- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
Заметим, что коэффициенты Фурье функции Φ по классической тригонометрической системе обладают следующим свойством:
|
|
|
|
|
|bkΦ| = k3 |
= o k2 ! , k → ∞. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
Пусть G(x) = Φ(x) + |
π2x x3 |
, x [−π, π]. Из (5.22) следует, что |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
π2x |
|
|
|
|
π2 ∞ |
( |
|
|
|
1)k+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
− |
|
|
|
|
sin kx, x [−π, π]. |
||||||||||||
6 |
|
|
|
|
3 |
=1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x) = 2 |
|
∞ |
|
(−1)k |
sin kx + |
|
∞ |
|
(−1)k+1π2 |
sin kx = |
|||||||||||||||||||||
kX |
|
|
X |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k |
|||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= 2 |
∞ ( |
|
|
|
1)k |
|
|
|
π2 sin kx, x [ π, π], |
||||||||||||||||||||||
|
|
kX |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
6k |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
k |
|
|
|
6k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
то есть bkG = 2( 1)k |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
k |
|
|
|
N. |
Последнее означает, что bkG = |
O k1 !
Учитывая, что G(x) C([−π, π]), но G(−π) 6= G(π), заключаем, что условие G(−π) = G(π) существенно для справедливости теоремы 5.18 об абсолютной и равномерной сходимости классического ряда Фурье.
5.12Задания для самостоятельной работы
Если не оговорено другое, рассматриваются ряды Фурье по классической тригонометрической системе.
1. Пусть f Rf1[−π, π] и f(x + π) = f(x). Доказать, что a2n−1 = b2n−1 =
= 0, n N.
2.Пусть f Rf1[−π, π] и f(x + π) = −f(x). Доказать, что a0 = 0, a2n =
= b2n = 0, n N.
3.Пусть f Rf1[0, π] и f(π − x) = f(x). Доказать, что если функцию f разложить по косинусам, то a2n−1 = 0, n N, а если разложить по синусам, то b2n = 0, n N.
4.Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье 2π—перио-
дической функции, график которой имеет центр симметрии в точках
(0, 0) и ±π2 , 0!?
187
5.Как связаны между собой коэффициенты Фурье afn, bfn и agn, bgn функций f и g, если f(−x) = g(x), x [−π, π]?
6.Как связаны между собой коэффициенты Фурье afn, bfn и agn, bgn функций f и g, если f(−x) = −g(x), x [−π, π]?
7.Пусть f — непрерывная, 2π-периодическая функция, an, bn — ее коэффициенты Фурье. Вычислить коэффициенты Фурье An, Bn функции
|
1 |
π |
|
|
F (x) = |
|
|
Z |
f(t)f(x + t)dt, x R. |
π |
||||
|
|
|
−π |
|
8. Пусть f Rf1[−π, π] и 2π-периодична. Зная ее коэфффициенты Фурье an, bn, n N0, вычислить коэффициенты Фурье An, Bn функции f(x + h), где h = const.
9. Пусть f — 2π-периодическая функция, f Rf1[−π, π] и в точке x0 из [−π, π] существуют конечные односторонние пределы f(x0+0), f(x0−
0). Доказать, что lim σf (x0) = f(x0 + 0) + f(x0 − 0), где σf (x) —
n→∞ n 2 n
суммы Фейера функции f.
10.Пусть f C([−π, π]), f(−π) = f(π) и |f(x)| ≤ M, x [−π, π]. Доказать, что |σnf (x)| ≤ M, x [−π, π], n N.
11. Пусть f Rf1[−π, π], 2π-периодична и имеет на отрезке [a, b] [−π, π] ограниченную производную. Доказать, что на любом отрезке [α, β] (a, b) ряд Фурье функции f сходится к f(x) равномерно.
12.Пусть функция f дифференцируема на отрезке [0, π], f0(x) Rf2[0, π] и f(0) = f(π) = 0. Доказать, что
Zπ Zπ
f2(x)dx ≤ (f0(x))2dx.
0 |
0 |
13.Доказать, что если классический тригонометрический ряд имеет подпоследовательность частичных сумм, равномерно сходящуюся на отрезке [−π, π] к функции f(x), то этот ряд является рядом Фурье функции f.
14.Не вычисляя коэффициентов Фурье функции f(x) = πx − x |x|, выяснить, сходится ли соответствующий ей классический тригонометрический ряд Фурье равномерно на отрезке [−π, π].
15.Пусть f R[−π, π], afn, bfn (n N) — коэффициенты Фурье функции
|
nX |
|anf | + |bnf | |
|
f. Доказать, что ряд |
∞ |
n |
сходится. |
|
=1 |
|
|
|
|
|
188
16. Пусть f C([−π, π]) и ее ряд Фурье сходится к функции g(x) на [−π, π]. Доказать, что f(x) = g(x) на [−π, π].
17. Пусть f C([−π, π]), 2π-периодическая функция, an, bn — ее коэффициенты Фурье. Вычислить коэффициенты Фурье An, Bn, n N0 функции Стеклова
1 xZ+h
fh(x) = 2hx−h f(ξ)dξ, h = const.
18.Пусть f C([−π, π]), 2π-периодична и an, bn — ее коэффициенты
Фурье по классической тригонометрической системе. Доказать, что если an = o n1 ! , bn = o n1 ! , n → ∞, то ряд Фурье равномерно сходится к f(x) на отрезке [−π, π].
19.Доказать, что многочлены Лежандра
Pn(x) = |
1 |
|
dn ((x − 1)n) |
, n = 0, 1, . . . , |
|
2n n! |
dxn |
||||
|
|
образуют ортогональную систему функций на отрезке [−1, 1].
20.Пусть ϕ(t) = sgn(sin 2πt), ϕn(t) = ϕ(2nt), n = 0, 1, . . . . Система функций {ϕn(t)}∞n=1 называется системой Радемахера. Доказать, что она ортогональна на отрезке [0, 1].
21.Пусть ξ1, ξ2, . . . возрастающая последовательность всех положитель-
ных корней уравнения ctg ξ = c ξ, c — константа. Доказать, что си- |
||||||||||||||
стема |
(cos |
ξn x |
)∞ |
ортогональна на [0, T ]. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
T n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
22. Пусть последовательность {an} такова, что |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N kX |
a |
k| |
< + |
∞ |
, |
|
a |
|
. |
|
|
|
|
sup |
a |
lim |
n = 0 |
||||||||
|
|
|
n |
|
| k+1 − |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказать, что на любом отрезке [ε, 2T − ε], ε (0, T ), равномерно сходятся тригонометрические ряды
∞ an sin |
πnx |
, |
∞ an cos |
πnx |
, |
|
|
||||
nX |
T |
|
X |
T |
|
=1 |
|
n=1 |
|
||
|
|
|
|
а на любом отрезке [−T + ε, T − ε], ε (0, T ), равномерно сходятся тригонометрические ряды
∞ |
n |
|
πnx |
∞ |
n |
|
πnx |
||
nX |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
an sin |
T , |
|
an cos |
T . |
||||
(−1) |
|
(−1) |
|
||||||
=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
189
Литература
[1]Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 2000.
[2]С. Банах. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1972.
[3]И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Математический анализ в задачах и упражнениях. — М.: Изд–во МГУ, 1991.
[4]И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу, т.1. — М.: Высшая школа, 2000.
[5]Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир, 1967.
[6]В. А. Зорич. Математический анализ, т. 1, 2. — М.: Наука, 1981.
[7]В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ, т. 1, 2. — М.: Изд–во МГУ, 1987.
[8]Т.И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко, Л.И. Калиниченко, В.А. Савельев. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 1-й семестр.
— Ростов-на-Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2006.
[9]Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 2-й семестр. — Ростов-на- Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2007.
[10]Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, т.1, 2, 3. — М.: Высшая школа, 1973.
[11]С. М. Никольский. Курс математического анализа, т. 1, 2. — М.: Наука, 1973.
[12]Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, т. 3. — М.: Наука, 1966.
[13]Тер–Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа. — М.: Изд-во МФТИ, 2000.
190
Оглавление
1 Числовые ряды |
3 |
|
1.1 |
Сходимость числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
1.2 |
Простейшие свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . |
6 |
1.3 |
Сходимость положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.4Сходимость знакопеременных рядов . . . . . . . . . . . . . 14
1.5Ряд лейбницевского типа и его свойства . . . . . . . . . . 16
1.6Абсолютная и условная сходимость ряда . . . . . . . . . . 17
1.7 Свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 31
2 Функциональные последовательности и ряды |
35 |
2.1Сходимость функциональных последовательностей . . . . 35
2.2Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями . . . . . . . . . . . . 39
2.3Критерии равномерной сходимости функциональной после-
|
довательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
2.4 |
Сходимость функционального ряда . . . . . . . . . . . . . |
42 |
2.5 |
Достаточные признаки равномерной сходимости функцио- |
|
|
нального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
2.6Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.8Функциональные свойства степенного ряда . . . . . . . . . 61
2.9Разложение функций в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . 64
2.10Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 69 2.10.1 Функциональные последовательности . . . . . . . . 69
2.10.2 Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
3 Несобственные интегралы |
75 |
3.1Определение несобственного интеграла . . . . . . . . . . . 75
191
3.2Методы вычисления несобственных интегралов . . . . . . 82
3.3Несобственные интегралы от неотрицательных функций . 87
3.4Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5Несобственные интегралы с несколькими особыми точками 95
3.6Главное значение несобственного интеграла . . . . . . . . 98
3.7Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 99
4 Интегралы, зависящие от параметра |
103 |
4.1Равномерная сходимость функции к предельной . . . . . . 103
4.2Функциональные свойства предельной функции . . . . . . 108
4.3Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра 111
4.4Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . 116
4.5Признаки равномерной сходимости НИЗП . . . . . . . . . 117
4.6Функциональные свойства НИЗП . . . . . . . . . . . . . . 122
4.7 Примеры вычисления несобственных интегралов . . . . . 126
4.7.1Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.7.2Интеграл Фруллани . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.8Эйлеровы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.8.1Свойства Г-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.8.2 Свойства B-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . |
134 |
4.9 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . |
138 |
5 Ряды Фурье |
143 |
5.1Ортогональные системы функций . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2Определение ряда Фурье по ортогональной системе . . . . 145
5.3Ряды Фурье по тригонометрической системе . . . . . . . . 148
5.4 Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье 153
5.5Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье . . . 156
5.6Разложение функции только по синусам или косинусам . 165
5.7 Разложение sin1 x и ctg x на простые дроби . . . . . . . . . 168
5.8Ядра и многочлены Фейера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.9Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации . . . . . . . . . 172
5.10Теорема Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.11Дифференцирование и интегрирование
тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . |
180 |
5.12 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . |
187 |
Литература |
190 |
192