- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
|
1 |
|
1 |
|
nX |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
или, учитывая, что α / Z, |
|
= |
|
|
+ |
∞ ( |
− |
1)n |
|
|
|
|
|
. По- |
|
sin απ |
|
απ |
|
=1 |
|
π(α |
|
n |
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скольку это представление верно для любых α 6= k, k Z, полагая απ = x, x / {kπ : k Z}, окончательно получим:
1 |
= |
1 |
+ ∞ |
( 1)n |
|
|
2x |
|
! . |
|
|
|
|
2 |
− |
|
2 2 |
||||
sin x |
|
x |
nX |
− |
x |
|
n π |
|||
|
=1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в равенстве (5.19) положить x = π, то для всех α / Z
cos απ = sin απ |
|
1 |
|
|
+ |
|
∞ ( |
|
1)n |
|
2α |
|
|
|
|
|
cos nπ |
= |
|||||||||
|
απ |
− |
|
π(α2 |
|
n2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= sin απ |
1 |
|
+ |
|
∞ |
|
|
2α |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π(α2 n2) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
απ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
∞ |
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z}. |
|
||||||
то есть ctg t = t + |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
t / {nπ : n |
|
||||||||||||||||
=1 |
|
− |
n2π2) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.8 Ядра и многочлены Фейера
Пусть f Rf1[−π,π] и f(−π) = f(π). Последнее условие, как уже отмечалось ранее, обеспечивает продолжение функции f на множество R
по закону 2π—периодичности. При указанных ограничениях частичные суммы классического ряда Фурье функции f имеют интегральное представление через ядра Дирихле Dn(t):
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Snf (x) = |
|
Z |
|
f(x + t)Dn(t)dt, x R, n N0, |
|
|
|||||||||||||
|
π |
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
1 |
! t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x [ |
π, π] 0 , |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
|
− |
\ { } |
|
|
N |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dn(t) = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
, n |
|
|
0. |
(5.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n + , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем в |
рассмотрение тригонометрические многочлены |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
σf |
(x) = |
S0f (x) + S1f (x) + · · · + Snf (x) |
, n |
N0 |
, |
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
которые называются n-ыми частичными суммами Фейера для классического ряда Фурье функции f. При этом, как легко видеть,
σnf (x) = π1 Zπ f(x + t)Φn(t)dt, x R, n N0,
−π
169
где |
|
D0(t) + D1(t) + · · · + Dn(t) |
|
|
|
|
|
|
Φ |
(t) = |
, t |
R |
, n |
N0 |
. |
||
n + 1 |
||||||||
n |
|
|
|
|
Функции Φn(t) называют ядрами Фейера.
Лемма 5.14. Ядра Фейера обладают следующими свойствами: 1) Φn(t), n N0, — четные, 2π—периодические, непрерывно диф-
ференцируемые на R функции;
2) Φn(t) ≥ 0, t R, n N0;
|
1 |
π |
|
|
3) |
|
|
Z |
Φn(t)dt = 1, n N0; |
π |
||||
|
|
|
−π |
δ≤|t|≤π |
4) |
Φn(t) 0 при n → ∞, δ (0, π). |
Свойства 1) и 3) являются следствием леммы 5.10. Из представления (5.20) следует, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
sin k + |
1 |
! t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
t |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(n + 1)Φn(t) = |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin k + |
|
! t sin |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
=0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
2 sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin |
|
|
2 |
|
kX |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 − cos(n + 1)t = |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
≥ 0, t 6= 2kπ, k Z, n N0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 sin |
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
! + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 1 + |
1 |
· · · |
+ n + |
1 |
n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Φn(0) = |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
, n N0, |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
то есть имеет место свойство 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[−π, −δ] [δ, π], при |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Докажем свойство 4). Так как для всех t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
n + 1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
любом δ (0, π), Φn(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n + 1 |
|
|
|
2 sin2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n → ∞. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 ≤ sup |
Φn(t) ≤ |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
2 sin2 |
δ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
δ≤|t|≤π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу критерия равномерной сходимости функциональной последова-
|
δ≤|t|≤π |
тельности (теоремы 2.4) Φn(t) 0 при n → ∞. |
|
Теорема 5.11 (Фейера). Если f C([−π, π]) и f(−π) = f(π), то |
|
f |
[−π,π] |
σn(x) |
f(x) при n → ∞, |
170
то есть последовательность сумм Фейера для классического ряда Фурье функции f равномерно сходится к функции f на отрезке [−π, π]
.
Фиксируем ε > 0. При указанных ограничениях на функцию f можно считать 2π—периодической и непрерывной на множестве R. Оценим на [−π, π] величину
γn(x) = |f(x) − σnf (x)|.
Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядер Фейера, получим, что
|
1 |
|
|
π |
(f(x) − f(x + t))Φn(t)dt |
|
1 |
|
π |
|
|
γn(x) = |
|
|
Z |
≤ |
|
Z |
|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt, |
||||
π |
π |
||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [−π, π], n N0.
Заметим, что если t [−π, π], то x + t [−2π, 2π], но f непрерывна, а, значит, и равномерно непрерывна на отрезке [−2π, 2π]. Поэтому по числу ε > 0 найдется число δ = δ(ε) (0, π) такое, что
|f(x0) − f(x00)| < 3ε, x0, x00 [−2π, 2π] : |x0 − x00| < δ.
В последнем интеграле разобьем отрезок интегрирования [−π, π] на три отрезка [−π, −δ/2], [−δ/2, δ/2], [δ/2, π] и оценим сверху каждое слагаемое. В силу выбора δ и того, что |x − (x − t)| = |t| ≤ δ/2 < δ, используя свойства определенного интеграла, получим
1 |
δ/2 |
|
|
ε |
1 |
δ/2 |
|
ε |
|
1 |
π |
|
ε |
||||
|
Z |
|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt ≤ |
|
|
|
· |
|
Z |
Φn(t)dt ≤ |
|
|
· |
|
Z |
Φn(t)dt = |
|
. |
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
||||||||||||
|
−δ/2 |
|
|
|
|
|
|
−δ/2 |
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
Поскольку функция f непрерывна на R и 2π—периодична, то f ограничена на R, то есть M > 0 : |f(x)| ≤ M, x R. Поэтому
1 Zπ
π δ/2
|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt ≤
|
1 |
π |
|
2M |
π |
|
|
≤ |
|
|
Z |
(|f(x)| + |f(x + t)|)Φn(t)dt ≤ |
|
Z |
Φn(t)dt. |
π |
π |
||||||
|
|
|
δ/2 |
|
|
δ/2 |
|
В силу свойства 4) ядер Фейера
ε
n1 = n1(ε) N : |Φn(t)| < 6M , n > n1, t [δ/2, π].
Поэтому для всех n > n1 и всех x [−π, π]
1 |
π |
|
f(x) |
|
f(x + t) |
Φn(t)dt |
|
2M |
|
ε |
|
π |
|
δ |
! |
ε |
. |
π |
Z |
| |
− |
≤ |
π |
· |
6M |
· |
− |
2 |
|
||||||
|
| |
|
|
≤ |
3 |
||||||||||||
|
δ/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171
ε
Аналогично, n2 = n2(ε) N : |Φn(t)| < 6M , n > n2, t [−π, −δ], а, значит, для всех n > n2 и всех x [−π, π]
1 |
−δ/2 |
|
ε |
|
|
Z |
|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt < |
|
. |
π |
3 |
|||
|
−π |
|
|
|
Итак, ε > 0 n0 = max{n1, n2} : n > n0, x [−π, π] |f(x) − σnf (x)| < 3ε + 3ε + 3ε = ε,
[−π,π]
то есть σnf (x) f(x) при n → ∞.
Cледствие 1. Пусть f C([−π, π]) и является 2π—периодической функцией. Если классический ряд Фурье функции f сходится в точке x0 R, то его сумма равна f(x0).
Пусть классический ряд Фурье функции f сходится в точке x0 [−π, π], то есть сходится числовая последовательность {Snf (x0)}, где Snf
— n-ая частичная сумма ряда Фурье. Пусть lim Snf (x0) = A R. Воспользуемся теоремой Коши о пределе средних арифметических:
если числовая последовательность {an} сходится и lim an |
= a, то |
|||||||||
тот же предел имеет и последовательность |
a |
1 + |
a |
2 |
+ |
|
+ a |
n |
. |
|
|
|
· · · |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
Тогда lim σf (x0) = A. Но по теореме Фейера lim σf |
(x0) |
= |
f(x0). |
|||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Следовательно, f(x0) = A.
В силу 2π—периодичности функции f утверждение имеет место в любой точке x0 + 2π`, ` Z.
Cледствие 2. Если f C([−π, π]), f(−π) = f(π), и классический ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x [−π, π], то его сумма равна f(x), то есть
f(x) = |
a0 |
+ |
∞ (ak cos kx + bk sin kx). |
|
|||
2 |
|
=1 |
|
|
|
|
kX |
5.9 Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
Прежде всего напомним, что тригонометрическими многочленами n-го порядка называются функции вида
|
a0 |
n |
|
|
|
kX |
+ bn2 |
> 0, |
|
Tn(x) = + (ak cos kx + bk sin kx), где an2 |
||||
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
172
а алгебраическими многочленами n-ой степени — функции вида
n
X
Pn(x) = akxk, an 6= 0.
k=0
Теорема 5.12 (2-ая аппроксимационная теорема Вейерштрасса).
Если f C([−π, π]) и f(−π) = f(π), то для любого числа ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T (x), что
max |f(x) − T (x)| < ε,
то есть функцию f можно равномерно приблизить с любой степенью точности на отрезке [−π, π] тригонометрическим многочленом.
[−π,π]
Утверждение следует из теоремы Фейера. Так как σnf (x) f(x) при n → ∞, то
ε > 0 N = N(ε) N : |f(x) − σnf (x)| < 2ε, n > N, x [−π, π].
Если положить T (x) = σnf0 (x), где n0 > N, то T (x) — тригонометрический многочлен, для которого выполняется утверждение теоремы.
Cледствие 1. Любую непрерывную на R, 2π—периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого ε > 0 существует
такой тригонометрический многочлен T (x), что max |f(x)−T (x)| < ε.
x R
Cледствие 2. Если f C([−π, π]), f(π) = f(−π), то существует последовательность тригонометрических многочленов {Tn(x)}∞n=1, равномерно сходящаяся к f(x) на отрезке [−π, π].
Теорема 5.13 (1-ая аппроксимационная теорема Вейерштрасса).
Если f C([a, b]), то для любого ε > 0 найдется такой алгебраический многочлен P (x), что max |f(x) − P (x)| < ε, то есть функцию f
можно равномерно приблизить с любой степенью точности на отрезке [a, b] алгебраическим многочленом.
Доказательство теоремы проведем в три этапа.
1). Пусть сначала [a, b] = [−π, π] и f(−π) = f(π). В силу теоремы 5.12 по любому ε > 0 найдется тригонометрический многочлен
|
a0 |
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
(ak cos kx + bk sin kx), an2 |
|
+ bn2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
T (x) = |
+ |
0 |
0 |
> 0, |
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для которого выполняется неравенство max |
| |
f |
x |
) − |
T |
( |
x |
)| |
< ε/ |
. Но, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x [ |
− |
π,π] |
( |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
как известно, для всех x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2k |
|
|
|
|
(−1)kx2k+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
cos x = |
∞ |
( 1)k |
, sin x = |
∞ |
|
. |
|
|
||||||||||||||
X |
|
|
kX |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
− |
|
(2k)! |
|
|
|
(2k + 1)! |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k=0 |
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
173
Так как эти степенные ряды равномерно сходятся на любом отрезке, то они сходятся и на отрезке [−n0π, n0π]. Пусть N = N(ε) такое натураль-
ное число, что для всех n > N и всех x [−n0π, n0π] |
|
|
2T0 |
|||||||||||||
|
|
− =0 |
|
−(2k)! |
|
|
2T0 |
|
|
− k=0 |
(2k + 1)! |
|
||||
|
cos x |
n |
( |
1)kx2k |
|
< |
ε |
, |
|
sin x |
n |
(−1)kx2k+1 |
|
< |
ε |
, |
|
kX |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
где T0 = X0 (|ak|+|bk|). Зафиксируем некоторое натуральное число p0 > N
k=1
и положим
p0 |
k x2k |
p0 |
k x2k+1 |
||||
X |
|
|
и Bp0 (x) = |
kX |
|
|
|
Ap0 (x) = |
(−1) |
(2k)! |
(−1) |
|
(2k + 1)! |
. |
|
k=0 |
|
|
|
=0 |
|
|
|
Так как kx [−n0π, n0π] для всех x [−π, π] и всех k = 1, 2, . . . , n0, то
|
|
| cos kx − Ap0 (kx)| < |
|
|
ε |
|
, |
|
|
|
|
|
| sin kx − Bp0 (kx)| < |
|
|
ε |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2T0 |
|
|
|
|
2T0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
)− |
a0 |
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ≤ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)− |
|
|
|
|
)|+ |
|||||||||||||
max |
f |
|
x |
+ |
|
|
|
|
a |
A |
|
|
|
kx |
)+ |
|
b |
B |
p0 ( |
kx |
max |
|
|
|
f |
x |
T |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x [ π,π] |
( |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
p0 ( |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
π,π] | |
|
( |
|
|
|
|
( |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
a |
k|| |
cos kx |
− |
A |
p0 |
(kx) |
+ b |
k |
|| sin |
kx |
− |
B |
p0 |
(kx) |
< |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ x [ |
− |
π,π] k=1 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
ε |
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
ε |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(|ak| + |bk|) = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= ε, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2T |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
n0 |
|
akAp0 (kx) + bkBp0 (kx) яв- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
и алгебраический многочлен P (x) = |
0 |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ляется искомым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2). Пусть теперь f(x) C([−π, π]) и f(−π) 6= f(π). Рассмотрим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию g(x) = f(x) |
|
− |
f(π) − f(−π) |
|
|
x. Очевидно, что g(x) |
|
C([ |
|
|
π, π]), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||
g(π) = g(−π). В силу предыдущего |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε > |
0 |
P |
1( |
x |
) : x |
max |
|
|
|
g(x) |
− |
P |
(x) |
| |
< ε, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
π,π] | |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε > 0 |
|
P |
(x) : |
max |
|
|
| |
f(x) |
− |
f(π) − f(−π) |
x |
− |
P |
|
(x) |
| |
|
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
[ |
|
π,π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть P (x) = |
|
|
f(π) − f(−π) |
|
|
x + P1(x). Тогда P (x) |
— алгебраический |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
многочлен и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
max |
|
f(x) |
P (x) |
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ |
|
π,π] | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3). Наконец, пусть f(x) C([a, b]), [a, b] 6= [−π, π], и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(t) = |
b − a |
|
t + |
b + a |
, t |
|
|
[ |
− |
π, π]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
174