Методические указания и примеры выполнения заданий

Пример 1

Найти область определения функции .

Решение: Первое слагаемое принимает действительные значения при , а второе при. Решим указанную систему неравенств:.

Следовательно, область определения отрезок

Ответ: .

Пример 2

Вычислить предел

Решение: Имеем неопределенность вида . В подобных примерах, когда в числителе и знаменателе многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и затем перейти к пределу

.

Ответ: .

Пример 3

Вычислить предел .

Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности виданеобходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и воспользоваться теоремами о пределах. Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к числителю и на выражение сопряженное к знаменателю и применим формулу разности квадратов.

Ответ: .

Пример 4

Вычислить предел

Решение:

В данном примере имеем неопределенность вида . В подобных примерах, для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель необходимо делить на степеньх с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу, применяя теоремы о пределах

.

Ответ: .

Пример 5

Вычислить предел

Решение:

Преобразуем разность синусов и используем формулу (первый замечательный предел) и свойства пределов.

Ответ: .

Пример 6

Вычислить предел

Решение:

В этом примере предел основания равен 1 (следует разделить числитель на знаменатель), а показатель степени стремится к бесконечности. Имеем неопределенность вида . Используем второй замечательный предел-. Сделав очевидные преобразования, получим

Ответ: .

Весьма полезными при нахождении пределов функций является знание следующих пределов

(1)

(2)

(a>0) (3)

(4)

Пример 7

Вычислить предел .

Решение:

Заменяя разность логарифмов логарифмом дроби, и, используя формулу (1), получим

Ответ:3.

Индивидуальные задания

а). Найти область определения функции.

б). Вычислить следующие пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

1. а).	б)
2. а).	б)
3. а).	б)
4. а).	б)
5. а).	б)
6. а).	б)
7. а).	б)	;
8. а).	б)	;
9. а).	б)
10. а).	б)
11. а).	б)
12. а).	б)
13. а).	б)
14. а).	б)
15. а).	б)
16. а).	б)
17. а).	б)
18. а).	б)
19. а).	б)
20. а).	б)
21. а).	б)
22.а).	б)
23. а).	б)
24. а).	б)
25. а).	б)
26. а).	б)
27. а).	б)
28.а).	б)
29. а).	б)
30. а).	б)		;