₂. Запасы пункта А₁ больше потребностей пункта В₂. Положим , запишем это значение в клетку (1,2) и временно исключим из рассмотрения столбец В₂. В пункте А₁ осталось 10 единиц груза. Снова рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления А₁ и пунктов назначения В₃. Потребности В₃ больше оставшихся запасов пункта А₁. Положим и исключим из рассмотрения строку А₁. Значение записываем в клетку (1,3) и считаем потребности пункта В₃ равными 110 единиц.

Переходим к заполнению клетки (2,3) и т.д. Через шесть шагов остается один пункт отправления А₃ с запасом груза 100 единиц и один пункт назначения В₅ с потребностью 100 единиц. Имеется одна клетка (3,5), которую и заполняем . В результате получили опорный план

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2 60	3 70	4 10	2	4	140
	8	4	1 110	4 70	1	180
	9	7	3	7 60	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые переменные, являются базисными, их число равно 7. Остальные клетки - свободные (пустые), в них стоят нулевые переменные, их число равно . Условия для опорного плана выполнены.

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок всего груза составляет

F =2•60+ 3•70 + 4•10 + 1•110 + 4•70 + 7•60 + 2•100 = 1380

Для проверки оптимальности полученного плана воспользуемся методом потенциалов. Введем строку потенциалов и столбец. Полагаем, а остальныеинайдем так, чтобы для заполненных клеток выполнялось равенства

.

Запишем оценки для пустых клеток и проследим выполнение неравенства :

Так как , то составим цикл для клетки (3,3).

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2 60	3 70	4 10	2	4	140
	8	4	1 - 110	4 + 70	1	180
	9	7	3 +	7 - 60	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Цена цикла составляет . Составим потенциальный план, перемещая по циклу 60 единиц.

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2 60	3 70	4 10	2	4	140
	8	4	1 50	4 130	1	180
	9	7	3 60	7	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Согласно новому плану перевозок, общая стоимость перевозок всего груза составляет

F =2•60+ 3•70 + 4•10 + 1•50 + 4•130 + 3•60 + 2•100 = 1320

Проверим оптимален ли полученный план.

.

Запишем оценки для пустых клеток и проследим выполнение неравенства :

Так как , то составим цикл для клетки (1,4).

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2 60	3 70	4 - 10	2 +	4	140
	8	4	1 + 50	4 - 130	1	180
	9	7	3 60	7	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2 60	3 70	4	2 10	4	140
	8	4	1 60	4 120	1	180
	9	7	3 60	7	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Согласно новому плану перевозок, общая стоимость перевозок всего груза составляет

F =2•60+ 3•70 + 2•10 + 1•60 + 4•120 + 3•60 + 2•100 = 1270

Проверим оптимален ли полученный план.

.

Запишем оценки для пустых клеток и проследим выполнение неравенства :

Так как , то составим цикл для клетки (2,2).

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2 60	3 - 70	4	2 + 10	4	140
	8	4 +	1 60	4 - 120	1	180
	9	7	3 60	7	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Пункт отправления	Пункты назначения					Запасы
	2 60	3	4	2 80	4	140
	8	4 70	1 60	4 50	1	180
	9	7	3 60	7	2 100	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Согласно новому плану перевозок, общая стоимость перевозок всего груза составляет

F =2•60+ 2•80 + 4•70 + 1•60 + 4•50 + 3•60 + 2•100 = 1200

Проверим оптимален ли полученный план.

.

Запишем оценки для пустых клеток и проследим выполнение неравенства :

Получили все , следовательно, полученный план оптимален и так как, то он улучшен быть не может.