- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
4.6Функциональные свойства НИЗП
Теорема 4.20 (о предельном переходе). Пусть b — единственная особая точка функции f(x, y) на [a, b) при любом y Y . Пусть
определен несобственный интеграл I(y) = |
Zb f(x, y) dx, y Y, y0 — |
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
предельная точка множества Y и выполняются следующие условия: |
||||||
1) несобственный интеграл I(y) равномерно сходится на Y ; |
||||||
[a,t] |
g(x), |
|
t |
|
(a, b). |
|
2) f(x, y) −−y →y0 |
|
|
|
|||
−−→→ |
|
|
|
|
Zb
Тогда несобственный интеграл g(x) dx сходится и существует ко-
a
нечный предел
y y0 |
b |
то есть y y0 |
b |
b |
y y0 |
Z |
Z |
Z |
|||
lim I(y) = |
g(x) dx, |
lim |
f(x, y) dx = |
|
lim f(x, y) dx. |
→ |
a |
→ |
a |
a |
→ |
Для доказательства теоремы положим
Zt
ϕ(y, t) = f(x, y) dx, t [a, b).
a
В силу определения 4.2 равномерной сходимости несобственного интеграла,
ϕ(y, t) −→t−→b |
b |
f(x, y) dx, (t < b). |
Z |
||
Y |
|
|
→ |
a |
|
Далее, согдасно теореме 4.9 о предельном переходе в СИЗП, существует конечный предел
y y0 |
y y0 |
t |
t |
|
|
|
|
Z |
Z |
t |
[a, b). |
||||
lim ϕ(y, t) = lim |
|
f(x, y) dx = g(x) dx, |
|
|
|||
→ |
→ |
a |
a |
|
|
|
|
Поэтому для функции ϕ(y, t) выполнены условия теоремы 4.4 о перестановке предельных переходов, а значит,
lim lim ϕ(y, t) = lim lim ϕ(y, t), |
||||
y→y0 t→b |
t→b y→y0 |
|||
то есть |
b |
|
t |
|
y→y0 |
t b |
|||
Z |
Z |
|||
lim |
f(x, y) dx = lim |
g(x) dx, |
||
|
a |
→ a |
Zb
откуда следует сходимость несобственного интеграла g(x) dx. Посколь-
|
|
|
|
|
a |
|
t |
b |
|
b |
b |
|
|
t b Z |
Z |
g(x) dx, то |
y→y0 Z |
Z |
g(x) dx. |
|
ку lim |
g(x) dx = |
lim |
f(x, y) dx = |
|
||
t<b→ a |
a |
|
a |
a |
|
|
122
Теорема 4.21 (о непрерывности). Пусть функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, b) × [c, d] и несобственный интеграл
Zb
I(y) = f(x, y) dx
a
сходится равномерно на отрезке [c, d]. Тогда функция I(y) C([c, d]).
Пусть y0 |
— точка отрезка [c, d]. Докажем непрерывность функции |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
для каждого |
t |
|
|
|
|
|
||||
I(y) |
в этой точке. По условию теоремы[a,t] |
|
|
|
(a, b) f C(Πt), |
||||||||||||
f(x, y0), |
|
|
t |
||||||||||||||
где Πt = [a, t] |
× |
[c, d], а потому f(x, y) −−y →y0 |
|
|
(a, b). Согласно |
||||||||||||
теореме 4.20, |
|
|
−−→→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
y0 |
y y0 |
b |
b |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Z |
Z |
|
|
|
|
|
), |
|
|
|||||
|
|
lim I(y) = lim |
|
f(x, y) dx = |
f(x, y |
) dx = I(y |
|
|
|||||||||
|
|
|
→ |
→ |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что означает непрерывность функции I(y) в точке y0. Поскольку y0 — произвольная точка отрезка [c, d], то f C([c, d]).
Теорема 4.22 (об интегрируемости по Риману). Пусть функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, b) × [c, d], и несобственный инте-
Zb
грал I(y) = f(x, y) dx сходится равномерно на отрезке [c, d], тогда
a I(y) R[c,d] и
Zd I(y) dy = |
Zd |
Zb f(x, y) dx dy = Zb |
Zd f(x, y) dy dx. |
|||||||
c |
c |
a |
|
|
|
|
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию теоремы f |
C(Π |
t), |
где Πt |
= |
[a, t] × [c, d], t (a, b). |
Поэтому, согласно теореме 4.12 об интегрировании СИЗП,
d t |
f(x, y) dx dy = |
|
Z |
Z |
|
|
|
|
ca
Zt Zd
ac
|
|
t |
|
(a, b). |
(4.8) |
f(x, y) dy dx, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим левую часть этого равенства. Из условия теоремы, опреде-
Zt
ления 4.2 и теоремы 4.10, если ϕ(y, t) = f(x, y) dx,, следует, что
a |
|
|
c,d] |
b |
|
ϕ(y, t) C([c, d]), t [a, b], ϕ(y, t) −→t−→[ b |
Z |
f(x, y) dx (t < b). |
→ |
a |
|
Поэтому, в силу теоремы 4.9 о пределе СИЗП, существует предел левой части равенства (4.8) при t → b (t (a, b)) и
lim |
d |
ϕ(y, t) dy = |
d lim ϕ(y, t) dy = |
d |
b f(x, y) dx dy. |
||
t b |
Z |
|
Z |
t b |
Z |
Z |
|
t<b→ c |
|
c |
t<b→ |
c |
a |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
123
Zt
Правая часть равенства (4.8) представляет собой интеграл ψ(x) dx, где
a
Zd
ψ(x) = f(x, y) dy. По теореме 4.10 о непрерывности СИЗП, ψ(x)
c
C([a, t]), t (a, b), поэтому функция ψ(x) локально интегрируема на [a, b), а, поскольку существует конечный предел левой части равенства
Zb
(4.8), то несобственный интеграл ψ(x) dx сходится, и
Zd Zb
ca
a |
b d f(x, y) dy dx. |
|
||
f(x, y) dx dy = |
|
|||
|
Z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
c |
|
|
Теорема 4.23 (о несобственном интегрировании). Пусть функция f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, b) × [c, d), функ-
Zb
ция I1(y) = f(x, y) dx непрерывна на множестве [c, d), а функция
|
a |
I2(x) = |
Zd f(x, y) dy непрерывна на множестве [a, b). Если один из |
|
c |
Zd Zb
несобственных интегралов I1(y) dy, I2(x) dx сходится, то сходит-
ca
ся другой, и они равны, то есть
d b f(x, y) dx dy = |
||
Z |
Z |
|
|
|
|
ca
Zb Zd
ac
f(x, y) dy dx.
Эту теорему мы оставим без доказательства, отсылая за ним к учебникам по математическому анализу (см., например, [7, т.2, с.264–266]).
Теорема 4.24 (о дифференцируемости). Пусть f(x, y) — непрерывная на Π = [a, b) × [c, d] функция, которая имеет частную про-
изводную ∂f∂y , непрерывную на Π. Пусть несобственный интеграл
Zb
I(y) = f(x, y) dx поточечно сходится на отрезке [c, d], а несоб-
a |
|
|
b |
∂f |
|
ственный интеграл Z |
|
(x, y) dx равномерно сходится на [c, d]. Тогда |
∂y |
||
a |
|
|
несобственный интеграл I(y) сходится равномерно на отрезке [c, d], и функция I(y) непрерывно дифференцируема на [c, d], причем
b |
∂f |
|
|
|
I0(y) = Z |
|
(x, y) dx, |
y [c, d]. |
(4.9) |
∂y |
||||
a |
|
|
|
|
124
Zt
Рассмотрим функцию ϕ(y, t) = f(x, y) dx, которая поточечно сходит-
a
ся при t → b (t (a, b)) на [c, d] к функции I(y). Так как ∂f∂y C(Π), то ∂f∂y C(Πt), где Πt = [a, t] × [c, d], t [a, b). Следовательно, из теоремы
4.11 о непрерывной дифференцируемости СИЗП, получим, что функция ϕ(y, t) имеет частную производную по переменной y на Πt и
|
∂y (y, t) = Z |
∂y (x, y) dx, t [a, b). |
|
|||||||||||
|
∂ϕ |
t |
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
∂f |
|
||
По условию теоремы несобственный интеграл |
Z |
|
|
(x, y) dx |
равномер- |
|||||||||
|
∂y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕ |
[c,d] |
b |
∂f |
|
|
|
|
||
но сходится на [c, d], |
поэтому |
|
(y, t) −→t−→b |
Z |
|
(x, y) dx, (t |
< b). Из |
|||||||
∂y |
∂y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
a |
|
|
|
|
|
|
теоремы 4.8 о дифференцируемости предельной функции следует, что
c,d] |
b |
|
ϕ(y, t) −→t−→[ b |
Z |
f(x, y) dx, то есть несобственный интеграл I(y) равномерно |
→ |
a |
|
сходится на [c, d], функция I(y) дифференцируема на [c, d] и имеет место формула (4.9). Из теоремы 4.21 следует, что I0(y) C([c, d]).
Cледствие. Пусть Y — некоторый промежуток числовой прямой, функция f(x, y) непрерывная на Π = [a, b) × Y и имеет част-
ную производную ∂f∂y , непрерывную на Π. Пусть несобственный ин-
Zb
теграл I(y) = f(x, y) dx поточечно сходится на промежутке Y , а
a |
|
|
|
b |
∂f |
|
|
несобственный интеграл Z |
|
(x, y) dx |
равномерно сходится на лю- |
∂y |
|||
a |
|
|
|
бом отрезке [c, d] Y. Тогда несобственный интеграл I(y) сходится равномерно на любом отрезке [c, d] Y (сходится равномерно внутри промежутка Y ), а функция I(y) непрерывно дифференцируема на промежутке Y, причем
b |
∂f |
|
|
|
I0(y) = Z |
|
(x, y) dx, |
y Y. |
(4.10) |
∂y |
||||
a |
|
|
|
|
Замечание. Теорема остается справедливой, если вместо условия поточечной сходимости на промежутке Y несобственного интеграла I(y), потребовать его сходимости только в некоторой точке y0 Y . Предлагаем студентам доказать это обобщение самостоятельно.
125