- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
сказать нельзя. Но по формуле Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
an |
= |
1 |
− |
|
1 |
−p |
= 1 + |
|
p |
|
+ |
p (p + 1) |
|
|
1 |
|
+ o |
|
1 |
, при n |
+ , |
||||
|
|
|
|
2n |
|
(2n) |
2 |
2 |
||||||||||||||||||
an+1 |
|
|
2n |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
n |
|
→ ∞ |
||||||||||||
то есть |
an |
|
|
|
p/2 |
|
θn |
, где θn = |
p (p + 1) |
+ o(1), при n → +∞. |
||||||||||||||||
|
|
= |
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||
an+1 |
n |
n2 |
4 · 2! |
|
Поэтому последовательность {θn} ограничена. В силу признака Гаусса исследуемый ряд сходится при p > 2 и расходится при 0 < p ≤ 2.
1.4Сходимость знакопеременных рядов
Определение 1.7. Числовой ряд называется знакопеременным, если у него бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.
Начнем их изучение с преобразования Абеля. Пусть дан ряд
∞ |
|
kX |
(1.11) |
ak bk, ak, bk R, n N. |
|
=1 |
|
Обозначим через Sn n-ые частичные суммы ряда (1.11), а через Bn —
∞
X
n-ые частичные суммы ряда bn. Если положить B0 = 0, то bn =
Bn − Bn−1 |
|
|
n=1 |
, n N. Тогда |
|||
n |
|
n |
n−1 |
kX |
|
X |
X |
Sn = |
|
akbk = |
ak(Bk − Bk−1) = (ak − ak+1)Bk + anBn, n N. |
=1 |
k=1 |
k=1 |
Это преобразование n-ой частичной суммы ряда (1.11) называют преобразованием Абеля.
Лемма 1.1 (Абеля). Если числовая последовательность {an} монотонна, а последовательность {Bn} ограничена, то есть B > 0 :
|Bn| ≤ B, n N, то
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|Sn| = | |
kX |
|
|
|
|
|
|
||
|
akbk| ≤ B(|a1| + 2|an|), n N. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
В силу преобразования Абеля |
|
n−1 |
|
|
|
|
||||
Sn |
n−1 Bk(ak |
|
ak+1) + an Bn |
B |
ak |
ak+1 + an |
, n N. |
|||
| | ≤ | |
X |
− |
|
| | || | ≤ |
|
kX |
| − |
| | | |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
Поскольку разности ak − ak+1 для всех k ≥ 1 имеют один и тот же знак или равны нулю, то
n−1 |
n−1 |
|
X |
kX |
− an| ≤ |a1| + |an|, n N. |
|ak − ak+1| = | |
(ak − ak+1)| = |a1 |
|
k=1 |
=1 |
|
Поэтому |Sn| ≤ B(|a1| + 2|an|), n N.
14
Теорема 1.16 (признак Дирихле). Если в ряде (1.11) последовательность {an} монотонно стремится к нулю, а последовательность
∞
X
{Bn} частичных сумм ряда bn ограничена, то ряд (1.11) сходится.
n=1
Доказательство проведём с помощью критерия Коши сходимости числового ряда. Зафиксируем ε > 0. Оценим сверху сумму
p
| X ak+nbk+n|, n N, p N,
k=1
применяя к ней лемму 1.1. Прежде всего заметим, что
p bk+n |
= |
|
Bn+p |
|
Bn |
|
Bn+p |
|
+ |
|
|
Bn |
|
2B, |
|
n |
|
N, |
|
p |
|
N. |
||||
|
|
|
| |
|
− |
|
| ≤ | |
|
|
| |
|
| |
|
|
| ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
1.1 получаем неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Из леммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
kX |
ak+nbk+n| ≤ 2B(|an+1| + 2|an+p|), p N, n N. |
|
|||||||||||||||||||||||
=1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
является бесконечно малой, то суще- |
||||||||||||||||||
Так как последовательность {an} |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ствует такое n0 = n0(ε) N, что |an| |
< |
|
|
, n > n0. Поэтому |
|
|
||||||||||||||||||||
6B |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
bn+kan+k| < ε, |
|
p N, n > n0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее означает сходимость ряда (1.11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Теорема 1.17 (признак Абеля). Если в ряде (1.11) последователь- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
bn сходится, то ряд |
||||||||
ность {an} монотонна и ограничена, а ряд |
||||||||||||||||||||||||||
(1.11) сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию последовательность {an} монотонна и ограничена, поэто-
|
∞ |
му является сходящейся. Положим, что a = lim an. Ряд |
nX |
bn сходится, |
|
|
=1 |
поэтому последовательность его частичных сумм {Bn} ограничена. Поскольку
anbn = (an − a)bn + abn, n N,
|
∞ |
∞ |
и ряд |
nX |
X |
(an − a)bn сходится по теореме 1.16, а ряд |
abn сходится по |
|
|
=1 |
n=1 |
следствию теоремы 1.3, то ряд (1.11), являясь суммой этих двух рядов, сходится согласно теореме 1.4.
Замечание. Признаки Дирихле и Абеля нецелесообразно применять к положительным рядам, поскольку для них они являются частными
случаями теорем сравнения. |
|
|
|
Пример 1.8. Исследовать на сходимость ряд |
|
||
∞ |
sin αn |
|
|
nX |
|
, где α R. |
(1.12) |
=1 |
n |
||
|
|
|
15
Прежде всего заметим, что при α = kπ, k Z, sin αn = 0, n N, поэтому ряд (1.12) сходится. Если же α 6= kπ, k Z, то для всех n N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 sin |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Bn = |
|
|
|
sin kα = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
sin kα = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
n |
cos |
|
k |
|
|
1 |
! α |
|
cos |
k + |
1 |
! α! = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
2 |
|
|
kX |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
α |
|
− |
=1 |
|
|
1 |
! |
α! |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1) α |
|
n α |
|
||||||||||||
= |
|
|
|
cos |
|
cos |
n + |
|
= |
|
|
|
|
|
2 sin |
sin |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
α |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 sin |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда следует, что |Bn| ≤ |
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
n N. Поскольку последователь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| sin(α/2)| |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность ( |
1 |
) является монотонной бесконечно малой последовательностью, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то при α 6= kπ, k Z, ряд (1.12) сходится по признаку Дирихле. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, ряд (1.12) сходится для всех α R. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5 Ряд лейбницевского типа и его свойства |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение 1.8. Числовой ряд |
nX |
an |
называется знакочередую- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щимся, если любые его два соседних члена имеют противоположные знаки, то есть sgn(an · an+1) = −1, n N.
Заметим, что знакочередующийся ряд всегда можно записать в виде
∞ |
∞ |
|
|
nX |
X |
|
|
(−1)n−1an или |
(−1)nan, где an > 0, n N. |
|
|
=1 |
n=1 |
|
|
Далее будем всегда использовать первое представление такого ряда |
|||
∞ |
|
|
|
nX |
(−1)n−1an, an > 0. |
(1.13) |
|
=1 |
|||
|
|
Теорема 1.18 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд, у которого {an} — монотонная и бесконечно малая при n → +∞ последовательность, сходится, его сумма неотрицательна и не превосходит a1.
Поскольку an > 0, n N, то последовательность {an} является невоз-
∞
растающей бесконечно малой. Частичные суммы Bn ряда X (−1)n−1
n=1
образуют ограниченную последовательность. Следовательно, ряд (1.13) сходится по признаку Дирихле.
16
Оценим сумму ряда (1.13), для чего рассмотрим подпоследовательности {S2n} и {S2n+1}, его частичных сумм. Так как для всех n N
S2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · + (a2n−1 − a2n),
и a2k−1 − a2k ≥ 0, k N, то S2n ≥ 0, n N, и потому S = lim S2n ≥ 0. ≥ 0 для всех k N и для всех n N
S2n+1 = a1 − (a2 − a3) − · · · − (a2n − a2n+1),
то S2n+1 ≤ a1 для всех n N, и потому S = lim S2n+1 ≤ a1.
Определение 1.9. Знакочередующийся ряд, модули членов которого образуют монотонную бесконечно малую последовательность, называется рядом лейбницевского типа.
С учётом определения 1.9 теорема 1.18 принимает вид.
Теорема 1.19. Ряд лейбницевского типа сходится.
Из доказанной теоремы вытекает следующий результат.
Cледствие. Число σ(k) = (−1)n−1an — сумма k-го остатка
ряда лейбницевского типа (1.13), по модулю не превосходит модуля его первого члена, то есть |σ(k)| ≤ ak+1, k N.
Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд |
|
. |
|
||
n=1 |
n |
Исследуемый ряд является, очевидно, рядом лейбницевского типа, по-
1
этому он сходится и |σ(n)| ≤ an+1 = n + 1, n N, то есть замена суммы S ряда величиной его n-ой частичной суммы допускает абсолютную погрешность, которая не превосходит n +1 1, n N.
1.6Абсолютная и условная сходимость ряда
∞ |
|
∞ |
X |
|an| сходится, то ряд |
nX |
Лемма 1.2. Если ряд |
an сходится. |
|
n=1 |
|
=1 |
Доказательство утверждения следует из критерия Коши сходимости числового ряда, поскольку для всех n N и p N
|
n+p |
ak |
|
|
n+p |
ak . |
|
|
|
|
|
X |
|
|
≤ |
| |
| |
|
|
|
|
k |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
=n+1 |
|
|
|
k=n+1 |
|
nX |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Обратное утверждение неверно: ряд |
∞ |
(−1) |
|
сходится, |
||||||
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ряд из модулей его членов (гармонический ряд) расходится.
17