GDZ_33 (1) / Алгебра 7кл_Алимов_Решебник_2002 1-801

394. 1) (x2 +1)2 − 4x2 = (x2 +1 − 2x) (x2 +1 + 2x) = (x −1)2 (x +1)2

2) (x2 + 2x)2 −1 = (x2 + 2x −1) (x2 + 2x +1) = (x +1)2 (x2 + 2x −1)

3)4 y2 − ( y − c)2 = (2 y − y + c) (2 y + y − c) = ( y + c) (3y − c)

4)81−( y2 +6 y)2 = (9 − y2 −6 y) (9 + y2 +6 y) =

=( y +3)2 (9 − y2 −6 y)

395.1) (a2 + 2ab + b2 ) − c2 = (a +b)2 − c2 = (a +b + c) (a +b −c)

2) 1 − (x2 − 2xy + y2 ) =1 −(x − y)2 = (1 − x + y) (1 + x − y)

3)1 − a2 − 2ab −b2 =1 − (a + b)2 = (1 − a −b) (1 + a + b)

4)4 − x2 − 2xy − y2 = 4 −(x + y)2 = (2 − x − y) (2 + x + y)

396.1) a2 −b2 + a + b = (a2 −b2 ) + (a + b) = (a + b) (a −b) + (a + b) = = (a +b) (a −b +1)

2)a2 −b2 − a −b = (a + b) (a −b) − (a + b) = (a + b) (a −b −1)

3) x − y − x2 + y2 = (x − y) − (x − y) (x + y) = (x − y) (1 − x − y)

4) x3 + x2 − x −1 = x2 (x +1) −(x +1) = (x +1) (x2 −1) = (x +1)2 (x −1)

5)m5 − m3 + m2 −1 = m3 (m2 −1) + (m2 −1) = (m2 −1) (m3 +1) =

= (m −1) (m +1) (m +1) (m 2 −m +1) = = (m +1) 2 (m −1) (m2 −m +1)

6)x4 − x3 + x −1 = x(x3 +1) −(x3 +1) = (x3 +1)(x −1) =

= (x +1)(x2 − x +1)(x −1)

81

= 44160050 = 118 =183

398. 1) 19,72 −8,32 + 28 8,6 = (19,7 −8,3) (19,7 +8,3) − 28 8,6 =

=11,4 28 −28 8,6 = 28 (11,4 −8,6) = 28 2,8 = 78,4

2)37 12,2 + 22,42 −14,62 = 37 12,2 + (22,4 −14,6) (22,4 +14,6) = =37 12,2 +7,8 37 =37 (12,2 +7,8) =37 20 = 740

3)38,82 +83 15,4 −44,22 = (38,8 −44,2) (38,8 + 44,2) +83 15,4 = = −5,4 83 +83 15,4 =83 (−5,4 +15,4) =83 10 =830

4)97 2,2 −99,6 2 +2,6 2 = 97 2,2 +(2,6 −99,6) (2,6 +99,6) =

=97 2,2 −97 102,2 = 97 (2,2 −102,2) = 97 (−100) = −9700

399.1) x2 +2x − y2 +2 y = (x − y) (x + y) +2 (x + y) =

=(x + y) (x − y +2), ч. т. д.

2) a2 −2b −a −4b2 = (a −2b) (a +2b) −(2b +a) = = (a +2b) (a −2b −1), ч. т. д.

400. 1) x3 − x2 y − xy2 + y3 = x2 (x − y) − y2 (x − y) = (x − y) (x2 − y2 ) = = (x − y) 2 (x + y) ; x =12,07; y = 2,07 :

(12,07 − 2,07)2 (12,07 + 2,07) =102 14,14 =1414

2) a3 + a2b −ab2 −b3 = a2 (a +b) −b2 (a +b) =

3) x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x −1 = 0 x4 (x −1) − 2x2 (x −1) + (x −1) = 0

(x −1) (x4 − 2x2 +1) = 0 (x −1) (x2 −1)2 = 0

(x −1) (x −1)2 (x +1)2 = 0

(x −1)3 (x +1)2 = 0

x +1 = 0 ; x1 = −1 x −1 = 0 ; x2 =1

4) 2x4 − 2x3 − 2x2 + 2x = 0

2x3 (x −1) − 2x (x −1) = 0

(x −1) (2x3 − 2x) = 0

2x (x −1) (x2 −1) = 0 2x (x −1)2 (x +1) = 0

x +1 = 0 ; x1 = −1

x −1 = 0 ; x2 =1; 2x = 0

x3 = 0 . (опечатка в ответе задачника).

402.272 −142 = (27 −14) (27 +14) = (13 41) 13 41:13 = 41, ч. т. д.

403.(7n − 2)2 −(2n −7)2 = (7n − 2 − 2n + 7) (7n − 2 + 2n −7) =

= (5n +5) (9n −9) = 5 9 (n +1) (n −1)

5 9(n +1)(n −1) : 5 = 9(n +1)(n −1)

5 9(n +1)(n −1) : 9 =5(n +1)(n −1) , ч.т.д.

404.1) (a − 2) (a2 + 2a + 4) = a3 −8

2)(b + x) (b2 −bx + x2 ) = b3 + x3

3)(2a + 3) (4a2 − 6a + 9) = 8a3 + 27

4)(a2 −1) (a4 + a2 +1) = a6 −1

405.1) 27a3 −b3 = (3a −b) (9a2 +3ab + b2 )

2)x3 y3 +64 = (xy + 4) (x2 y2 −4xy +16)

83

3)8m3 + n9 = (2m + n3) (4m2 −2mn3 + n6 )

4)c6 −125d 3 = (с2 −5d ) (c4 +5c2d + 25d 2 )

406.Если натуральное число не делится на 3, то оно равно: m = 3p + 1 или m = 3p + 2.

Возможно 3 случая:

1)m = 3p+1; n =3k + 1

|m2 – n2| = |9p2 + 6p + 1 – 9k2 – 6k – 1| = 3|3p2 – 3k2 + 2p – 2k|

2) m = 3p + 2; n = 3k + 1;

|m2 – n2| = |9p2 + 12p + 4 – 3k2 – 6k – 1| = 3|3p2 + 4p – k2 – 2k + 1|

3) m = 3k + 2; n = 3p + 2;

|m2 – n2| = |9k2 + 12k + 4 – 9p2 – 12p – 4| = 3|3k2 + 4k – 3p2 – 4p|

Во всех трех случаях |m2 – n2| M3.

407.Пусть n – первое натуральное число, тогда следующее число n + 1.

n3 −(n +1)3 = n3 −n3 −3n2 −3n −1 = −3n2 −3n −1

Данное выражение не делится на 3, т. к. два слагаемых делятся на три, а одно слагаемое, а именно 1, на 3 не делится.

Упражнения к главе IV

408.1) 6 (a + b) + (a +b)2 = (a + b) (6 + a + b)

2)4 (x − y) +3 (x − y)2 = (x − y) (4 +3x −3y)

3)(a −b) +(b −a)2 = (a −b) (1 + a −b)

4)(a −b)2 −(b −a) = (b −a) (b −a −1)

409.1) (c −3)2 −(c +3) (3 −c) = (3 −c) (3 −c −c −3) = 2c (c −3)

2)(a + 2)2 − (a + 2) (2 − a) = (a + 2) (a + 2 − 2 + a) = 2a (a + 2)

3)(−b − a) (a + b) + a2 +b2 = −(a2 + 2ab +b2 ) + a2 +b2 =

= −a2 −2ab −b2 +a2 +b2 = −2ab

4) (b − a) (−a −b) −3b2 = −(b2 − a2 ) −3b2 = −b2 + a2 −3b2 =

=a2 − 4b2 = (a − 2b) (a + 2b)

410.1) 2b (x −1) −3a (x −1) + c (x −1) = (x −1) (2b −3a + c)

2) c ( p −q) −a ( p −q) +b ( p −q) = ( p −q) (c −a +b)

84

411.1) 8ax +16ay −3bx −6by = 8a (x + 2 y) −3b (x + 2 y) =

=(x + 2 y) (8a −3b)

2)14am −7an +8bm − 4bn = (14am − 7an) + (8bm − 4bn) =

= 7a(2m −n) +4b(2m −n) = (7a +4b)(2m −n)

3)9a2 +6a +1−4b2 = (3a +1)2 −4b2 = (3a +1 −2b) (3a +1+ 2b)

4)25a2 −4b2 + 4b −1 = 25a2 −(2b −1)2 = (5a −2b +1) (5a + 2b −1)

412.1) 2872 − 287 48 + 239 713 = 287 (287 − 48) + 239 713 =

= 287 239 + 239 713 = 239 (287 +713) = 239 1000 = 239000

2) 73,42 +73,4 17,2 −90,6 63,4 = 73,4 (73,4 +17,2) −90,6 63,4 = = 73,4 90,6 −90,6 63,4 =90,6 (73,4 −63,4) =90,6 10 =906

2) (0,1a − 0,2b)2 + (0,1a − 0,2b) (0,1a + 0,2b) =

= (0,1a − 0,2b) (0,1a −0,2b + 0,1a + 0,2b) = (0,1a −0,2b) 0,2a

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1.(a + 3)2 + (a – 3) (a + 3) + 6a = a2 + 6a + 9 + a2 – 9 + 6a = = 2a2 + 12a = 2a2 + 12a = 2a(a + 6)

2.xy – 2y = y (x – 2)

3x2 – 6x3 = 3x2 (1 – 2x); 3 (x – 1) + y (x – 1) = (x – 1) (3 + y)

2a2 – 4ab + 2b2 = 2 (a – b)2; 16a2 – 81 = (4a + 9) (4a – 9) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

85

3.a2 – 3ab + 3a – 9b = a (a – 3b) + 3 (a – 3b) = (a – 3b) (a + 3)

414. 1) (x + y) (x2 – y2) = (x – y) (x + y)2

(x + y) (x2 – y2) = (x + y)2 (x – y) = (x – y)(x + y)2

2) (x – 2y) (x + 2y) (x2+4y2) = (x2 – 4y2) (x2 + 4y2) = x4 – 16y2

ч.т.д.

415.1) mn – kn – m2 + 2mk – k2 = n (m – k) – (m – k)2 = = (m – k) (n – m – k)

2)c2 – 2c + 1 – d2 – 2de – e2 = (c – 1)2 – (d + e)2 = = (c – 1 – d – e) (c – 1 + d + e)

416.1) (x2 – 1)2 – (x2 + 2)2 = (x2 – 1 – x2 – 2) (x2 – 1 + x2 + 2) = = – 3 (2x2 + 1)

2)(5 + x2)2 – (7 + x2)2 = (5 + x2 – 7 – x2) (5 + x2 + 7 + x2) = = – 4 (x2 + 6)

3)(3x – 1)2 – (5 – 2x)2 = (3x – 1 – 5 + 2x) (3x – 1 + 5 – 2x) =

= (5x – 6)(x + 4);

4)(7 + 5x)2 – (3x – 2)2 = (7 + 5x – 3x + 2)(7 + 5x + 3x – 2) = = (2x + 9)(8x + 5).

417.1) (3x – 1)2 – (3x – 2)2 = 0

(3x – 1 – 3x + 2) (3x – 1 + 3x – 2) = 0 (6x – 3) = 0; x = 12

2)(y – 2)(y + 3) – (y – 2)2 = 5

(y – 2) (y + 3 – y + 2) = 5 (y – 2) 5 = 5

y – 2 = 1; y = 3

3) (x + 3) (x+ 7) – (x + 4)2 = 0

x2 + 3x + 7x + 21 – x2 – 8x – 16 = 0 2x + 5 = 0; x = – 2,5

4) (y + 8)2 – (y + 9) (y – 5) = 117

y2 + 16y + 64 – y2 – 9y + 5y + 45 = 117

12y = 8; y = 32

5) (3x + 2) (3x – 2) – (3x – 4)2 = 28 9x2 – 4 – 9x2 + 24x – 16 = 28

24х = 48; x = 2

86

418.Пусть x м — сторона квадрата, тогда (x – 12) м — ширина пря-

моугольника; (x + 12) м — длина прямоугольника.

Sкв. = x2 (м2)

Sпр. = (x – 12) (x + 12) = x2 – 144

Ответ: площадь прямоугольника на 144 м2 меньше площади квадрата.

419.Пусть товарный поезд проходит расстояние за x часов, тогда пассажирский поезд затратит на это расстояние (x – 2) часов.

40x = 60 (x – 2); 20x = 120

x = 6 (ч) — время движения товарного поезда; 40 6 = 240 (км) — расстояние между пунктами. Ответ: 240 км.

420.Пусть x ч — время движения I мотоциклиста до встречи со II

мотоциклистом, тогда время второго — x – 12 ч.

Составим уравнение:

60x + 50x – 25 = 162; 110x = 187

x = 1,7 — время движения I мотоциклиста; 1,7 – 0,5 = 1,2 = 1ч 12 мин Ответ: 1 ч 12 мин.

421.1) a (3,478 – b) – 8 (3,478 – b) = (3,478 – b) (a – 8) a = 72; b = 2,353:

(3,478 – 2,353) (72 – 8) = 1,125 64 = 72

2) a2b + ab2 – ab = ab (a + b – 1) a = 12,5; b = – 4,4

12,5 (– 4,4) (12,5 – 4,4 – 1) = 12,4 (– 4,4) 7,1 = – 390,5

422.1) (a + (b + c)) (a – (b + c) = a2 – (b + c)2 = a2 – b2 – 2bc – c2

2)(a2 – (b – c)) (a2 + (b – c)) = a4 – (b – c)2 = a4 – b2 + 2bc – c2

423.1) (2x – 1) (4x2 + 2x + 1) – 4x (2x2 – 3) = = 8x3 – 1 – 8x3 + 12x = 12x – 1

x = 0,5: 12 0,5 – 1 = 5

2)x (x + 2) (x – 2) – (x – 3) (x2 + 3x + 9) =

= x3 – 4x – x3 + 27 = – 4x + 27

87

424.1) (x – 2) (x2 – 2x + 4) – x (x – 3) (x + 3) = 26 x3 + 8 – x3 + 9x = 26

9x = 26 – 8

9x = 18; x = 2

2) (x – 3) (x2 + 3x + 9) – x (x + 4) (x – 4) = 21 x3 – 27 – x3 + 16x = 21

16x = 48; x = 3

3) (2x – 1) (4x2 + 2x + 1) – 4x (2x2 – 3) = 23 8x3 – 1 – 8x3 + 12x = 23

12x = 24; x = 2

4) (4x + 1) (16x2 – 4x + 1) – 16x (4x2 – 5) = 17 64x3 + 1 – 64x3 + 80x = 17

80x = 16; x = 15

425.1) Чтобы сумма трех последовательных натуральных чисел была нечетной, нужно, чтобы самое маленькое из них было четным (чет + нечет + чет = нечет).

Пусть I число = 2n, II = 2n+ 1, III = 2n + 2;

их произведение 2n(2n + 1)(2n + 2)

Т.к. это три последовательных числа, то одно из них обязано

M3; т.к. присутствуют 2 последовательных четных числа, то одно из них M2, а второе M4, тогда их произведение делится на 24:

2 4 3 = 24

Условие задачи доказано.

2) Рассмотрим 2 случая. Т.к. результат не зависит от того, какие мы возьмем числа, то возьмем 4 последовательных числа.

а) Пусть I число 2n; II число (2n + 2); III число (2n + 4); IV чис-

ло (2n + 1);

2n (2n + 1) (2n + 2) (2n + 4) = 8n (2n + 1)(n + 1)(n + 2)

произведение — четное число.

б) Пусть I число (2n + 1); II число (2n + 3); III число (2n + 5); IV

число 2n;

(2n + 1) (2n + 3) (2n + 5) 2n — четное число.

426. 2b5 + (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)(a – b) = 2b5 + a5 + a4b + a3b2 +

+ a2b3 + ab4 – a3b2 – a2b3 – ab4 – b5 = b5 + a5

(a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)(a + b) =

= a5 – a4b + a3b2 – a2b3 + ab4+ a4b – a3b2 + a2b3 – ab4 + b5 = a5 + b5 a5 + b5 = a5 + b5 равенство верное.

88

Глава V. Алгебраические дроби

§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

89