Тема 1. Элементы линейной алгебры. Теоретические вопросы

1. Матрицы. Основные понятия.

2. Действия над матрицами.

3. Определители. Свойства определителей.

4. Обратная матрица.

5. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

7. Теорема Кронекера – Капелли..

8. Основные свойства определенного интеграла.

9. Матричная запись систем линейных уравнений.

Методические указания и примеры выполнения заданий

Пример 1 (Метод Крамера):

С помощью определителей решить систему уравнений

Решение: Найдем определитель системы

.

–система имеет единственное решение.

Дополнительные определители получают, заменив столбец коэффициентов при неизвестном свободными членами.

,

.

; ;.

Ответ: (-1;0;1)

Пример 2 (Метод Гаусса): Решить систему уравнений методом последовательного исключения неизвестных.

Решение:

Стрелочками укажем действия над данной строкой уравнения и место записи результата этого действия

Разделим последнюю и предпоследнюю строки на 2; поменяем столбцы при и.

Ответ:

Пример 3: Решить систему уравнений средствами матричного исчисления.

Решение:

Представим систему в матричном виде: , где,,

Тогда . Это матичная запись решения системы линейных уравнений. Таким образом, чтобы решить систему линейных уравнений надо:

1. составить матрицу , обратную матрицы системы;

2. умножить матрицу слева на матрицу-столбец свободных членов;

В результате этого мы получим столбец – решение системы.

Составим обратную матрицу для матрицы A.

1. Существует ли для матрицы обратная матрица?

матрица невырожденная (), следовательно, обратная матрицасуществует.

2. Для нахождения транспонированной матрицы алгебраических дополнений счет элементовбудем вести в том порядке, как это указанно в формуле.

, ,

Получим:

- обратная матрица.

Применив , получим

Ответ: .

Индивидуальные задания

а). Решить систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы.

б). Решить систему уравнений методом Гаусса.

1. а)	б)
2. а)	б)
3.а)	б)
4. а)	б)
5.а)	б)
6. а)	б)
7. а)	б)
8. а)	б)
9. а)	б)
10. а)	б)
11.а)	б)
12.а)	б)
13. а)	б)
14. а)	б)
15.а)	б)
16.а)	б)
17. а)	б)
18.а)	б)
19. а)	б)
20. а)	б)
21. а)	б)
22.а)	б)
23. а)	б)
24. а)	б)
25.а)	б)
26. а)	б)
27. а)	б)
28. а)	б)
29. а)	б)
30.а)	б)

Тема 2. Основы математического анализа

2.1. Функции. Предел и непрерывность функции. Теоретические вопросы

1. Множества. Числовые промежутки. Окрестность точки.

2. Понятие функции. Способы задания функций.

3. Основные элементарные функции и их графики.

4. Числовые последовательности. Понятие предела числовой последовательности.

5. Предел функции в точке.

6. Односторонние пределы.

7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

8. Основные теоремы о пределах.

9. Первый замечательный предел.

10. Второй замечательный предел.

11. Непрерывность функции в точке.

12. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.