Тема 2.2. Скалярний добуток вектора і його властивості.

2.2.1. Означення скалярного добутку.

• Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число, рівне добуткові довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Позначається або. Отже, за означенням,

(2.1)

де

рис.13.

Формулі (2.1) можна надати інший вид. Тому що

,

(див. рис. 13.), а , то

, (2.2)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює модулеві одного з них, помноженому на проекцію іншого на вісь, співнаправлену з першим вектором.

2.2.2. Властивості скалярного добутку.

1. Скалярний добуток володіє переставною властивістю:

□ , а . І тому що як добуток чисел і , то ■

2. Скалярний добуток має сполучну властивість щодо скалярного множина: .

□ .■

3. Скалярний добуток має розподільну властивість:

□ .■

4. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадратові його довжини:

□ ■

Зокрема: .

Якщо вектор піднести скалярно в квадрат і потім добути корінь, то одержимо не первісний вектор, а його модуль , тобто .

Приклад 2.1. Знайти довжину вектора якщо

○ .●

5. Якщо вектори і (ненульові) взаємно перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює нулеві, тобто якщо , то . Справедливо і обернене твердження: якщо і ,то .

□ Тому що то Отже Якщо ж і то Звідси тобто .■

Зокрема :

2.2.3. Вираження скалярного добутку через координати.

Нехай задані два вектори

і

Знайдемо скалярний добуток векторів, перемножуючи їх як многочлени (що законно в силу властивостей лінійності скалярного добутку) і користуючись таблицею скалярного добутку векторів :

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

тобто

Отже, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків їхніх однойменних координат.

Приклад 2.2. Довести, що діагоналі чотирикутника, заданого координатами вершин взаємно перпендикулярні.

○ Знайдемо вектори і , що лежать на діагоналях даного трикутника. Маємо: і Знайдемо скалярний добуток цих векторів:

Звідси випливає, що . Діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні.●

2.2.4. Деякі застосування скалярного добутку.

Кут між векторами

Знаходження кута між ненульовими векторами і :

тобто

Звідси випливає умова перпендикулярності ненульових векторів і

Проекція вектора на заданий напрямок

Знаходження проекції вектора на напрямок, заданий вектором може здійснюватися по формулі

, тобто

Робота постійної сили

Нехай матеріальна точка переміщається прямолінійно з положення в положення під дією постійної сили , що утворює кут з переміщенням (див. рис. 14).

З фізики відомо, що робота сили при переміщенні дорівнює

рис. 14.

Таким чином, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні її точки прикладання дорівнює скалярному добуткові вектора сили на вектор переміщення.

Приклад 2.3. Обчислити роботу, зроблену силою якщо точка її прикладання переміщається прямолінійно з положення в положення Під яким кутом до спрямована сила ?

○ Знаходимо Стало бути,

(од. роботи).

Кут між і знаходимо по формулі тобто

●