Тема 2.3. Векторний добуток вектора і його властивості.

2.3.1. Означення векторного добутку.

Три не компланарних вектори і , узятих в зазначеному порядку, утворять праву трійку, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видний, що здійснюється проти годинникової стрілки, і ліву, якщо по годинниковій (див. рис. 15).

рис.15.

• Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що:

1. перпендикулярний векторам і , тобто

2. має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах. (див. рис. 16), тобто

;

3. вектори й утворюють праву трійку.

рис. 16. рис.17.

Векторний добуток позначається З означення векторного добутку безпосередньо випливають наступні співвідношення між ортами (див. рис.17):

2.3.2. Властивості векторного добутку.

1. При перестановці співмножників векторний добуток змінює знак, тобто (див. рис. 18).

□ Вектори колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінної), але протилежно спрямовані (трійки протилежної орієнтації). Стало бути, .■

2. Векторний добуток має сполучну властивість щодо скалярного множника, тобто

рис.18.

□ Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і Вектор також перпендикулярний векторам і (вектори , лежать в одній площині). Виходить вектори колінеарні. Очевидно, що і напрямку їх збігаються. Мають однакову довжину:

і

=

Тому Аналогічно доводиться при ■

3. Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нульовому векторові, тобто ║

□ Якщо ║ , то кут між ними дорівнює 0 або 180 . Але тоді Виходить,

Якщо ж , то Але тоді або , тобто ║ .■

• Зокрема,

4. Векторний добуток має розподільну властивість:

Приймемо без доведення.

2.3.3. Вираження векторного добутку через координати.

Ми будемо використовувати таблицю векторного добутку векторів

			-
	-
		-

Щоб не помилитися з знаками користуйтеся схемою:

якщо напрямок найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, то добуток дорівнює третьому векторові, якщо не збігається — третій вектор береться зі знаком «мінус».

Нехай задані два вектори Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемножуючи їх як багаточлени (згідно властивостей векторного добутку):

тобто

(3.1)

Отриману формулу можна записати ще коротше:

(3.2)

тому що права частина рівності (3.1) відповідає розкладанню визначника третього порядку по елементах першого рядка. Рівність (3.2) легко запам'ятовується.