Глава 11.

ИЗМЕРЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ

Как известно из курса РТЦС, случайный процесс представляет собой про­цесс изменения во времени физической величины, мгновенное значение которой является случайной величиной, т. е. известной с вероятностью, меиыпей едини­цы.

Случайные процессы: собственные шумы радиоаппаратуры, помехи, шумо­вые сигналы и т. п. играют большую роль в радиоэлектронике. Они оказывают влияние на качественные показатели приборов, а иногда являются причиной нарушения их работоспособности. В метрологии и измерительной технике пред­метом внимания являются случайные погрешности и методы их определения и уменьшения. Поэтому нужно знать характеристики случайных процессов, уметь экспериментально их определять. Измерение характеристик случайных процессов основывается на общих принципах измерения физических величин, но имеет

специфику н особенности, требует применения методов и средств измерений,

Рис. Ill

отличных от применяемых в технике измерения детерминированных сигналов. Даже при наличии у экспериментатора специальной аппаратуры, ему требуют­ся знания многих положений, вытекающих из теории случайных процессов. Прежде всего, необходим статистический подход к исследованию случайных процессов. Это значит, что необходимо отказаться от определения точного ре­зультата каждого отдельного измерения. Характеристики случайного процесса находят в результате проведения множества опытов, по результатам которых удается найти вероятностные характеристики. Характеристики случайных про­цессов определяются в большинстве

случаев как интегралы по бесконечным

пределам. Истинные значения характе­ристик являются неслучайными величи­нами. Оии принципиально могут быть определены по бесконечному множеству реализаций бесконечной длительности. Реально же можно наблюдать только ограниченное число выборок, т. е. реа­лизаций конечной длительности. Поэто­му при измерении ставится задача опре­деления оценок характеристик случайных процессов на основании конечного числа конечных выборок.

Разность между оценкой и значением измеряемой характеристики опреде­ляет погрешность оценки. Эта погрешность носит название статистической. Ста­тистическая погрешность уменьшается с ростом длительности реализации или

числа реализаций случайного процесса. Статистическая погрешность носит слу­чайный характер, а в некоторых случаях может иметь систематическую состав­ляющую (при смещенных оценках).

Пусть случайный процесс X(t) представлен бесконечно большим количест­вом возможных реализаций случайного процесса x(t), где 1=1, 2, ... (рис. 11.1). Некая вероятностная характеристика может быть определена усреднением по совокупности, т. е.

1 ^N

0[X(/)J = Hni — S9[x,(0], (11.1)

где ?[Xi(<)] ■— преобразование, положенное в основу определения данной ве­роятностной характеристики 0. Для определения вероятностной характеристики может быть использовано усреднение не по совокупности, а по времени с ис­пользованием k-ii реализации

1 ^т

0[Х(/)] = Нт — f₉[x_ft(0]<tt- (Ц.2)

Т—юо 1 Q

В о.бщем случае результаты усреднения по совокупности и по времени не- одинаковы. Выражение (11.1) определяет вероятностную характеристику как функцию времени, а выражение (11.2) — как функцию номера реализации. Наличие или отсутствие зависимости вероятностных характеристик от времени и номера реализации определяет очень важные свойства случайного процесса.

Случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные ха­рактеристики не зависят от времени.

Случайный процесс называется эргодическим, если его вероятностные ха­рактеристики не зависят от номера реализации. Таким образом, на основе ука­занных признаков выделяют четыре класса случайных процессов: стационарные эргодические, стационарные неэргоднческие, нестационарные эргодические и не­стационарные неэргодические. Учет и использование отмеченных свойств слу­чайных процессов играют большую роль при разработке методов измерения ве­роятностных характеристик. Истинное значение вероятностных характеристик в случае стационарного эргодичеокого процесса определяется по бесконечному множеству конечных реализаций или по одной реализации бесконечной дли­тельности.

Нестационарные случайные процессы нельзя исследовать по одной реали­зации, как бы продолжительна она ни была. То же относится и к стационар­ным неэргодическим сигналам.

Различают две основные группы вероятностных характеристик: 1) харак­теристики, содержащие информацию о распределении процесса во времени (математическое ожидание, дисперсия, функция распределения, функция кор­реляции); 2) характеристики, содержащие информацию о распределении энер­гии процесса по частоте (спектральная плотность, полоса частот). Это разде­ление условно, поскольку, например, функция корреляции несет информацию о спектре.

Измерение вероятностных характеристик в настоящее время производится следующим образом: реализации случайного процесса записываются в опера­тивную память ЭВМ, а затем обрабатываются по определенному алгоритму. Существуют также специализированные измерители вероятностных характерис­

тик случайных процессов, позволяющие измерять, например, плотность вероят­ности, корреляционные функции, спектральную плотность и т. д.

2. ИЗМЕРЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Математическое ожидание стационарного эргодического про­цесса может быть выражено, как

М[Хт = Ъгп-±- [X(t)dt, (11.3)

7*—►ОО til р

где x(t) —любая реализация случайного процесса.

По сути, выражение (11.3) предполагает бесконечную длитель­ность реализации x(t). Измерение же должно проводиться в течение конечного отрезка времени Т. Поэтому измеряется не M[X(t)], а его оценка:

M[X(t)]}^-^{x(t)dt. (11.4)

^Т о

Измерение математического ожидания сводится к усреднению за конечный промежуток времени Т. Оценим погрешность оценки. Запишем дисперсию оценки математического ожидания

D{MlX(t)])=M{M{X{t)}-M[X(t)}y = o^. (11.5)

В теории показывается, что при длительности реализации Т, мно­го большей максимального времени корреляции т_Ктах, дисперсия оценки математического ожидания будет

D{M[Xm = -^]p_x(x)dx, (11.6)

¹ о

где рд-(т) — корреляционная функция.

Случайная составляющая погрешности при измерении М[х(^)] обусловлена в основном конечностью объема выбороч­ных данных о мгновенных значениях реализаций x{t). Дисперсия (11.5) может быть представлена в виде '[22]:

D{M[Xm = ol_i={ ^Щ-*-^(/)1Тк}, (11.7)

где т_к — интервал корреляции (временной сдвиг, за пределами которого мгновенные значения принимаются некоррелированны­ми); D[X(0]—дисперсия случайного процесса X{t)\ Т — время усреднения.

Относительная статистическая погрешность

^ам т/ D[X(t))r_K 1

^ОС г Т

M[X(t)) M[X(t)\

Заметим, что (11.6) справедливо при Г^>т_к. Усреднение может

быть выполнено как аналоговыми, так и цифровыми средствами.

Структурная схема аналогового измерителя показана на рис. 11.2. 282

Усреднитель

Рис. 11.2

В качестве показывающего устройства используется магнитоэлек­трический прибор. Аналоговыми усреднителями являются: маг­нитоэлектрические механизмы, фильтр нижних частот, интегри­рующее звено, построенное на основе УПТ с глубокой отрица­тельной обратной связью (рис. 11.3).

y-(t) ч ч.	входное
Г " V	устройство

а)

в)

Рис. 11.3

С

-<

■<

иф) с^= _Ugm(T) у

<

/?

У с=>

>

Идеальным усреднителем называют усреднитель, который пре­образовывает сигнал в соответствии с выражением (11.4). Уст­ройства усреднения, показанные на рис. 11.3, являются линейны­ми системами. Напряжения на выходе этих устройств в момент Т функционально связаны с оценкой математического ожидания входного сигнала.

На схемах рис. 11,3а, в показаны переключатели 5, их функ­ции выполняются электронными элементами. С момента t = 0 до момента Т переключатели разомкнуты. Интервал времени с мо­мента 0 до Т есть время усреднения. После отсчета напряжения переключатели замыкаются.

Оценка математического ожидания для этих схем выражает­ся формулами:

для некоммутируемой RC-цепочки при T^>RC (рис. 11.3,6) М[Х(г)]жи_Вык(Т);

для коммутируемой RC-цепочки при Т<^RC (рис. 11.3,а)

1Й|[Х(^)] «Цвых/аГ, где а= 1/jRC;

для интегратора tt[X(t)] где К—коэффициент уси­

ления.

Статистические погрешности [22] при усреднении интеграто­ром будут равны

где a_x — среднеквадратическое отклонение случайного процесса .от среднего значения; при усреднении фильтром нижних частот

^яосФ = -~^ /ж-

/«СЛИ Тк <ЯС.

Статистическая погрешность, обусловленная конечностью ин­тервала измерения, оказывается при определенных условиях мень­ше расчетной. Это имеет место, в частности, в тех случаях, когда происходит двойное усреднение ФНЧ и магнитоэлектрическим ме­ханизмом.

'Н p(t) Входное \устройство Л 4
		,000,

М(Х)

лцп\Ъ

Б

Входное

устройство

Устройство формирования и управления

Б

Л-П_

1

Р-Л

Z

<f/n

Электронно - счетный частотомер

Рис. 11.4

Математическое ожидание измеряется также дискретным ме­тодом путем усреднения не реализации x(t), а ее дискретных зна­чений. Оценка математического ожидания

Л?[Х(01 = 4-2*(*'Л. (11.10)

где Т—интервал между выборками из реализации x(t); N — об­щее число выборок.

Прямопоказывающий цифровой измеритель оценки математи­ческого ожидания стационарного эргодического случайного про­цесса может быть выполнен на основе трех серийно выпускае- вых приборов: АЦП, генератора импульсов и ЭСЧ.

Структурная схема показана на рис. 11.4. Напряжение реали­зации x(t) подают на вход АЦП, на который также поступают импульсы опроса от генератора импульсов. В моменты опроса происходит выборка и значение x(t) преобразуется в пропорцио­нальное ему число импульсов за одну выборку rii = kx(i. Т), где

k — постоянная величина, коэффициент пропорциональности

N

АЦП. Число импульсов, поступающих на вход А ЭСЧ: jV_C4 = 2 ^п‘⁼

i=i

Л? N

*=2_ikx(iT) = kY₁x{iT}, где А —число выборок. Подставив в м i=l

N

<11.10) значение суммы 2 из последнего выражения, по­

лучим

M[X(t)]=N_C4/Nk. .(11.11)

Оценка математического ожидания пропорциональна числу им­пульсов за одну реализацию.

Схема ЭСЧ должна обеспечить счет импульсов за время одной реализации.

На вход Б ЭСЧ, работающего в режиме измерения отношения частот, поступают опросные импульсы от генератора. Делитель частоты вместе со схемой формирования и управления и временным селектором образует схему, задающую число выборок. В исход­ном состоянии делителя частоты, представляющего собой счетчик, состоящий из b декад, в нем записано число 10^ь —1. Первый им­пульс опроса, заполняя счетчик, устанавливает все декады на 0, п на выходе делителя возникает импульс, воздействующий на уст­ройство формирования и управления. Начинается формирование стробирующего импульса (временных ворот), подаваемого на уп­равляющий вход 2 временного селектора. Во время действия это­го импульса счетчик ЭСЧ считает число импульсов, поступающих с АЦП. Этот счет продолжается, пока в делитель не поступит 10 импульсов. На выходе делителя частоты появляется импульс, ко­торый вызовет второй переброс схемы формирования и управле­ния, чем создается срез стробирующего импульса на входе вре­менного селектора. Счетчик ЭСЧ прекратит счет импульсов. Число импульсов, зафиксированное счетчиком, будет пропорционально оценке математического ожидания. Если &=10°, a N= 10^ь (число выборок), то Л1[А(0] = АсчЮ^_(а+Ь). Статистическая погрешность измерений Л?[Х(£)] зависит от интервала дискретных выборок Т и их общего числа N.

В работе [22] показывается, что дисперсию Z){i4[A(^)]} мож­но определить из выражения

+ , (11.12)

где pjc(tTo)—корреляционная функция случайного процесса X(tT₀); T₀ = T/(N—1)—интервал дискретизации; Т — длитель­ность реализации (время измерения).

Если длительность реализации по условиям эксперимента не ограничена, то следует брать некоррелированные выборки. Для этого интервал дискретизации должен быть много больше макси­мального интервала корреляции т_Кша_Х. Для этого случая выра­жение (11:12) упрощается:

D{M [X{t)]) = D_xlN = oyN,

(11.13)

где D_x — дисперсия исследуемого процесса.

Выражение (11.13) можно использовать при слабой корреля* ции между выборками (pxr(i7o)/a².3:^0,l). Таким образом, для оценки статистической погрешности необходимо хотя бы прибли­женно знать корреляционную функцию случайного процесса. Это позволяет уточнить минимальную длительность реализации Т. За­тем уже производят окончательные измерения.

3. ИЗМЕРЕНИЕ СРЕДНЕЙ МОЩНОСТИ И ДИСПЕРСИИ

Метод квадрирования. Средняя мощность стационарного эр- годического процесса X(i) оценивается выражением

j т

Рх = М [X² (f)] =—f X?(t)dt. Измерение средней мощности отлича- ^т о

ется от измерения оценки математического ожидания тем, что ус­редняется квадрат X(t). Для измерения необходимо получить сначала зависимость X²(t), а затем выполнить усреднение.

Измерение оценки дисперсии состоит в измерении средней

о

мощности центрированного процесса X(t), т. е. средней мощности

1 ^

переменной составляющей D_x = ——М[X(Z)]}²dt. Цент-

^т о

рирование заключается в предварительном определении математи­ческого ожидания и вычитании его из реализации либо в пропус­кании реализации через конденсатор большой емкости. Выше мы рассматривали квадратические преобразователи (термоэлектриче­ские § 4.5 и § 5.4, с диодной цепочкой — § 4.5).

Измерение средней мощности и дисперсии производится с по­мощью электронных вольтметров, содержащих квадратичный де­тектор. Эти вольтметры должны обладать рядом особенностей по сравнению с квадратичными вольтметрами. Прежде всего боль­шой протяженностью квадратичного участка характеристики де­тектора, поскольку шумовые напряжения обладают большим ко­эффициентом пиковости UmlU. Если квадратичный участок оказы­вается недостаточно большим, на входе применяют калиброван­ный аттенюатор. Вольтметры, предназначенные для измерения шу­мового напряжения, должны обладать высокой чувствительностью. Применяется широкополосное додетекторное усиление. Между де­тектором и магнитоэлектрическим прибором включается усредни­тель с большим временем усреднения.

В качестве примеров квадратичных вольтметров, позволяющих измерять СКО напряжения реализации стационарного эргодичес- кого случайного процесса, можно назвать приборы типов: ВЗ-48 (0,3... 300 мВ, 10 Гц...50 МГц, R_BX=20 МОм, С_вх=8 пФ, 6_0Сн= = 2,5 ... 10%); ВЗ-57 (10 мкВ ... 300 мВ, 5 Гц ... 5 МГц, R_BX= = 5 МОм, С_вх = 27 пФ, 6осн=1 ... 4%). Существуют также цифро­

вые приборы для измерения средней мощности и дисперсии. Одна из разновидностей таких приборов получается при подключении выхода квадратора ко входу цифрового измерителя среднего зна­чения.

С ^N

Средняя мощность определяется выражением Рх — — У,х² (ti),

^N t=i

тде N — число выборок, С=const.

Статистическая погрешность при измерении методом квадри- рования может быть оценена, если найти корреляционную функ­цию случайного процесса на выходе квадратичного преобразова­теля, а затем по формуле (11.6) определить дисперсию оценки средней мощности или дисперсии.

4. ИЗМЕРЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИИ

Корреляционные и взаимные корреляционные функции слу­чайных процессов измеряют приборами, называемыми коррело­метрами. Коррелометры основываются на использовании ряда ин­тересных методов: метод умножения исследуемых процессов в со­ответствии с алгоритмом, определяющим корреляционные функ­ции; метод аппроксимации измеряемой функции корреляции в виде конечной суммы членов разложения ее в ряд по ортогональ­ным функциям и др. Остановимся на первом из них.

Метод умножения заключается в определении оценок корреля­ционной функции рх(т) случайного процесса X(t) или взаимной корреляционной функции рху(т) случайных процессов X(t) и Y(t) в соответствии с соотношениями:

P_x(t) = -^:^x(t)x(t + r)dt = i ${x(0 —

О ' О

— Af 1*1} {*(/ + x)—M[X]}df,

Pxy (^T) = -^r j x(t)y(t + x)dt =

¹ 0

= \{x(t)—M[X\}{y(t + x) — M[Y\}dt.

‘ n

Чтобы определить функции корреляции, необходимо осуществить центрирование исследуемых реализаций, сдвиг одной из них на время т, перемножение их и, наконец, усреднение полученного ре­зультата.

Коррелометры такого типа могут быть одноканальными и мно­гоканальными. Структурная схема одноканального коррелометра изображена на рис. 11.5. Значение корреляционных функций из-

Каяал о

Рис. 11.6

меряют последовательно во времени. При этом устанавливают ди­скретные значения задержки т=0, т=то, ..., х—пх₀ и рх определяют

рх(ято) в каждой точке.

В многоканальном коррелометре (рис. 11.6) осуществляется одновременное (параллельное) вычисление всех значений корре­ляционных функций в зависимости от времени задержки в каж­дом канале.

По полученным отсчетам строится график зависимости рх(т)

или рхг(т) вручную или автоматически. Изменения х могут быть непрерывными. Тогда может быть получен график корреляцион­ной функции. Задержка т определяется соотношением: т=и, t, где v_% —скорость изменения времени задержки, мкс/с (у<С 1), t — текущее время.

Выходной сигнал коррелометра при непрерывном изменении задержки получается не в натуральном масштабе времени. Он оказывается растянутым во времени и определяется величиной скорости развертки корреляционной функции.

Кратко рассмотрим особен-

X ‘t + - / \ IL			рс
V	в/	BZ	0

Усила/-пель дослроиз - ведения

ности основных узлов аналого- x(tn вого коррелометра.

Усилитель

записи

/Магнитная'

лента

Входное устройство состоит из аттенюатора, эмиттерного повторителя, усилителя. Во входной цепи предусматрива­ется центрирующий фильтр (фильтр верхних частот) для центрирования реализации (в противном случае прибор бу­дет определять моментные Рис. 11.7

функции). Если реализации

исследуемых процессов представляются в виде графиков, то вход­ное устройство должно включать считывающее устройство, преоб­разующее графическую информацию в электрические напряжения.

Блок регулируемой задержки — устройство, запоминающее на некоторое время напряжение исследуемой реализации и воспроиз­водящее его с минимальными искажениями через некоторое вре­мя т, которое называется интервалом задержки. Для задержки высокочастотных сигналов применяются искусственные линии за­держки, а в области низких частот—магнитные запоминающие устройства. Встречаются Два вида магнитных узлов задержки: лента и барабан. На рнс. 11.7 представлена схема узла регулиру­емой задержки на магнитной ленте. На поверхности движущегося магнитного носителя с помощью записывающей головки В1 фик­сируется исследуемый сигнал. Через интервал времени т=L/V_a он считывается с помощью воспроизводящей головки В2. Непре­рывное изменение задержки достигается плавным перемещением воспроизводящей головки относительно движущейся магнитной ленты, при этом скорость перемещения головки во много раз меньше скорости движения ленты.

Блоки перемножения весьма разнообразны. Их можно разде­лить на схемы прямого и косвенного действия. Схемы прямого умножения представляют собой линейные системы и основаны на принципе управления коэффициентом передачи четырехполюсни­ка. На вход четырехполюсника подается напряжение х, а коэффи­циент передачи изменяется пропорционально напряжению у. Тог­да выходное напряжение z = kxy. К перемножающим устройствам относятся модуляторы, например диодный кольцевой модулятор. Перемножители могут быть построены на основе время-импуль- сных устройств, которые обеспечивают изменение скважности им­пульсной последовательности пропорционально одному из сомно­жителей xjT—kiX, а амплитуды — пропорционально другому (Um⁼^2y) • ₁

Среднее значение напряжения такой последовательности z—UmxlT=k\k₂xy = kxy. В качестве множительных устройств на очень высоких частотах может быть использован датчик Холла. Схемы непрямого умножения осуществляют нелинейные преобра­зования. Они выполняют перемножение в результате использо­вания алгебраических или трансцендентных функциональных за­висимостей:

xy=-j- [i^x2Jry²) — (х²—у²)];

4

ху= anti logo x«/=anti log_a (log_a x + log_a y); xy— [cos (arc cos x-\- arc cost/)—cos (arc cos x—arc cos г/)].

Схемы непрямого перемножения вносят заметные инструменталь­ные погрешности и часто не обеспечивают необходимую полосу пропускания.

Усредняющие устройства были рассмотрены в § 11.2.

Регистраторами могут быть самопишущие приборы, осцилло­графы, устройства записи на магнитную ленту.

Статистическая погрешность измерения характеризуется дис­персией оценки корреляционных функций:

D [рх (т)] = —j ( 1 — -гг—) ГР| (s) + Рх (^s + т) р_х (s—т)] ds.

I Т Q \ 1 - Т /

Если Г»т, то

D[p_x(x)l« j[p2_f(s) + p_x (s + т) p_x(s—x)]ds.

¹ о

При интервалах задержки т<т_к оценивается верхнее значение ди­сперсии [26]: £>_в[рх(т)]<4тктаха⁴х/Г.

Точность аппаратурного получения корреляционной функции за­висит от числа точек, в которых измеряются ее значения. Оче­видно, чем больше будет точек, тем выше точность. Однако очень большое число точек брать нецелесообразно из-за чрезмерного увеличения времени, затрачиваемого на определение корреляцион­ной функции. Обозначим через то разность между соседними за­держками (шаг измерения, шаг задержки), а через Ат — абсолют­ную погрешность, обусловленную аппроксимацией значений корре­ляционной функции на участке между измеренными значениями. Анализ показывает, что относительная погрешность при линейной

„ А Т Рх (^т)тах „

аппроксимации будет = ₈р_х(т) ^то-

Необходимое число точек, обеспечивающих заданную погреш­ность, выразится как N= (т_к max/то) +1, где ткшах — максимальное время корреляции.

Видим, что погрешность зависит от вида корреляционной функции. Например, если корреляционная функция px = e~^v(T), чтобы обеспечить погрешность не более 2%, необходимо взять не менее 9 экспериментальных точек, а при px = e~^(Yt)2— не ме­нее 15.

Мы рассмотрели аналоговые коррелометры. Остановимся на особенностях построения цифровых приборов.

Алгоритм работы коррелометра, требующий квантования сиг­нала по уровню и дискретизации по времени, определяется соот­ношениями

j N-1 „

Р_х(¹'^то) = —У] x(kr₀)x(kr₀ + ix₀),

Г*°-1„ „ ^(ПЛ4)

Рху (t ^то) = — S * (Ь Т₀) °y(k т₀ + i т₀),

^N ft=0

где iro — время задержки.

Шаг задержки надо выбирать таким, чтобы число экспери­ментальных точек было достаточным для построения корреляци­онной функции. Операции перемножения и усреднения осуществ­ляются в дискретной форме.

Рассмотрим методику расчета корреляционной функции по' формуле (II.14) в коррелометрах последовательного типа. Сна­чала вычисляется ордината корреляционной функции, соответст­вующая нулевому сдвигу (t = 0), т. е. дисперсия случайного

о

процесса. Каждое значение реализации x(ixo) умножается само на себя. Затем вводится задержка то и определяется ордината рх(то). Нулевую ординату умножают на первую, первую на вто­рую и т. д. Далее суммируют произведения и делят сумму на N и

получают рх(то). Следующим этапом производят вычисления на интервалах сдвига 2то, Зто и т. д., перемножая значения реализа­ции. Вычисления продолжаются, пока задержка не достигнет мак­симального времени корреляции.

Для гауссовского случайного процесса при реализации дан­ного алгоритма расчета дисперсия оценки корреляционной функ­ции выражается формулой

D [р_х (i т₀)] « i J р| (0) + р2. (t т₀) +

+ ²2 (l—у)[Рх(*^то) + Р;г(6т₀-Ит₀)р_х(£т₀— IT₀)]J . (11.15)

Статистическая погрешность рассчитывается по данной формуле для известной корреляционной функции.

5. АНАЛИЗ СПЕКТРОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

При анализе спектров случайных процессов интересуются кар­тиной распределения средней мощности процесса по частотам. Средняя мощность, приходящаяся на единицу полосы частот, на­

зывается спектральной плотностью мощности W(f). Она позволя­ет судить о частотных свойствах случайного процесса.

Единица спектральной плотности мощности шумового радио­излучения— ватта на герц (Вт/Гц)—воспроизводится в диапа­зоне 1,0 ...37,5 ГГц с помощью Государственного первичного эта­лона, а в диапазоне 2... 125 МГц — с помощью Государственного специального эталона.

Диапазон значений спектральной плотности (6,3 ... 6,4) • 10^-21 Вт/Гц —для тепловых генераторов шума и (2,0 ... 3,0) • 10^-19 Вт/Гц — для газоразрядных на частотах 1,0... 37,5 ГГц воспроиз­водится со СКО результата измерений S_o=(0,4... 1,6) • 10^-2 и НСП 0_О⁼ (2,4 ... 6,0) • 10~², а на частотах 2 ... 125 МГц — S₀= 1,5-10“² и 00 = 3,0-ю-².

Общесоюзная поверочная схема предусматривает передачу единицы спектральной плотности мощности образцовым и рабо­чим средствам измерения. В качестве эталона образцовых и ра­бочих средств используются генераторы шума. Сличение произ­водится с помощью компаратора (высокочувствительного прием­ника с калиброванной полосой). В качестве рабочих средств из­мерения применяются также анализаторы спектров случайных .процессов, рассматриваемые в настоящем параграфе.

Для создания анализаторов спектра могут быть использованы многие методы: фильтрации, измерения корреляционной функции, преобразование Фурье, знаковых функций, ортогональных функ­ций.

Остановимся лишь на методе фильтраций. Укажем, что вопро­сы аппаратурного определения характеристик случайных процес­сов и, в частности, анализ спектров, обстоятельно рассмотрены в работах Г. Я- Мирского.

Метод фильтрации основан на пропускании исследуемой реа­лизации случайного процесса через узкополосный фильтр. Если в пределах полосы фильтра П спектральную плотность можно счи­тать постоянной, на выходе фильтра будет иметь место узкопо­лосный случайный процесс со средней мощностью Px(f, П). Спе­ктральная плотность мощности W(f) запишется тогда в виде: W(f) ж P_x(f, П)/П. Из формулы следует, что алгоритм измерения состоит в измерении средней мощности на выходе узкополосного фильтра с известной полосой пропускания. Таким образом, изме­ритель спектральной плотности мощности должен иметь струк­турную схему, которая показана на рис. 11.8.

От спектроанализатора регулярных сигналов анализатор спектра случайных процессов отличается только наличием квад­ратичного преобразователя и усреднителя. Напряжение u(t) на выходе усреднителя соответствует оценке спектральной плотности мощности анализируемого случайного процесса X(t).

В работе [22] показывается, что среднее по ансамблю напря­жений U(t, Т) пропорционально истинной спектральной плотнос­ти W_x(f). Коэффициент пропорциональности C(t, Т) зависит от длительности усреднения Т и моментов t, в которые снимаются показания на выходе прибора, т. е. M[u(t, T)]mC(t, T)Wx(f)-

Для конкретной схемы, состоящей из последовательного резо­нансного контура, квадратичного детектора и коммутируемой в интервале 0^/^Г RC-цепи: C(t, Г)=2П_ЭВ(1—e^-at), где П_э — эквивалентная шумовая полоса или полоса эквивалентного конту­ра с прямоугольной частотной характеристикой, В — коэффици­ент пропорциональности выходного напряжения детектора квад­рату входного напряжения, a=lIRC.

Остановимся на времени измерения. Если среднее значение анализируемого процесса X(t) равно нулю, измерение спектраль­ной плотности мощности сводится к измерению дисперсии случай­ного процесса Y(t), который получается на выходе узкополосного фильтра. Поэтому и продолжительность измерения спектральной плотности W(f) определяется продолжительностью измерения ди­сперсии процесса Y(t). Время измерения равно времени усредне­ния. Его можно выразить из формул для статистических погреш­ностей при измерении среднего значения (11.8), (11.9).

Считая процесс Y(t) гауссовским, формулы для статистичес­кой погрешности для фильтров различных видов при усреднении интегратором и фильтром нижних частот записываем в виде

е²ои = <ДГ_иП_э и е²оф = ^а/2П_э, (11.16)

где d= 1—для идеальных низкочастотных и радиофильтров, d= 1/2 — для одиночного колебательного контура, d = l/]/2 для гауссова раднофильтра; Т_п — продолжительность интегрирования, П_э — эффективная шумовая полоса, а=1/тф, тф — постоянная времени фильтра.

Оценим продолжительность анализа. При одновременном ана­лизе его продолжительность определяется интервалом интегриро­вания, которое получается на выходе детектора. Выразим Г_н из (11.16): 7_и = й/е²оиП_э. При последовательном анализе оценить продолжительность его можно из следующих соображений. Если ширина спектра составляет F, а полоса фильтра П_э, то по ширине спектра можно уложить п фильтров и при реализации этой систе­мы получится одновременный анализ с продолжительностью Т_и, формула (11.16). При последовательном анализе необходимо один фильтр перемещать по ширине спектра, останавливаясь в каж­дом положении на время Т„, требуемое для интегрирования. Сле­довательно, продолжительность последовательного анализа Т_ПОСл полу чается в п = Р/П_э раз больше, чем одновременного, т. е.

Отсюда следует также, что продолжительность анализа случайно­го процесса в с?/е²_{0 н} раз больше продолжительности анализа не­случайного процесса.

Продолжительность анализа можно уменьшить. Для этого, как следует из (11.17), надо расширить полосу пропускания анализи­рующего фильтра. Однако это приведет к смещению оценки спек­тральной плотности мощности.

Исследования показывают [22], что относительная погреш-

П² w" (J)

ность смещения может быть вычислена по формуле 6_СС = —-—-— »

2-? Г* (/)

где W"(f)—вторая производная по частоте спектральной плот­ности мощности, а полоса пропускания анализирующего фильтра, обеспечивающая минимальную суммарную погрешность, при ус­реднении интегратором и фильтром НЧ выражается соответствен­но формулами

11.6. АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Функции распределения являются наиболее полными характе­ристиками случайного процесса. В данном параграфе нас будут интересовать аппаратурные определения функции распределения и плотности распределения вероятностей стационарного эргодиче- ского случайного процесса. Анализ распределения предполагает получение кривых распределения для различных значений аргу­мента. Приборы, предназначенные для определения распределе­ния вероятностей, называют анализаторами распределения веро­ятностей (статистическими анализаторами). Имеют распростра­нение два метода измерения: измерение по относительному време­ни пребывания реализации случайного процесса выше заданного уровня (в интервале уровней) и измерение по дискретным выбор­кам.

Первый метод, который ниже рассматривается, реализуется с помощью как аналоговой, так и цифровой аппаратуры, второй — только на основе цифровой.

Метод основывается на существующей связи между функцией распределения стационарного эргодического случайного процесса X(t) и относительным временем пребывания реализации этого процесса выше заданного уровня анализа х₀, а также связи меж-

ду плотностью распределения и относительным временем пребы­вания реализации процесса в интервале значений Хо и х_й-\-Ах (рис. 11.9).

x(t) Х*АХ в) ^х

г)

a ti,

f-^	/N	кУ ■ \
*И1*Ч

at,

At,

Ate

Рис. 11.9

Оценки функций и плотности распределений находятся по фор­мулам

(11.18)

(11.19)

F{x(*)<x₀} = l — ^At"

1=1

2^A*i-

/ (х)

ТАх и

1 "

Функция F₁(x>x₀)=—определяет собой вероятность

^ 1=1

пребывания реализации выше заданного уровня. Измерение рас­пределения сводится к измерению суммы интервалов времени At{ за конечное время наблюдения реализации процесса при за­данном уровне х₀ и интервале Ах и расчету по формулам (11.18) и (11.19). Изменяя х₀ и проводя измерения F и f, можно по точ­кам построить кривые распределения.

При измерениях функции распределения в течение каждого промежутка Atj времени пребывания анализируемого напряже­ния выше уровня анализа формируется прямоугольный импульс длительностью тj. Амплитуды всех импульсов одинаковы. Далее определяется коэффициент заполнения интервала наблюдения (ХАtj/T), равный относительному времени заполнения, который и дает оценку вероятности превышения уровня х₀.

На рис. 11.10 показана структурная схема прибора для изме­рения функции распределения. Рассмотрим особенности основных звеньев.

Входное устройство содержит в общем случае калиброванный аттенюатор, эмиттерный повторитель и усилитель.

Амплитудный селектор выделяет интервалы времени, на кото­рых значение входного напряжения выше (или ниже) установ­ленного уровня—порога селекции. Величина уровня может из­меняться: напряжение па выходе амплитудного селектора приве-

Рис. 11.10

дено на рис. 11.9,6. Это напряжение соответствует шумовому входному процессу и представляет собой последовательность пря­моугольных импульсов постоянной амплитуды и с длительностью» изменяющейся по случайному закону. Среднее значение его, отне­сенное к амплитуде импульсов, соответствует вероятности F_x = = (l>Atj/T). Напряжение, соответствующее алгоритму (11.18), по­лучают с помощью устройства вычитания.

В качестве усредняющего устройства используется интегратор или ФНЧ.

Показывающими и регистрирующими устройствами могут слу­жить магнитоэлектрические приборы, самописцы, осциллографы с послесвечением, цифровые измерители интервалов времени.

Источник регулируемого калиброванного постоянного напря­жения служит для того, чтобы напряжение исследуемой реализа­ции не пересекало ось времени. Оно «поднимается на пьедестал». Эта мера позволяет обеспечивать анализ двуполярных напряже­ний. С другой стороны, изменение постоянного напряжения, пода­ваемого на суммирующую схему, позволяет плавно менять уровень анализа и иметь амплитудный селектор с нерегулируемым поро­гом селекции.

Кривая распределения может быть получена на экране осцил­лографа с послесвечением. На вход У подается напряжение с усредняющего устройства, а на вход X — развертывающее напря­жение, изменяющееся синхронно с изменением уровня анализа.

На рис. 11.11 изображена структурная схема прибора для ана­лиза плотности распределения вероятностей. Схема имеет • два

канала на различные уровни селекции х₀ и Хо + Ах. На выходе первого селектора формируются импульсы, длительность которых Ati(xо) соответствует интервалам времени, когда x(t)>Xo■ Для второго селектора Д^(*о+Д*) соответствует интервалам време­ни, когда x{t)>x_<) + Ах. Длительность импульсов на выходе уст­ройства вычитания соответствует интервалам, когда x₀<C.x(t) < ' <Lxq+Ax. Усреднение этих импульсов за время накопления опре­деляет величину, соответствующую оценке вероятности Jt(x)Ax. Поскольку величина Ах постоянна и достаточно мала, напряже­ние на выходе усредняющего устройства дает оценку плотности распределения вероятности fr(x). Индекс «Г» указывает на зави­симость оценки от времени усреднения.

Погрешность оценки функции Fi {х) выражают в форме дис­персии исследуемого случайного процесса.

2о1

По аналогии с (11.7) имеем D[Fi{x)]=~ х_ку, где а²_у и х_Ку —

дисперсия и время корреляции процесса. Заменив т_Ку на т_к, полу­чим оценку дисперсии сверху

D_B[F_l{x)]=2o^z_yB, (11.20)

где В=Т/х_к — относительное время усреднения.

Случайный процесс Y(t) является дискретным и принимает значение 0 с вероятностью Р\ — \—Fi(x) и 1 с вероятностью Т³2 = /^г1 (х).

Дисперсия случайного процесса У(t) выразится тогда, как

D_Y = F₁(x)[l-F_l(x)]. (11.21)

Подставив (11.21) в (11.20), получают формулу для оценки максимальной дисперсии D_B[Fi (х) ] =2В^_1/^Г₁ (х) [1—ТДх)]. Отно­сительная погрешность

д₀ = л/ ^D*^lFl(x)] =1 [ ^2tl~^^l(x)1-. (11.22)

г F²(x) V BF₁(x)

Анализ (11.22) показывает [22], что с ростом х/ox при заданном времени измерения погрешность бо возрастает. При 1/т_к=10⁴ при изменении \xfax\ от 0 до 2 погрешность бо воз­растает с 0,014 до 0,09.

При построении графика функции распределения по измерен­ным дискретным значениям возникает погрешность, обусловлен­ная интерполяцией. При линейной интерполяции погрешность вы­ражается формулой: Д⁼—-— F"i(x)Ах², где Ах — шаг изменения

8

уровня X.

При гауссовском законе распределения максимальная погреш­ность имеет место при х=±ох и равна Д_тах = 0,03(Ах/а.г)².

Максимальная абсолютная погрешность интерполяции про­порциональна квадрату шага изменения уровня Ах.