2.1.2. Лінійні операції над векторами.

• Під лінійними операціями над векторами розуміють операції додавання і віднімання векторів, а також множення вектора на число.

Нехай і — два довільних вектори. Візьмемо довільну точку О и побудуємо вектор Від точки А відкладемо вектор .

• Вектор , що з’єднує початок першого вектора з кінцем іншого, називається сумою векторів і : (див. рис. 2).

А

рис. 2.

Це правило додавання векторів називають правилом трикутника. Суму двох векторів можна побудувати також за правилом паралелограма (див. рис. 3).

рис. 3.

На рис. 4 показане додавання трьох векторів , , і

рис. 4.

• Під різницею векторів і розуміється вектор такий, що (див. рис. 5).

рис. 5.

Відзначимо, що в паралелограмі, побудованому на векторах і , одна направлена діагональ є сумою векторів і , а інша — різницею (див. рис. 6).

рис. 6.

Можна віднімати вектори за правилом: , тобто віднімання векторів замінити додаванням вектора з вектором, протилежним векторові .

• Добутком вектора на скаляр (число) називається вектор (або , що має довжину , колінеарний векторові , має напрямок вектора , якщо і протилежний напрямок, якщо . Наприклад, якщо дано вектор , то вектори і будуть мати вигляд і .

З означення добутку вектора на число випливають властивості цього добутку:

1) якщо , то ║ . Навпаки, якщо ||, , то при деякому вірна рівність

2) завжди тобто кожен вектор дорівнює добуткові його модуля на орт.

Лінійні операції над векторами мають наступні властивості:

Ці властивості дозволяють проводити перетворення в лінійних операціях з вектором так, як це робиться в звичайній алгебрі: доданки змінювати місцями, вводить дужки, групувати, виносити за дужки як скалярні, так і векторні загальні множники.

2.1.3. Проекція вектора на вісь.

Нехай у просторі задана вісь , тобто направлена пряма.

• Проекцією точки на вісь називається основа перпендикуляра , опущеного — з точки на вісь. Точка є точка перетину — осі з площиною, що проходить через точку перпендикулярно осі.

Якщо точка лежить на осі , то проекція точки на вісь збігається з . Нехай — довільний вектор ( ). Позначимо через і проекції на вісь відповідно початку А і кінця В вектора і розглянемо вектор .

рис.7.

Проекцією вектора на вісь називається додатне число якщо вектор і вісь однаково напрямлені і від’ємне число - якщо вектор і вісь

протилежно напрямлені (див. рис. 7). Якщо точки й збігаються , то проекція вектора дорівнює 0.

Проекція вектора на вісь позначається так:. Якщо або , то

Кут між вектором і віссю (або кут між двома векторами) зображений на рис. 8. Очевидно,

рис. 8.

Розглянемо деякі основні властивості проекцій.

Властивість 1. Проекція вектора на вісь дорівнює добуткові модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю, тобто .

рис. 9.

□ Якщо .

Якщо

(див. рис. 9).

Якщо .■

Наслідок 1. Проекція вектора на вісь додатна (від’ємна ), якщо вектор утворить з віссю гострий (тупий) кут, і дорівнює нулю, якщо цей кут – прямий.

Наслідок 2. Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.

Властивість 2. Проекція суми декількох векторів на ту саму вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь.

□ Нехай, наприклад, Маємо тобто (див. рис. 10.)■

рис. 10.

Властивість 3. При множенні вектора на число , його проекція на вісь також збільшується на це число, тобто .

□ При маємо(Властивість 1.). При .■

Таким чином, лінійні операції над векторами приводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів.