- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
(x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1) dx = |
||||||||||
|
Так как a0f = 3, а Z f2 |
(x) dx = Z |
|||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
(x4 + 3x2 + 1) dx = 5 , |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 2 Z |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
||||||
то |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
22 |
|
32 |
! = |
19 |
|
||||
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
. |
||||||||||||||
|
=1 |
4 |
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
k π |
|
|
k π |
|
4 5 − 9 |
90 |
||||||||||||||||
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 5.15 (о единственности классического ряда Фурье для |
||||||||||||||||||||||
непрерывной функции). Пусть f, g |
|
C([−π, π]). Для того, чтобы |
f(x) = g(x) на отрезке [−π, π], необходимо и достаточно, чтобы совпадали соответствующие коэффициенты классических рядов Фурье функций f и g, то есть
afk = agk, k N0, bfk = bgk, k N.
Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности рассмотрим функцию ϕ(x) = f(x) − g(x), и предположим, что существует точка x0 [−π, π] такая, что ϕ(x0) 6= 0. Тогда в силу непрерывности функции
ϕ на [−π, π]
Zπ
ϕ2(x) dx > 0.
−π
Но коэффициенты тригонометрического ряда Фурье для функции ϕ равны нулю и, следовательно, нарушается равенство Парсеваля для функ-
ции ϕ. Поэтому предположение неверно и ϕ(x) ≡ 0.
Cледствие. Если f C([−π, π]) и afk = 0, k N0, bfk = 0, k N, то f(x) = 0, x [−π, π].
5.11Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
Теорема 5.16. Пусть f C([−π, π]), f(−π) = f(π), функция f дифференцируема на отрезке [−π, π] за исключением, быть может,
конечного числа точек, причем f0 R1− . Тогда классический ряд
f
[ π,π]
Фурье функции f0 получается из классического ряда Фурье функции f почленным дифференцированием.
Пусть an, bn — коэффициенты классического ряда Фурье функции f, a0n, b0n — коэффициенты классического ряда Фурье функции f0. Так как f(−π) = f(π), то
|
|
1 |
|
π |
|
1 |
|
|
π |
|
||
a00 |
= |
|
|
Z |
f0(x) dx = |
|
|
f(x) |
|
π= 0, |
||
π |
π |
|
||||||||||
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180
|
ak0 |
= |
|
1 |
|
|
π f0 |
(x) cos kx dx = |
|
u = cos kx, |
|
|
du = −k sin kx dx |
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
dv = f0(x) dx, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
f(x) cos kx |
|
|
|
+ k |
|
f(x) sin kx dx = k bk, k |
N |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) sin kx |
|
|
|
|
|
π f(x) cos kx dx = |
|||||||||||
b0 |
= |
|
1 |
|
|
π f0(x) sin kx dx = |
|
1 |
|
|
π |
|
− |
k |
||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
= −k ak, k N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому f0 |
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
n |
|
X |
|
n |
|
|
− |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||
(x) |
|
|
a0 cos nx + b0 sin nx = |
|
|
(nb |
|
cos nx |
|
na |
|
sin nx) = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
= X (an cos nx + bn sin nx)0.
n=1
Замечание. Отметим, что в теореме 5.16 не обсуждается вопрос о сходимости классических рядов Фурье функций f и f0.
Cледствие. Пусть p ≥ 1, f C(p−1)([−π, π]), функция f 2π—перио- дична, функция f(p−1) дифференцируема на отрезке [−π, π] за исключением, быть может, конечного числа точек, причем f(p) Rf1[−π,π]. Тогда классический ряд Фурье функции f(p) получается из классического ряда Фурье функции f его p-кратным почленным дифференцированием.
Теорема 5.17 (о скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье). Пусть p ≥ 1, f C(p−1)([−π, π]), функция f 2π—периодична, p раз дифференцируема на отрезке [−π, π] за исключением, быть может, конечного числа точек, и f(p) R1[−π,π]. Тогда коэффициенты
классического ряда Фурье функции |
f удовлетворяют неравенству |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
εn(p) |
|
|
|
|
εn(p) |
, n N , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|an| ≤ |
|
, |bn| ≤ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
np |
np |
|
|
||||||||||||||||
lim ε(p) |
|
0 |
|
|
f |
(p) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
выполняются те же оценки |
|||||||
где n→∞ n |
→ |
|
. Если же |
|
|
Rf[−π,π], то |
|
|
|
∞ |
(p) 2 |
||||||||||||
для коэффициентов Фурье ak, bk, k N, и ряд |
nX |
(εn ) сходится. |
|||||||||||||||||||||
=1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При p = 1 |
f C([−π, π]) и f0 Rf[1−π,π]. В силу теоремы 5.16 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
= 0; |
b |
|
|
|
k |
, |
|
a |
|
|
|
|
k |
, |
k |
N |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
k = k |
|
|
k |
= − k |
|
|
Согласно теореме Римана ak0 (1)→ 0 и bk0 → 0 при k → ∞. Положим εk(1) = |
||||||||||||||||
q(ak0 )2 + (bk0 )2, k N. Тогда εk |
|
→ 0 при k → ∞ и |
|
|
|
|||||||||||
|
a |
|
= |
|bk0 | |
|
εk(1) |
, |
b |
|
= |
|ak0 | |
|
εk(1) |
, k |
N |
. |
|
k| |
k |
≤ k |
k| |
k |
≤ k |
||||||||||
| |
|
|
| |
|
|
|
181
Если же f0 R2[−π,π], то f0 R1[−π,π], а значит выполнены те же оценки
для |
коэффициентов |
ak, bk, kf N. По следствию теоремы Ляпунова |
|||
|
f |
|
|||
для функции f0 |
имеет место равенство Парсеваля 5.9, а поэтому ряд |
||||
kX |
|
+ (b0 )2) сходится, то есть сходится ряд |
X |
||
∞ ((a0 )2 |
∞ (ε(1))2. |
||||
=1 |
k |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
k=1 |
Пусть теперь p > 1, p
f(p)(x) a(0p) +
2
N. По теореме 5.16 и следствию к ней
∞
X (a(kp) cos kx + b(kp) sin kx), где
k=1
|
1 |
π |
|
|
1 |
π |
|
ak(p) = |
|
Z |
f(p)(x) cos kx dx, k N0, |
bk = |
|
Z |
f(p)(x) sin kx dx, k N, |
π |
π |
||||||
|
|
−π |
|
|
|
−π |
|
и
|ak| =
|bk| =
|
|
(1) |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|ak(p)| |
, |
|||||||||
|
bk |
|
|
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kp |
|
|
|
|||||||
| | |
= | |
|
|
|
|
| |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
| |
kp |
| |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|ak(p)| |
, |
|||||||||
|
|
ak |
|
|
|
|
bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kp |
|
|
|
||||
| |
|
| = | |
|
|
|
| |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
| |
kp |
|
| |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r
если p — четное число,
если p — нечетное число,
если p - нечетное число,
если p - четное число.
Положим εk(p) = |
|
(ak(p))2 + (bk(p))2, k N, тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εk(p) |
|
εk(p) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|ak| ≤ |
|
, |bk| ≤ |
|
, k N. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
kp |
kp |
|
|
|
|
|||||||
Если f(p) |
1 |
|
|
, то |
lim a(p) = 0, |
lim b(p) |
|
и |
lim ε(p) = 0. Если |
||||||||||
∞ |
|
(p) |
2 |
2 Rf[−π,π] |
|
k→∞ k |
k→∞ k |
= 0 |
∞ |
k→∞ |
k |
(p) |
, ряд |
||||||
f |
(p) |
Rf[− (p) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p) |
2 |
|
||||
же |
|
|
π,π] |
, то в силу равенства Парсеваля для функции f |
|
||||||||||||||
X |
((ak |
) |
+ (bk ) ) сходится, то есть сходится ряд |
kX |
(εk ) . |
|
|
||||||||||||
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
Cледствие. Пусть функция f удовлетворяет условиям:
1)f C(p−1)([−π, π]), p N ;
2)f(k)(−π) = f(k)(π), k = 0, 1, . . . , p − 1;
3)f(p) Rf2[−π,π].
Тогда для коэффициентов Фурье функции f по классической тригонометрической системе справедливы неравенства
εk(p) |
εk(p) |
∞ |
(p) 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|ak| ≤ kp , |
|bk| ≤ kp , k N, где ряд |
(εk ) сходится. |
||||||
=1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
182
Теорема 5.18 (о равномерной сходимости тригонометрического
ряда Фурье). Пусть f C([−π, π]), f(−π) = f(π), f0 |
R[2−π,π]. Тогда |
||||||||||||||||||
классический ряд Фурье функции |
f |
абсолютно и |
равномерно сходится |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||||||
на отрезке [−π, π] к функции f. |
|
εk(1) |
|
|
|
|
εk(1) |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
2 |
|||
По следствию теоремы 5.17 |ak| ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N, а ряд |
kX |
|
|
|
|||||
k |
, |bk| ≤ k |
, k |
(εk |
) |
|
||||||||||||||
=1 |
|
||||||||||||||||||
сходится, поэтому для всех x [−π, π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(1) |
2 |
|
|
(1) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
N. |
|
|
|||||||
|ak cos kx + bk sin kx| ≤ |ak| + |bk| ≤ |
εk |
· |
|
≤ (εk ) |
|
+ |
|
, k |
|
|
|||||||||
k |
|
k2 |
|
|
|||||||||||||||
X |
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ряды ∞ (εk(1))2, |
∞ 1 |
сходятся, то классический ряд Фурье |
|||||||||||||||||
|
k2 |
||||||||||||||||||
k=1 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для функции f абсолютно и равномерно сходится на отрезке [−π, π] по признаку Вейерштрасса. По следствию 1 к теореме Фейера он сходится к функции f.
Cледствие 1. Пусть функция f удовлетворяет следующим условиям:
1)f C(p−1)([−π, π]) (p ≥ 2) и 2π—периодична;
2)f(k)(−π) = f(k)(π), k = 0, 1, . . . , p − 1;
3)f(p) Rf2[−π,π].
Тогда классические ряды Фурье для функций f(k), k = 1, p − 1, получаются из классического ряда Фурье функции f его k кратным почленным дифференцированием, причем полученные ряды абсолютно и равномерно сходятся на [−π, π] к функции f(k).
Cледствие 2. Если функция f удовлетворяет условиям следствия
1, то |
|
ηn |
|
|
|f(x) − Snf |
(x)| ≤ |
, n > 1, |
||
np−1/2 |
где ηn → 0 при n → ∞, а Snf (x) — n-ые частичные суммы классического ряда Фурье функции f.
Поскольку классический ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на отрезке [−π, π], то для всех x [−π, π]
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
a0 |
+ |
∞ (ak cos kx + bk sin kx), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
f(x) |
|
Snf |
(x) = |
∞ |
ak cos kx + bk sin kx |
|
∞ |
|
( ak |
+ |
bk |
) |
||||||||||||||||
|
− |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
X |
|
| | |
| |
| |
≤ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
εk(p) |
|
|
2 v |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
∞ |
|
|
|
∞ |
(ε(p))2 |
|
|
∞ |
|
1 |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
≤ |
|
|
k=n+1 k |
|
|
≤ |
uk=n+1 |
|
· uk=n+1 k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
u |
X |
|
|
u |
X |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
183
|
k=n+1 |
k |
u |
|
k |
→ |
→ ∞ |
|
|
|
uk=n+1 |
|
|
||||
Так как ряд |
X |
|
u |
X |
(ε(p))2 0 при n |
|
. |
|
∞ |
(ε(p))2 сходится, то γn = v |
∞ |
|
|||||
Далее, для любого n > 1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
+∞ dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
=n+1 |
|
≤ |
Z |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
k2p |
x2p |
(2p |
− |
1)n2p−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
k X |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому для всех x [−π, π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f(x) Snf (x) |
γn |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= γn |
1 |
|
|
|
1 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(2p 1)n2p |
|
1 |
|
|
√2p 1 np |
|
1/2 |
|||||||||||||||||||||
| |
− |
| ≤ |
|
|
|
u |
− |
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||||||||
|
|
· u |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
· |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
γn |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полагая |
ηn = |
√ |
|
, получаем нужное неравенство. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2p − 1 |
|
f |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Замечание. Полученную в следствии оценку для |f(x)−Sn (x)| мож- |
но существенно уточнить. Имеет место следующий результат, который мы приводим без доказательства.
Теорема 5.19. Пусть функция f 2π—периодична, непрерывна на [−π, π], удовлетворяет в каждой точке отрезка [−π, π] односторонним условиям Гельдера с показателем α (0, 1]. Тогда ее классический ряд Фурье равномерно сходится к функции f на R и
sup |Snf (x) − f(x)| ≤ Cα |
ln n |
, |
n > 1. |
|
|||
nα |
|||
x R |
|
|
|
Обратимся к задаче почленного интегрирования классического ряда Фурье. Наличие в ряде Фурье константы a0/2 не позволяет получить ряд Фурье, но остается задача о возможности почленного интегрирования функционального ряда и о характере сходимости ряда, полученного в результате почленного интегрирования.
Теорема 5.20 (о почленном интегрировании классического ряда
a0 |
∞ |
||
|
|
|
kX |
Фурье). Пусть f C([−π, π]), и f(x) 2 + |
(ak cos kx + bk sin kx) — |
||
|
|
|
=1 |
Zx
классический ряд Фурье функции f. Пусть F (x) = f(t) dt, x [−π, π].
Тогда |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
F (x) = |
a0x |
+ |
∞ |
ak |
sin kx + bk |
1 − cos kx |
! , x |
[ π, π]. |
|
kX |
|
|
|||||
2 |
|
k |
k |
− |
||||
|
=1 |
Ряд в правой части абсолютно и равномерно сходится на отрезке [−π, π] и получается почленным интегрированием классического ряда Фурье функции f.
184
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
φ(x) = |
x |
f(t) |
|
a0 |
! dt = F (x) |
|
a0x |
, x |
[ |
|
π, π]. |
|
Z |
− |
2 |
− |
2 |
− |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция φ(x) как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции непрерывно дифференцируема на отрезке [−π, π], и для всех x из [−π, π] φ0(x) = f(x) − a20 . Кроме того,
φ(π) |
|
φ( π) = |
π |
f(t) |
|
a0 |
! dt |
−π |
f(t) |
|
a0 |
! dt = |
π |
f(t) |
|
a0 |
! dt = 0. |
|
− |
Z |
− |
2 |
− Z |
− |
2 |
Z |
− |
2 |
|||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
Если Ak, Bk — коэффициенты Фурье функции φ по классической тригонометрической системе, то из формул, полученных при доказательстве теоремы 5.16 следует, что
Ak = −bkk , Bk = akk , k N.
А поскольку функция φ удовлетворяет условиям теоремы 5.18, то
φ(x) = |
A0 |
∞ |
|
bk |
cos kx + |
ak |
sin kx , x [−π, π], |
|
2 |
+ k=1 |
− k |
k |
|||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
причем полученный ряд Фурье абсолютно и равномерно сходится на отрезке [−π, π]. Чтобы найти A0, в последнем равенстве положим x = 0 и получим абсолютно сходящийся числовой ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
∞ bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ(0) = |
|
|
|
|
|
|
− X |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k=1 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как по определению φ(0) = 0, то |
2 |
= |
|
|
|
=1 |
|
k |
, и, следовательно, для |
|||||||||||||||||||||||||
всех x [−π, π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin kx! = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
φ(x) = |
∞ |
|
bk |
+ ∞ |
− |
bk |
cos kx + |
ak |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
X |
|
k |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − cos kx)! . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∞ |
|
ak |
|
sin kx + |
bk |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
k |
k |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как F (x) = |
a0x |
+ φ(x), то для всех x [−π, π] |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x f(t) dt = |
a0x |
+ |
∞ |
ak |
sin kx + |
bk |
(1 |
− |
cos kx)! , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
2 |
|
=1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке [−π, π].
185
Zπ
Cледствие. Если f C([−π, π]) и f(x) dx = 0, то функция
−π
Zx
F (x) = f(t) dt разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся
0
на отрезке [−π, π] классический ряд Фурье:
|
|
|
F (x) = |
A0 |
+ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
cos kx + |
ak |
sin kx! , x |
|
|
[ |
|
π, π], |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ bk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в котором A0 = |
|
|
|
|
Z |
|
F (t) dt = 2 |
=1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Замечание. Утверждение теоремы 5.20 можно получить и при усло- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вии, что f R[1−π,π]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [−π, π]. Из доказанных теорем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример f |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть f(x) = x, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разлагается на отрезке [−π, π] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следует, что функция f |
|
|
|
в классический |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 |
|
∞ |
|
|
|
(−1)k+1 |
sin kx , |
x |
|
[ |
|
π, π]. |
|
|
|
|
(5.22) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функция F (x) = |
|
|
|
|
|
|
— одна из первообразных f на [−π, π]. А так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z |
f(x) dx = |
Z |
x dx = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π= 0, то, в силу следствия к теореме 5.20, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F (x) = x f(t) dt = |
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
x2 |
|
|
π2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ 2 |
cos kx, где A |
|
|
= |
|
dx = |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
π |
Z |
2 |
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому |
x2 |
|
= |
π2 |
+ 2 |
|
|
∞ |
|
|
|
(−1)k |
cos kx, x |
|
|
[ π, π]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Пусть ϕ(x) = |
|
|
|
− |
. Тогда |
Z |
|
|
ϕ(x) dx = 0, и одной из первообраз- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
π2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ных функции ϕ(x) является функция |
Φ(x) = |
− |
. Поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
π2x |
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
( |
− |
1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
0 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
sin kx, x |
|
|
|
[ |
|
|
π, π]. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 − |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k3 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Так как Φ — нечетная функция, то |
Zπ Φ(x) dx = 0, а, значит, A00 = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
π2x |
= 2 |
|
∞ |
(−1)k |
sin kx, x |
|
[ |
|
|
|
π, π]. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 − |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k3 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186