- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
Лемма 2.6. arcsin x = x + |
∞ |
(2n − 1)!! |
|
x2n+1 |
, |
x |
[ 1, 1]. |
kX |
|
|
|||||
|
(2n)!! 2n + 1 |
|
|
− |
|||
|
=1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что функция f(x) = arcsin x дифференцируема на (−1, 1) и
|
|
|
|
(arcsin x)0 |
= |
|
√ |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
В силу леммы 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcsin x)0 = |
|
|
1 |
|
|
= 1 + |
∞ |
(2n − 1)!! |
x2n, |
|
x |
|
( 1, 1). |
||||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
− |
x |
2 |
|
=1 |
|
|
2nn! |
|
|
|
|
− |
|||
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя полученное тождество на отрезке [0, x], x (−1, 1), имеем:
arcsin x = x + |
∞ |
(2n − 1)!! |
|
x2n+1 |
, |
|
x |
( |
|
1, 1). |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
(2n)!! |
|
|
2n + 1 |
|
− |
|
|||||||||||
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке x = 1 полученный ряд имеет вид |
∞ |
(2n − 1)!! |
|
1 |
|
. Он схо- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2n + 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
(2n)!! |
|
|
|
||||||
дится в силу признака Раабе |
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Rn = n |
an |
− |
1! |
= n |
|
6n + 5 |
|
|
|
3 |
> 1. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
an+1 |
|
|
4n |
|
|
+ 2n + 1 −→ 2 |
|
|
|
|
|
Ясно, что он сходится и в точке x = −1, то есть сходится на отрезке [−1, 1]. Поэтому его сумма S(x) непрерывна на отрезке [−1, 1]. Учитывая непрерывность функции arcsin x на отрезке [−1, 1], получаем указанное разложение.
|
π |
|
nX |
Cледствие. |
2 |
= arcsin 1 = 1 + |
=1 |
|
|
||
|
|
|
(2n − 1)!! 1 (2n)!! 2n + 1.
2.10Задания для самостоятельной работы
2.10.1Функциональные последовательности
1.Пусть функции fn(x), n N, непрерывны на множестве X и функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на X. Доказать, что эта последовательность сходится равномерно на множестве X (замыкании X).
2.Пусть при каждом n N функция fn : R → R равномерно непрерыв-
R
на на R и fn(x) f(x). Доказать, что f(x) равномерно непрерывна на R.
X
3.Пусть fn(x) f(x), а функция f(x) ограничена на множестве X. Доказать, что существуют такие числа A > 0 и N N, что |fn(x)| ≤ A, n > N, x X, то есть функциональная последовательность {fn(x)}∞n=N+1 равномерно ограничена на X.
69
4.Пусть функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно сходится на множестве X, где функции fn(x), n N, ограничены на X. Доказать, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно ограничена на X.
5.Пусть функциональные последовательности {fn(x)}∞n=1, {gn(x)}∞n=1 сходятся равномерно на множестве X. Доказать, что для любых
α, β R функциональная последовательность {αfn(x) + βgn(x)}∞n=1 сходится равномерно на множестве X.
X
6.Пусть fn(x) f(x), а функция g(x) определена и ограничена на этом множестве. Доказать, что функциональная последовательность {g(x) fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на множестве X к функции g(x) f(x).
X X
7.Пусть fn(x) f(x), gn(x) g(x), и функции fn(x) и gn(x), n N, ограничены на X. Доказать, что функциональная последовательность {fn(x) gn(x)}∞n=1 сходится равномерно на множестве X к функции f(x) g(x).
8.Привести пример таких двух функциональных последовательностей
{fn(x)}∞n=1 и {gn(x)}∞n=1, равномерно сходящихся на [0, 1], что последовательность {fn(x) gn(x)}∞n=1 сходится на [0, 1] не равномерно.
9.Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на (a, b). Доказать, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1, где
1
!
fn(x) = n · f(x + n) − f(x) , n N,
сходится равномерно к f0(x) внутри (a, b).
10.Может ли последовательность разрывных на сегменте [a, b] функций равномерно сходиться на [a, b] к непрерывной на [a, b] функции? Если да, то привести пример, если нет — объяснить почему.
11.Может ли последовательность непрерывных на сегменте [a, b] функций {fn(x)}∞n=1 равномерно сходиться на [a, b] к функции, разрывной на [a, b]? Если да, то привести пример, если нет, то объяснить почему.
12.Привести пример функциональной последовательности {fn(x)}∞n=1, равномерно сходящейся на [0, 1] к неограниченной функции f(x).
13.Привести пример последовательности функций fn(x), n N, удовлетворяющей условиям:
(a)функции fn(x), n N, непрерывны на (0, 1);
70
(b)для любого x0 (0, 1) последовательность {fn(x0)}∞n=1 монотонна;
(c)функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 не сходится равномерно на (0, 1) к непрерывной на (0, 1) функции f(x).
Какое условие теоремы Дини нарушено?
14. Пусть последовательность непрерывных на [a, +∞) функций fn(x) сходится поточечно к непрерывной на [a, +∞) функции f(x) и
(a) существуют конечные пределы lim f(x) = A и |
lim fn(x) = An; |
x→+∞ |
x→+∞ |
(b) lim An = A; |
|
n→+∞ |
|
(c) x [a, +∞) последовательность {fn(x)}∞n=1 монотонна.
Доказать, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на промежутке [a, +∞).
15.Привести пример последовательности непрерывных на [0, 1] функций fn(x), n N, сходящейся поточечно на [0, 1] к непрерывной на [0, 1]
n |
+ |
1 |
|
n |
1 |
Z |
f |
6 Z |
|||
функции f(x), и такой, что |
lim |
|
|
(x)dx = f(x)dx. |
|
|
→ ∞ |
0 |
|
|
0 |
16.Привести пример последовательности непрерывных на [0, 1] функций fn(x), n N, неравномерно сходящейся на [0, 1] к непрерывной на
|
( |
) |
|
1 |
n |
1 |
[0, 1] функции f |
, и такой, что |
n→∞ Z |
Z |
|||
|
x |
lim |
f (x)dx = |
f(x)dx. |
||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
17.Привести пример последовательности непрерывных на [0, 1] функций, сходящейся поточечно на [0, 1] к функции f(x) / R[0, 1].
18.Пусть Hm (m N) — множество всех многочленов степени не вы-
ше m, функции fn(x) Hm для всех n N, и функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 поточечно сходится на отрезке [a, b] к функции f(x). Доказать, что:
(a)f(x) Hm;
(b)функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на [a, b] к функции f(x).
19.Функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если
ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x0, x00 [a, b], |x0 − x00| < δ, n N,
выполняется неравенство |fn(x0) − fn(x00)| < ε. Доказать, что если функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 непрерывных функций равномерно сходится на [a, b], то она равномерно непрерывна на
[a, b].
71
20.Доказать теорему Арцела: если функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно ограничена и равномерно непрерывна на [a, b], то из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на этом отрезке.
2.10.2 Функциональные ряды
∞
X
1. Пусть функциональный ряд un(x) сходится равномерно на множе-
n=1
стве X, а функция ϕ(x) определена и ограничена на этом множестве.
∞
X
Доказать, что функциональный ряд ϕ(x)un(x) также равномерно
n=1
сходится на множестве X.
∞
2. Пусть функциональный ряд X |vn(x)| сходится равномерно на мно-
n=1
жестве X, а функции un(x), n N определены на X и удовлетворяют условию |un(x)| ≤ |vn(x)| для всех x X. Доказать, что функцио-
∞
X
нальный ряд un(x) сходится на X абсолютно и равномерно.
n=1
|
X |
| |
1 |
| |
|
nX |
|
− |
|
|
|
|||
3. Доказать, что если ряд |
∞ |
|
|
|
|
сходится, то ряд |
∞ |
|
1 |
|
|
сходится |
||
n=1 |
|
|
a |
|
|
|
=1 |
x |
|
a |
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсолютно и равномерно на любом замкнутом ограниченном множестве, не содержащем точек x = an, n N.
4. Показать, что из условий
|
∞ |
|
(a) ряд |
nX |
|
un(x) сходится на множестве X равномерно, |
||
|
=1 |
|
(b) последовательность vn(x) ограничена в совокупности на X, |
||
|
|
∞ |
вообще говоря, не следует, что ряд |
nX |
|
un(x)vn(x) равномерно сходит- |
||
|
|
=1 |
ся на X. Какие дополнительные условия надо наложить на последовательность {un(x)} или на последовательность {vn(x)}, чтобы га-
|
∞ |
рантировать равномерную сходимость ряда |
nX |
un(x)vn(x) на X? |
|
|
=1 |
5. Следует ли из абсолютной и равномерной сходимости функциональ-
|
∞ |
|
|
|
ного ряда |
nX |
|
|
|
un(x) на множестве X равномерная сходимость ряда |
||||
nX |
=1 |
X |
|
|
на X? (Рассмотрите пример |
− x), X = [0, 1].) |
|||
∞ |un(x)| |
∞ (−1)nxn(1 |
|||
=1 |
|
n=1 |
|
∞
6. Пусть функциональный ряд P un(x) сходится абсолютно в точках
n=1
a и b, a < b, а функции un(x), n N, монотонны на отрезке [a, b]. Доказать, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [a, b].
72
|
X |
|
nX |
|
7. Пусть числовой ряд |
∞ an2 сходится, ряд |
∞ un2 (x) сходится поточечно |
||
|
n=1 |
|
=1 |
|
на множестве X и его сумма ограничена на X. Доказать, что ряд |
||||
∞ |
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
an un(x) абсолютно и равномерно сходится на множестве X. |
||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
8. Пусть числовой ряд |
X an |
сходится. Доказать, что ряд Дирихле |
∞ a
n=1
X n сходится равномерно на множестве [0, +∞).
n=1 nx
|
|
∞ |
9. Пусть функции un(x), n N, непрерывны на [a, b] |
и ряд |
nX |
un(x) |
||
∞ |
|
=1 |
|
|
|
nX |
un(b) сходится. |
|
сходится равномерно на [a, b). Доказать, что ряд |
||
=1 |
|
|
∞
10. Пусть функциональный ряд X |an+1(x) −an(x)| сходится равномерно
n=1
на множестве X, lim sup |an(x)| = 0, а функциональная последова-
n→+∞ x X
∞
тельность |
k=1 |
bk(x) |
|
=1 |
равномерно ограничена на X. Доказать, что |
||||||
|
|
|
|
n ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
функциональный ряд |
an(x)bn(x) сходится равномерно на X. |
||||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
∞ anxn равен R. Найти |
||
11. Пусть радиус сходимости степенного ряда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
||
радиус сходимости степенного ряда |
∞ bnxn, если: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
an |
||
(a) bn = (an)k (k N); |
|
|
|
||||||||
|
(b) bn = |
|
. |
||||||||
∞ |
1 + |an| |
||||||||||
12. Доказать, что если числовой ряд |
an сходится и его сумма равна |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
S, то существует |
|
|
lim |
∞ anxn = S. Справедливо ли обратное |
|||||||
утверждение? |
|
x |
1 0 |
n=0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
→ − |
X |
|
|
|
|
13. Пусть функции un(x), n N, непрерывны на [a, b], un(x) > 0 для всех
|
∞ |
x [a, b] и всех n N, а функциональный ряд |
nX |
un(x) поточечно |
|
|
=1 |
сходится на [a, b] к непрерывной на [a, b] функции S(x). Доказать,
∞
X
что функциональный ряд un(x) сходится равномерно на [a, b].
n=1
14. Пусть a > 0 и b > 0 — фиксированные числа. Найти область сходи-
|
nX |
|
bn |
! xn. |
|
мости степенного ряда |
∞ |
an |
+ |
||
|
n |
2 |
|||
|
|
n |
|
||
|
=1 |
|
|
|
73
15. Пусть радиусы сходимости степенных рядов |
X |
|
nX |
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ anxn и |
∞ bnxn равны |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
R1 и R2, соответственно. Найти условия, которым должны удовле- |
||||||||||||||||||||
творять радиусы сходимости следующих степенных рядов: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(a) |
∞ (an + bn) xn; |
|
|
|
|
|
|
(b) |
∞ an · bn xn. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
nX |
|
|
|
|
|
|
16. Пусть |
R — радиус сходимости степенного |
ряда |
|
|
|
|
6= 0, |
|||||||||||||
∞ anxn, |
an |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N0, и l = nlim |
|
an |
|
|
|
|
|
an |
. Доказать, что l |
≤ |
|
≤ |
L. |
|||||
n |
, L = nlim |
R |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
→∞ |
an+1 |
|
|
→∞ |
an+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Пусть функция f(x) периодична с периодом T = 1 и
f(x) = |
|
|
− |
x, |
если |
x [0, 1/2], |
||
|
|
1 |
x, |
если |
x |
|
(1/2, 1]. |
|
|
|
|
|
Пусть fn(x) = для всех x R и всех n N. Доказать, что
∞
4n
X
ряд fn(x) сходится на R, его сумма S(x) непрерывна на R и не
n=1
имеет производной ни в одной точке x R.
∞
X
18. Пусть M > 0 и для всех коэффициентов степенного ряда
n=0
Mn! . Доказать, что:
(a)сумма f(x) этого ряда бесконечно дифференцируема в любой точке a R;
∞ |
f(n)(a) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
R. |
|
|
|||
(b) f(x) = |
|
|
(x − a) |
|
для любого x |
|
|
||||||||
n! |
|
|
|
|
|||||||||||
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. Доказать, что arctg x = |
∞ |
|
(−1)n |
x2n−1, |
x |
[ 1, 1]. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
=0 |
2n + 1 |
|
|
− |
|
|
||||
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
20. Пусть функции fn(x) |
C ([a, b]), n N, и ряд |
fn(x) равномер- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
∞ |
|
но сходится на [a, b) |
к S(x). Доказать, что числовой ряд |
||||||||||||||
fn(b) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
сходится и S(x) C ([a, b]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∞ |
arctg nx |
|
|
|
|
|
|||||||
21. Доказать, что ряд |
|
|
|
|
|
|
|
сходится не равномерно на (0, +∞). |
|||||||
=1 |
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74