- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
Лемма 4.11 (формула дополнения для B-функции). Для любого
числа α (0, 1) |
B(α, 1 − α) = |
|
π |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
sin πα |
|
|
|
|
|||||||||
Cледствие. (формула дополнения для -функции) Для любого |
||||||||||||||
числа α (0, 1) |
(α) (1 − α) = |
π |
|
. |
|
|
||||||||
sin πα |
|
|
||||||||||||
Из формулы дополнения, в частности, следует, что |
||||||||||||||
|
B |
1 |
, |
1 |
! = |
2 (1/2) |
= 2 |
1 |
! = π. |
|||||
|
|
|
|
(1) |
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
Поэтому |
1 |
! |
= √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
π. Наконец, пользуясь полученными равенствами, |
||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
делая замену x2 = t, легко вычислить интеграл Эйлера–Пуассона: |
||||||||||||||||
|
|
+∞e−x2 dx = |
1 |
+∞t−1/2e−t dt = |
1 |
|
1 |
! = |
√ |
|
|
. |
||||
|
|
|
π |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
Z |
2 |
Z |
2 |
2 |
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9Задания для самостоятельной работы
1.Пусть функции f1(x, y) и f2(x, y) определены на множестве X ×Y из R2x,y, y0 — предельная точка множества Y и g(x, y) = f1(x, y)+f2(x, y),
X
h(x, y) = f1(x, y)−f2(x, y). Пусть g(x, y) −−−−→→ ϕ1(x), h(x,
y→y0
X
y) −−−−→→ ϕ2(x).
y→y0
Что можно сказать о равномерной сходимости на множестве X функций f1(x, y) и f2(x, y) при y → y0?
2. Пусть функция ϕ : X × Y R2x,y → R, y0 — предельная точка
X
множества Y и ϕ(x, y) −−−−→→ ϕ(x). Пусть функция f : X Rx →
y→y0
R и f(x) непрерывна на множестве X. Можно ли утверждать, что функция f(x)ϕ(x, y) сходится равномерно на множестве X при y → y0?
3.Пусть функция f : [a, b) × Y R2x,y → R, y0 — предельная точка множества Y и функция f удовлетворяет следующим условиям:
a)функция f непрерывна по x на промежутке [a, b) при каждом
фиксированном y Y ;
(a,b)
b) f(x, y) −−−−→→ ϕ(x);
y→y0
c) не существует предела f(a, y) при y → y0.
Доказать, что функция f(x, y) сходится неравномерно на (a, b) при y → y0.
138
4.Показать на примерах, что если функция f(x, y) определена на множестве X × Y R2, непрерывна по x на X при каждом фиксированном y Y и сходится при y → y0 к непрерывной на множестве X функции, то сходимость может быть как равномерной, так и неравномерной.
5. Пусть f, ϕ : X × Y R2x,y → R, y0 — предельная точка множества
X
Y и f(x, y) −−−−→→ f1(x), а ϕ(x, y) неравномерно сходится к ϕ1(x) на
y→y0
множестве X при y → y0. Имеет ли место равномерная сходимость функции f + ϕ на множестве X при y → y0?
6.Показать, что требование компактности множества X существенно для справедливости теоремы Дини.
7.Пусть Π = [a, b] × [c, d], f : Π → R и f непрерывна на Π. Пусть функция g(x) интегрируема по Риману на [a, b]. Доказать, что
Zb
a) функция I(y) = f(x, y)g(x) dx непрерывна на отрезке [c, d];
a
b) при условии, что функция |
∂f |
(x, y) непрерывна на |
|
, функция |
|||||
Π |
|||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
∂y |
||||||
I(y) непрерывно дифференцируема на [c, d], при этом |
|||||||||
|
|
b ∂f |
|||||||
|
|
I0(y) = Z |
|
|
(x, y) g(x) dx; |
||||
|
|
|
∂y |
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
c) Zd I(y) dy = Zb |
dx Zd f(x, y) g(x) dy. |
||||||||
c |
a |
c |
|
|
|
|
|
|
8. Пусть функция f непрерывна на R и a > 0. Доказать, что функция
F (x) = 1 Za f(x + t)dt
2a−a
имеет непрерывную производную на R, найти F 0(x).
9. Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [c, d] и
Zy
I(y) = (x + y)f(x) dx, y [a, b] (a < 0 < b).
0
Найти I0(y), I00(y).
10. Пусть функция f непрерывна на [a, b], x0 (a, b), k 6= 0. Доказать,
что функция
I(x) = 1 Zx f(t) sin k(x − t)dt k x0
139
удовлетворяет уравнению I00 + k2I = f(x).
11. Пусть функция f |
непрерывна на отрезке [a, b] |
и a < a0 < x < b. |
|||||
α 0 |
α |
x |
− |
|
− |
0 |
|
Z |
|
|
|||||
Доказать, что lim |
1 |
(f(t + α) |
|
f(t)) dt = f(x) |
|
f(a |
). |
|
|
|
|||||
→ |
|
a0 |
|
|
|
|
|
12. Пусть функции f(x, y), ϕ(x, y) определены на множестве [a, b] × Y ,
Zb
f(x, y) dx, имеют единственную особую точку x = b при любой
a
Zb
фиксированной точке y Y и несобственные интегралы ϕ(x, y) dx
a
равномерно сходятся на множестве Y . Доказать, что для всех α, β
Zb
R несобственный интеграл (α f(x, y) + β ϕ(x, y)) dx равномерно схо-
a
дится на множестве Y .
13. Пусть функция f(x, y) : [a, b] × Y → R имеет единственную особую
Zb
точку x = b при любой фиксированной точке y Y . Если f(x, y) dx
a
несобственный интеграл сходится на множестве Y и равномерно сходится на множествах Y1 Y и Y2 Y , то он равномерно сходится на множестве Y1 S Y2. Показать, что данное утверждение нельзя перенести на бесконечное объединение множеств.
14.Пусть функция g(x, y) определена на [a, b) × Y R2x,y, локально интегрируема на [a, b) при каждом y Y , ограничена на [a, b) × Y и
монотонна по x на [a, b) при любом фиксированном y Y . Доказать,
Zb
что если несобственный интеграл f(x) dx сходится, то несобствен-
a
Zb
ный интеграл g(x, y)f(x) dx равномерно сходится на множестве Y .
a
15. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена на [a, b), а несобствен-
Zb
ный интеграл g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y . До-
a
Zb
казать, что несобственный интеграл g(x, y) f(x) dx равномерно схо-
a
дится на множестве Y .
16.Пусть функция g(x, y) определена на [a, b)×Y R2x,y и удовлетворяет условиям:
a)равномерно на Y сходится к нулю при x → b (x (a, b));
140
b) монотонна по x на [a, b) при каждом фиксированном y Y . Пусть функция f(x) локально интегрируема на [a, b) и
C > 0 : |
Zt f(x) dx |
≤ C, t [a, b). |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb
Доказать, что несобственный интеграл g(x, y) f(x) dx равномерно
сходится на Y . |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. Пусть f : [a, +∞) × Y Rx,y2 |
→ R, y0 — предельная точка множества |
|||||||||
Y , F : [a, +∞) → R, и выполнены следующие условия: |
||||||||||
[a,b] |
f(x, y0) для любого [a, b] |
|
[a, + |
|
), |
|||||
a) f(x, y) −−y →y0 |
|
∞ |
||||||||
−−→→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b) |f(x, y)| ≤ F (x), (x, y) [a, +∞) × Y , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
c) несобственный интеграл |
Z |
F (x) dx сходится. |
||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
y y0 |
+∞ |
|
+∞ |
|
0 |
|
|
|
|
Доказать, что |
Z |
|
Z |
|
) dx. |
|
||||
lim |
f(x, y) dx = f(x, y |
|
||||||||
|
|
→ |
a |
|
a |
|
|
|
|
|
18. Пусть функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, b)×[c, d] и несоб-
Zb
ственный интеграл f(x, y) dx сходится равномерно на (c, d). Дока-
a
зать, что этот несобственный интеграл сходится равномерно на [c, d].
19.Пусть функция f(x, y) C([a, b] × [c, d]), а функция g абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. Доказать, что
|
|
|
|
Zd |
dy Zb f(x, y)g(x) dx = Zb |
dx Zd g(x)f(x, y) dy. |
|||
|
|
|
|
c |
|
a |
a |
|
c |
20. Пусть f : [a, b] × Y |
Rx,y2 −→ R, y0 |
— предельная точка множества |
|||||||
Y , и выполнены следующие условия: |
|
||||||||
a) f(x, y) R[a,b], y Y ; |
|
|
|||||||
|
|
|
[a,b] |
ϕ(x); |
|
|
|||
b) f(x, y) −−y →y0 |
|
|
|||||||
|
|
−−→→ |
|
|
|
|
|
||
c) g(x) абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. |
|||||||||
Доказать, что функция g(x) ϕ(x) интегрируема в несобственном смы- |
|||||||||
|
[ |
|
) |
|
y y0 |
b |
b |
||
сле на |
a, b |
и |
Z |
Z |
ϕ(x)g(x) dx. |
||||
|
|
lim |
f(x, y)g(x) dx = |
|
|||||
|
|
|
|
|
→ |
|
a |
a |
|
141
21.Пусть функция f(x, y) C([a, d] × [c, d]) имеет частную производную ∂f∂y , которая непрерывна на [a, b] × [c, d]. Пусть функция g(x)
абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. Доказать,
Zb
что функция I(y) = g(x) f(x, y) dx непрерывно дифференцируема
a |
|
|
|
|
на отрезке [c, d] и I0(y) = |
b |
g(x) ∂y (x, y) dx, y [c, d]. |
||
Z |
||||
|
|
|
∂f |
|
|
a |
|
|
|
22. Пусть функция f(x) локально интегрируема на [a, +∞), a > 0, c < d,
|
+∞ |
|
и при y = c, y = d несобственный интеграл |
Z |
xy f(x) dx сходится. |
|
a |
|
Доказать, что этот интеграл сходится равномерно на отрезке [c, d].
23. Пусть при каждом y Y функция f(x, y) монотонна на [0, +∞),
|
+∞ |
|
|
|
несобственный интеграл |
Z |
f(x, y) sin x dx сходится равномерно на |
||
|
0 |
|
|
Y существует предел lim f(x, y) = |
множестве Y , и для любого y |
|
|||
|
|
|
x→+∞ |
0. Доказать, что при x → +∞ функция f(x, y) равномерно на множестве Y сходится к нулю.
24. Пусть f : [a, b] × [c, d] → R и для любого y [c, d] функция f(x, y) интегрируема по Риману на [a, b]. Пусть ϕ : [a, b] → R, y0 [c, d] и
lim f(x, y) = ϕ(x) для всех x [a, b]. Доказать, что:
y→y0
|
y |
|
y0 |
b |
b |
a) |
|
Z |
Z |
||
lim |
|
f(x, y) dx = ϕ(x) dx; |
|||
|
|
→ |
|
a |
a |
|
y |
|
y0 |
b |
b |
b) |
|
Z |
Z |
||
lim |
|
f(x, y)g(x) dx = ϕ(x)g(x) dx для любой функции g(x), ин- |
|||
|
|
→ |
|
a |
a |
тегрируемой по Риману на [a, b].
142