Змістовий модуль 2 елементи векторної алгебри

Тема 2.1. Вектори.

1. Основні поняття.

2.1.2. Лінійні операції над векторами.

3. Проекція вектора на вісь.

4. Розкладання вектора по ортам координатних осей. Модуль вектора. Направляючі косинуси.

5. Дії над векторами, заданими проекціями.

Тема 2.2. Скалярний добуток вектора і його властивості.

1. Означення скалярного добутку.

2. Властивості скалярного добутку.

3. Вираження скалярного добутку через координати.

4. Деякі застосування скалярного добутку.

Тема 2.3. Векторний добуток вектора і його властивості.

1. Означення векторного добутку.

Тема 2.4. Мішаний добуток і його властивості.

2.4.1. Визначення мішаного добутку, його геометричний зміст.

2.4.2. Властивості мішаного добутку.

2.4.3. Вираження мішаного добутку через координати.

2.4.4. Деякі застосування мішаного добутку.

Тема 2.1. Вектори.

2.1.1. Основні поняття .

Величини, що повністю визначаються своїм чисельним значенням, називаються скалярними. Прикладами скалярних величин є: площа, довжина, об'єм, температу­ра, робота, маса.

Інші величини, наприклад сила, швидкість, прискорення, визначаються не тіль­ки своїм числовим значенням, але і напрямком. Такі величини називають векторни­ми. Векторна величина геометрично зображується за допомогою вектора.

• Вектор — це направлений прямолінійний відрізок, тобто відрізок, що має визначену довжину і визначений напрямок. Якщо А — початок вектора, а В – його кінець, то вектор позначається символом або Вектор (у нього початок у точці B, а кінець у точці A) називається протилежним векторові . Вектор, про­тилежний векторові , позначається .

Довжиною або модулем вектора називається довжина відрізка і позна­чається . Вектор, довжина якого дорівнює нулю, називається нульовим вектором і позначається . Нульовий вектор напрямку не має.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором і позначається через . Одиничний вектор, напрямок якого збігається з напрямком вектора , називається ортом вектора і позначається .

• Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній пря­мій або на паралельних прямих; записують || .

Колінеарні вектори можуть бути спрямовані однаково або протилежно.

Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому векторові.

• Два вектори і називаються рівними , якщо вони колінеарні, ма­ють однакові напрямки і однакові дожини.

З означення рівності векторів випливає, що вектор можна переносити парале­льно самому собі, а початок вектора поміщати в будь-яку точку О простору.

рис. 1.

На рис. 1 вектори утворюють прямокутник. Справедлива рівність але Вектори і — протилежні, Рівні вектори називають також вільними.

• Три вектори в просторі називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або на паралельних площинах. Якщо серед трьох векторів хоча б один нульовий або два будь-які колінеарні, то такі вектори компланарні.