- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
Глава 2
Функциональные последовательности
ифункциональные ряды
2.1Сходимость функциональных последовательностей
f |
f |
X |
Пусть X |
— непустое подмножество в R, D(X) — совокупность всех |
вещественнозначных функций, определённых на множестве . Отобра-
жение F : |
N → |
D(X) называют функциональной |
последовательностью, |
|||||||||||
|
|
|
f |
|||||||||||
|
|
заданной) на |
X. |
Образ |
F (n) |
числа |
n |
при этом отоб- |
||||||
определённой (или f |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ражении обычно обозначают |
через |
|
|
|
а всю последовательность — |
|||||||||
|
f |
fn(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
через {fn(x)}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каждому x0 X функциональная последовательность {fn(x)} сопо- |
||||||||||||||
|
|
последовательность |
{ |
|
|
} |
. |
|
|
|
|
|||
ставляет числовую f |
|
|
|
|
fn(x0) |
|
|
|
|
|
|
Определение 2.1. Если f и последовательность { } схо- x0 X fn(x0)
дится, то x0 называют точкой сходимости функциональной последовательности {fn(x)} и говорят, что последовательность {fn(x)} сходится в точке x0. Множество X X всех точек сходимости называют областью её сходи-
f
функциональной последовательности мости и говорят, что функциональная последовательность поточечно сходится на множестве X.
Определение 2.2. Пусть на множестве X функциональная последовательность {fn(x)} поточечно сходится. Функцию
f : x X → nlim→∞ fn(x)
называют предельной функцией данной последовательности.
Тот факт, что функциональная последовательность {fn(x)} поточечно сходится к функции f на множестве X символически записывают в виде
X
fn(x) −→ f(x) или f(x) = lim fn(x), x X.
n−→∞
Таким образом, функция f является предельной для функциональной последовательности {fn(x)} на множестве X (или иначе, последова-
35
тельность {fn(x)} поточечно сходится к f(x) на множестве X), если для любого ε > 0 и каждого x X найдётся такой номер N = N(ε, x), что для всех n > N выполняется неравенство |fn(x) − f(x)| < ε.
Очевидно, что из критерия Коши сходимости числовой последовательности вытекает критерий поточечной сходимости функциональной последовательности.
Теорема 2.1. Для того чтобы последовательность {fn(x)} поточечно сходилась на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 и каждого x X нашёлся номер N = N(ε, x) такой, что неравенство |fn(x) − fm(x)| < ε выполняется для всех n > N, m > N.
Пример 2.1. Функциональная последовательность {fn(x)}: fn(x) = xn, n N, определена на R. Так как
|
lim x |
n |
= |
|
0, |
n |
|
|
1, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−→∞ |
|
|
|
∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |x| < 1, если x = 1, если |x| > 1,
и не существует предела в точке x0 = −1, то промежуток (−1; 1] является областью сходимости данной последовательности, а функция
f(x) = |
|
0, |
если |x| < 1, |
(2.1) |
|
|
1, |
если x = 1 |
|
|
|
|
|
|
является предельной для нее на множестве X = (−1, 1].
Отметим, что функция f терпит разрыв в точке x = 1, хотя все члены данной последовательности непрерывны в ней.
Определение 2.3. Последовательность {fn(x)}, определенная на X, называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X0 X, если
ε > 0 N = N(ε) : |fn(x) − f(x)| < ε, n > N, x X0.
Тот факт, что последовательность {fn(x)} равномерно на множестве X0 сходится к функции f(x) символически будем записывать в виде
X0
fn(x) f(x).
Замечания.
1.В определении равномерной сходимости функциональной последовательности в отличие от определения поточечной сходимости номер N зависит только от ε и не зависит от точек x множества X0.
36
2.Из определения 2.3 непосредственно вытекает, что если функциональная последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f на множестве X0, то она поточечно сходится к f на X0. Следовательно, равномерная сходимость является более сильной сходимостью по сравнению с поточечной.
3.Если каждая функция функциональной последовательности {fn(x)}
является постоянной на множестве X, то есть fn(x) = cn, x X и для всех n N, а числовая последовательность {cn} сходится и
X
nlim→∞ cn = c, то fn(x) c.
4.На каждом конечном подмножестве (состоящем из конечного числа точек) множества X cходимости функциональной последовательности эта последовательность сходится равномерно.
5.Если функциональная последовательность {fn(x)} поточечно сходит-
ся к f(x) на множестве X, равномерно сходится на множествах X1 X, X2 X и X = X1 S X2, то она равномерно сходится на множестве X. Наоборот, если функциональная последовательность равномерно сходится на множестве X, то она равномерно сходится на любом подмножестве Y X.
Геометрически равномерная сходимость функциональной последовательности {fn(x)} к функции f на множестве X означает, что для любой
ε-полосы Gε = {(x, y) R2 : f(x) − ε < y < f(x) + ε, x X} найдётся такой номер N = N(ε), что графики функций y = fn(x) с номерами n > N будут лежать в полосе Gε.
Пример 2.2. Показать, что последовательность fn(x) = xn сходится равномерно к предельной функции f(x) ≡ 0 на любом отрезке [−q, q], если 0 < q < 1, и неравномерно сходится на интервале (0, 1).
В самом деле, для q (0, 1) рассматриваемая последовательность схо-
дится к функции f(x) ≡ 0 (см. пример 2.1) |
и |
|
|fn(x) − f(x)| = |xn| ≤ qn, x |
[−q, q], n > N. |
(2.2) |
Поскольку lim qn = 0, то для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что qn < ε для всех n > N. Из неравенства (2.2) получаем, что
|fn(x) − f(x)| < ε, n > N, x [−q, q].
[−q,q]
Следовательно, fn(x) 0, если q (0, 1).
Последовательность {xn} поточечно на (0, 1) сходится к той же функции f(x) ≡ 0. Для доказательства неравномерной сходимости этой последовательности на интервале (0, 1) следует найти такое ε0 > 0, что для
37
любого N N существует номер n > N и точка xn (0, 1), для которых
|fn(xn) − f(xn)| = |fn(xn)| ≥ ε0.
Заметим, что точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xn = 1 |
|
1 |
|
|
(0, 1), |
|
|
n |
|
|
N, и |
|
fn(xn) |
|
= 1 |
|
1 |
!n . |
|||||||||||||
− n |
|
|
|
| |
| |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− n |
|||||||||||||
|
− n |
!n |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку lim 1 |
1 |
= |
1 |
, то существует такое n0, что для всех n > n0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
!n > |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− n |
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда, если ε0 = |
1 |
, то для любого N > n0 найдётся такое n > N, что |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2e |
|
|
|
|
|
!n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xn = 1 |
|
|
1 |
|
|
|
(0, 1) и |
|
fn(xn) |
|
> |
|
1 |
= ε0. |
|||||||||||||||||
− n |
|
|
| |
| |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
Последнее означает, что данная последовательность неравномерно сходится на (0, 1).
Неравномерную сходимость последовательности {xn} на (0, 1) мож-
(0,1)
но доказать иначе. Предположим, что xn 0. Тогда для числа ε = 1/3 существует номер N, такой, что для всех n > N и для всех x (0, 1) вы-
|
n |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
полняется неравенство |x |
|
−0| = x |
|
< |
|
. Однако, для xn = 1/ |
2 (0, 1), |
||||||
|
|
3 |
|||||||||||
получаем очевидное неравенство (xn)n = |
1 |
> |
1 |
, n N. Полученное про- |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
3 |
тиворечие доказывает, что предположение неверно и последовательность {xn} неравномернo сходится на интервале (0, 1).
Замечание. Из приведённых доказательств второй части примера
2.2 следует, что |
|
|
[0,1] |
f(x) = |
|
если |x| < 1, . |
|
xn |
[0, |
f(x) = 0, |
xn |
0, |
|||
|
1) |
|
|
6 |
|
|
если x = 1 |
|
6 |
|
|
1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Помимо понятия равномерной сходимости на множестве, часто используется понятие равномерной сходимости внутри множества.
Определение 2.4. Говорят, что функциональная последовательность {fn(x)} равномерно сходится к f(x) внутри множества X, если она равномерно сходится к f(x) на любом ограниченном, замкнутом подмножестве множества X. Символически этот факт записывают
(X)
так: fn(x) f(x).
Очевидно, что если X — ограниченное, замкнутое множество, то на X определения 2.4 и 2.3 совпадают.
38