- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
|
π/4 |
|
π/4 |
|
π/4 |
|
= 2 |
Z |
ln 2 dt + 2 |
Z |
ln sin t dt + 2 |
Z |
ln cos t dt. |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
Так как cos t = sin |
π |
− t!, то |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
||||
π/4ln cos t dt = |
π/4ln sin |
π |
− |
t! dt = |
π/2ln sin u du. |
|||
2 |
||||||||
Z |
|
|
Z |
|
Z |
|||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
π/4 |
Тогда
|
π |
|
|
π/4 |
|
|
|
π/2 |
|
|
|
π |
|
J = 2 |
|
ln 2 + 2 |
|
Z |
ln sin t dt + |
Z |
ln sin u du |
|
= |
|
ln 2 + 2J. |
||
4 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
π/4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что J = − |
ln 2. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
Пример 3.11. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
+∞
Z dx
0(x2 + 1)2
ивычислить его, если он сходится.
Применим теорему 3.4 о замене переменной в несобственном интеграле. Подынтегральная функция, очевидно, непрерывна на промежутке [1, +∞). Положим ϕ(t) = tg t, t [0, π/2). Все условия теоремы 3.4, наложенные на функцию ϕ(t), как легко проверить, выполнены. Значит данный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом
π/2 |
dt/ cos2 t |
|
π/2 |
|
Z |
|
= |
Z |
cos2 t dt, |
(1 + tg2 t)2 |
||||
0 |
|
|
0 |
|
который является интегралом Римана на отрезке [0, π/2] от непрерывной функции cos2 t, и, следовательно, сходится. Тогда
+∞ |
|
dx |
|
= |
π/2cos2 t dt = |
1 |
t + |
|
1 |
sin 2t π/2 |
= |
π |
. |
||
Z |
(x |
2 |
2 |
2 |
|
|
4 |
||||||||
+ 1) |
|
|
Z |
|
2 |
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Пусть f : [a, b) → R, f(x) ≥ 0, x [a, b), и функция f локально интегрируема на [a, b). Рассмотрим функцию
Zt
F (t) = f(x) dx, t [a, b),
a
87
которая в силу свойств интеграла Римана (см. например, [9, с. 17–22]) неотрицательна и монотонно возрастает на [a, b). По теореме о существовании предела монотонной функции (см. [6, с. 147], [8, c. 57, теорема
2.43]) предел lim F (t) существует тогда и только тогда, когда функция
t→b t<b
F (t) ограничена сверху на [a, b). Поэтому из определений 3.2 и 3.3 получаем следующую теорему.
Теорема 3.5. Пусть f(x) ≥ 0 на [a, b) и функция f локально интегрируема на [a, b). f R[a,b) тогда и только тогда, когда
M > 0 : t [a, b) |
Zt f(x) dx ≤ M. |
|
a |
Из этого критерия сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций выведем полезные на практике теоремы сравнения.
Теорема 3.6 (первая теорема сравнения или признак сравнения в непредельной форме). Пусть f, g : [a, b) → R, 0 ≤ f(x) ≤ g(x) для всех x из [a, b), и функции f, g локально интегрируемы на [a, b). Тогда:
а) если Zb g(x) dx сходится, то |
Zb f(x) dx сходится; |
a |
a |
б) если Zb f(x) dx расходится, то |
Zb g(x) dx расходится. |
a |
a |
Zb
Докажем утверждение а). Пусть интеграл g(x) dx сходится. По тео-
a
Zt
реме 3.5 M > 0 : t [a, b) g(x) dx ≤ M. Тогда, в силу теоремы
a
об интегрировании неравенств (см. например, [6, c. 357], или [9, c. 21, теорема 1.18]),
Zt Zt
f(x) dx ≤ g(x) dx ≤ M, t [a, b).
a a
Zb
Следовательно, по теореме 3.5 интеграл f(x) dx сходится. Утверждение
a
б) легко следует из а) (докажите самостоятельно, пользуясь методом от противного).
Пример 3.12. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
+∞sin2 x |
|
|
Z |
|
dx, λ > 1. |
xλ |
||
1 |
|
|
88
Очевидно, что |
|
sin2 x |
1 |
|
x [1, +∞). Как показано в примере |
||
0 ≤ |
|
≤ |
|
, |
|||
xλ |
xλ |
||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
3.2, интеграл |
Z |
x−λ dx сходится при λ > 1. В силу теоремы 3.6, при |
1
λ > 1 сходится интеграл
+∞sin2 x |
|
|
Z |
|
dx. |
xλ |
||
1 |
|
|
Теорема 3.7 (вторая теорема сравнения или признак сравнения в предельной форме). Пусть функции f и g неотрицательны, g 6= 0,x [a, b), функции f, g локально интегрируемы на [a, b) и существу-
ет предел lim f(x) = K.
x→b g(x) x<b
Zb
1) Если K < +∞, то из сходимости интеграла g(x) dx следует
a
Zb
сходимость интеграла f(x) dx.
a
Zb
2) Если K > 0, то из расходимости интеграла g(x) dx следует
a
Zb
расходимость интеграла f(x) dx.
a
1). Пусть K [0, +∞). По определению предела функции в точке
f(x)
b0 (a, b) : g(x) < K + 1, x [b0, b).
Значит, f(x) < (K + 1) g(x), x [b0, b). Отсюда в силу свойств несоб-
Zb
ственного интеграла и теоремы 3.6 следует сходимость интеграл f(x) dx.
a
2). Пусть K (0, +∞]. Если K = +∞, то по определению бесконечно большой функции
f(x)
b0 (a, b) : g(x) > 1, x [b0, b).
Zb
Тогда f(x) > g(x) > 0, x [b0, b), и по теореме 3.6 интеграл f(x) dx
a
расходится.
f(x) K
Если K (0, +∞), то b0 (a, b) : g(x) > 2 , x [b0, b). Как и вы-
ше, учитывая расходимость интеграла от функци g, в силу теоремы 3.6 и свойств несобственного интеграла получаем расходимость интеграла от функции f.
89
Cледствие 1. Пусть f, g : [a, b) → R и функции f, g локально интегрируемы на [a, b). Если функция g (или f) положительна в некоторой
окрестности точки b и существует предел |
|
|
||
lim |
f(x) |
= γ, 0 < γ < + |
∞ |
, |
|
||||
x b g(x) |
|
|
||
→ |
|
|
|
|
x<b |
|
|
|
то интегралы Zb f(x) dx и Zb g(x) dx сходятся или расходятся одновре- |
||
менно. |
a |
a |
|
Пусть f, g : [a, b) → R, и функции f, g локаль- |
|
Cледствие 2. |
||
но интегрируемы на [a, b). Если функция g (или f) положительна |
в некоторой окрестности точки b и f(x) g(x) при x → b (то есть
x b g(x) |
|
, то интегралы |
b |
|
|
b |
сходятся или расхо- |
|||
|
Z |
|
|
Z |
||||||
lim |
f(x) |
|
= 1) |
|
f(x) dx, |
g(x) dx |
|
|||
|
|
|
||||||||
→ |
|
|
a |
|
|
a |
|
|||
x<b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дятся одновременно. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 3.13. Исследовать на сходимость несобственный интеграл |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
(x(ex |
|
e−x))1/3 . |
|
||
|
|
|
|
Z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
− |
|
|
|
|
Точка x = 0 — единственная особая точка подынтегральной функции. Так как (x(ex − e−x))1/3 > 0, x (0, 1] и lim ex − e−x = 2, то есть ex −
x→0 x
e−x 2x при x → 0, то по следствию 2 теоремы 3.7, данный интеграл является равносходящимся с интегралом
1 |
dx |
|
1 |
1 |
dx |
|
Z |
|
= |
|
Z |
|
. |
(2x2)1/3 |
21/3 |
x2/3 |
||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Последний интеграл сходится, поскольку 2/3 < 1 (см. пример 3.2).
3.4Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
Теорема 3.8. Пусть f : [a, b) → R и f |
локально интегрируема на |
||||
[a, b). Если |f| R[a,b), то f R[a, b) и |
|
|
|
||
b f(x) dx |
b |
f(x) |
|
dx. |
|
Z |
|
≤ Z |
| |
| |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прежде всего заметим, что если f локально интегрируема на [a, b), то такой же будет и функция |f|, что следует из свойств интеграла Римана (см., например, [6, с. 357], или [9, c. 18, теорема 1.14]). Так как интеграл
90
Zb
|f(x)| dx сходится, то по теореме 3.1 (критерию Коши)
a
|
ε > 0 |
|
b0 = b0(ε) |
|
[a, b) : |
t00 |
| |
f(x) |
| |
dx |
< ε, |
|
t0 |
, t00 |
|
[b0, b). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t00 |
|
|
|
|
|
|
|
t00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
≤ Z |
| |
|
| |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
||
Но для функции, интегрируемой по Риману, |
|
|
f(x) dx |
|
|
|
|
|
f(x) |
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t00 f(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
< ε, |
|
|
t0, t00 |
|
[b0, b). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
Вновь, применяя критерий Коши, убеждаемся, что интеграл |
|
Z |
f(x) dx |
a
сходится. Чтобы доказать нужное неравенство, достаточно перейти к пределу при t → b, t < b, в следующем неравенстве
|
t |
f(x) dx |
t |
|
f(x) dx, |
Z |
|
≤ Z |
| |
| |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливом в силу свойств интеграла Римана для всех t [a, b). В связи с доказанной теоремой дадим такое определение.
Определение 3.5. Пусть функция f локально интегрируема на [a, b). Если |f| R[a,b), то будем говорить, что функция f абсолютно интегрируема в несобственном смысле на [a, b), а несобственный ин-
b |
R[a,b) |
|
| |
|
| 6 R[ |
Z |
, |
|
|||
теграл f(x) dx абсолютно сходится. Если же f |
|
|
f |
a,b), |
|
a |
|
|
|
|
|
Zb
то будем говорить, что несобственный интеграл f(x) dx сходится
a
не абсолютно (условно).
Приведём два признака сходимости несобственных интегралов, подынтегральная функция которых не обязательно положительна, а сами интегралы, возможно, не сходятся абсолютно.
Теорема 3.9 (признак Дирихле). Пусть функции f и ϕ удовлетворяют следующим условиям:
1) функция f локально интегрируема на промежутке [a, b), а функ-
Zt
ция F (t) = f(x)dx ограничена на [a, b);
a
2) функция ϕ монотонна на [a, b);
91
3) lim ϕ(x) = 0.
x→b x<b
Zb
Тогда несобственный интеграл I = f(x)ϕ(x) dx сходится.
a
Не нарушая общности будем считать, что ϕ(x) ≥ 0, x (x0, b). Вос-
пользуемся критерием Коши 3.1 сходимости несобственного интеграла.
Zt2
Зафиксируем ε > 0 и рассмотрим f(x)ϕ(x) dx, где
t1
x0 ≤ t1 < t2 < b.
Поскольку функция f интегрируема на [t1, t2], то к последнему интегралу применима вторая интегральная теорема о среднем (теорема Бонне — [8, теорема 1.28, с. 33]), согласно которой
Zt2 |
Zη |
Zt2 |
η (t1, t2) : f(x)ϕ(x)dx = ϕ(t1)
t1 |
t1 |
f(x) dx + ϕ(t2) f(x) dx.
η
Поэтому
|
t2 f(x)ϕ(x) dx |
≤ | |
ϕ(t1) |
| |
|
η |
|
Z |
|
|
Z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
t1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) dx + |ϕ(t2)|
Zt2
η
f(x) dx .
|
|
|
Z |
|
≤ |
|
|
|
|
|
a |
t |
|
|
|
По условию |
|
M > 0 : |
|
|
|
M, t [a, b), поэтому |
|
|
|
f(x) dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zt2
Аналогично,
η
|
η f(x)dx |
= |
|
η |
|
Z |
|
|
Z |
||
|
|
|
|
a |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) dx ≤ 2M.
Zt1
f(x) dx −
a
f(x) dx ≤ 2M.
По условию теоремы lim ϕ(x) = 0, поэтому
x→b
ε
b0 = b0(ε) (x0, b) : |ϕ(x)| < 4M , x (b0, b).
Следовательно, для всех t1, t2 (b0, b), выполняется неравенство
|
t2 f(x)ϕ(x)dx |
< |
2Mε |
+ |
2Mε |
= ε. |
||||
|
4M |
|
4M |
|
||||||
Z |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По критерию Коши (теореме 3.1) несобственный интеграл I сходится. Пример 3.14. Исследовать на сходимость при α > 0 несобственный
|
+∞sin x |
|
|
интеграл |
Z |
|
dx. |
xα |
|||
|
1 |
|
|
92
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
− |
|
|
|
| |
|
≤ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
cos x |
|
1t |
|
2, |
|
|
t |
|
|
|
[1, + |
), а функция 1/xα |
||||||||||||||||
Так как |
|
sin x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
, то в |
силу признака Дирихле дан- |
|||||||||||||||||||||||
монотонно стремится |
к 0 при x |
|
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ный интеграл сходится. Заметим, что |
|
sin x |
|
|
|
|
|
1 |
, и при α > 1 интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
α |
|
|
|
α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
≤ x |
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
x− |
α |
dx сходится (см. пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3.2). Следовательно, при α > 1 данный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл сходится условно, для |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Докажем, что при 0 < α ≤ 1 этот |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
чего покажем, что в этом случае интеграл |
|
Z |
∞ |
| sin x| |
dx |
расходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xα |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Для всех x [1, +∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| sin x| |
|
≥ |
= |
|
1 |
− |
|
cos 2x |
. |
|
|
|
(3.5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xα |
|
2xα |
|
xα |
|
|
2xα |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Как |
было показано в примере |
|
3.1, при |
|
0 < α ≤ 1 |
несобственный инте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
грал |
|
Z∞x−α dx расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞cos 2x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим при 0 < α ≤ 1 несобственный интеграл |
Z |
|
dx. Его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2xα |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
подынтегральная функция имеет единственную особую точку x = +∞. При этом
t |
cos 2x dx |
= |
1 |
sin 2x |
|
t |
|
|
1, |
|
t |
|
[1, + |
|
|
). |
|
|
|
|
||
2 |
1 |
≤ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
. По |
|
Кроме того, функция |
2x− |
|
монотонно |
стремится к 0 при x |
→ |
∞ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞cos 2x |
|
|
|
|
|||||
признаку Дирихле несобственный интеграл |
Z |
|
|
dx сходится. Но |
||||||||||||||||||
2xα |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда из равенства (3.5) и из свойства 2) несобственных интегралов (см.
|
|
+∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
страницу 79) следует, что интеграл |
Z |
sin2 x |
|
|
расходится. Тогда, из |
||||||||
xα |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
теоремы 3.6 следует, что несобственный интеграл |
Z |
| |
xα |
| |
dx расхо- |
||||||||
дится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
||
Окончательно, несобственный интеграл |
Z |
|
sin |
|
сходится абсо- |
||||||||
|
xα |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
лютно при α > 1, сходится условно при 0 < α ≤ 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||
Заметим, что попутно мы установили расходимость интеграла |
|||||||||||||
+∞sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
при α (0, 1], а ранее (см. пример 3.12) было показано, что этот интеграл сходится (очевидно, абсолютно) при α > 1.
Замечание. Остался без ответа вопрос о характере сходимости ин-
|
+∞sin x |
|
+∞sin2 x |
|
||
тегралов |
Z |
|
dx, |
Z |
|
dx при α ≤ 0. Предлагаем студентам са- |
xα |
xα |
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
мостоятельно доказать, что в этом случае указанные интегралы расходятся.
Теорема 3.10 (признак Абеля). Пусть f R[a,b), а g(x) — монотонная и ограниченная функция на [a, b). Тогда сходится несобствен-
Zb
ный интеграл I = f(x)g(x) dx.
a
Так как функция g(x) монотонна и ограниченна на промежутке [a, b),
то |
|
|
lim |
g(x) = l. Тогда функция g(x) = g(x) |
− |
l удовлетворяет усло- |
||||||||||||||||||||||
|
|
t→b,t<b |
3), |
а |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
виям |
2) и |
f |
|
|
удовлетворяет условию 1) признака Ди- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||
рихле, поскольку интеграл |
Zb f(x) dx сходится. Значит, сходится инте- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Zb f(x)g(x) dx. В |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
грал |
силу |
|
|
условий теоремы несобственный |
интеграл |
|||||||||||||||||||||||
b |
|
|
a |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
lf(x) dx , сходится. Поэтому интеграл I сходится как сумма двух схо- |
|||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дящихся несобственных интегралов. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 3.15. Исследовать на сходимость несобственный интеграл |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞sin x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
arctg x dx. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как интеграл |
Z |
|
|
|
|
|
|
dx |
сходится (см. пример 3.14), а на луче |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
> 0! |
|
[0, + |
|
) функция arctg x монотонно возрастает |
(arctg x)0 = |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
||||
и ограничена |
0 |
≤ |
arctg x |
≤ |
|
π |
!, то данный несобственный интеграл схо- |
|||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится по признаку Абеля. Замечание. В формулировках признаков Дирихле и Абеля ограни-
чений на знаки подынтегральных функций нет. На деле, эти признаки нецелесообразно использовать для интегралов от знакопостоянных
функций. Например, пусть функции f(x) и ϕ(x) неотрицательны на
Zt
(a, b). В этом случае ограниченность функции F (t) = f(x) dx и схо-
a
94