- •Числовые ряды
- •Сходимость числового ряда
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Сходимость положительных рядов
- •Сходимость знакопеременных рядов
- •Ряд лейбницевского типа и его свойства
- •Абсолютная и условная сходимость ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Умножение рядов
- •Бесконечные произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Сходимость функциональных последовательностей
- •Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями
- •Критерии равномерной сходимости функциональной последовательности
- •Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда
- •Степенные ряды
- •Функциональные свойства степенного ряда
- •Разложение функций в ряд Тейлора
- •Задания для самостоятельной работы
- •Функциональные последовательности
- •Функциональные ряды
- •Несобственные интегралы
- •Определение несобственного интеграла
- •Методы вычисления несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы от неотрицательных функций
- •Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- •Несобственные интегралы с несколькими особыми точками
- •Главное значение несобственного интеграла
- •Задания для самостоятельной работы
- •Интегралы, зависящие от параметра
- •Равномерная сходимость функции к предельной
- •Функциональные свойства предельной функции
- •Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Несобственные интегралы, зависящие от параметра
- •Признаки равномерной сходимости НИЗП
- •Функциональные свойства НИЗП
- •Примеры вычисления несобственных интегралов
- •Интеграл Дирихле
- •Интеграл Фруллани
- •Эйлеровы интегралы
- •Свойства B-функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Ряды Фурье
- •Ортогональные системы функций
- •Определение ряда Фурье по ортогональной системе
- •Ряды Фурье по тригонометрической системе
- •Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье
- •Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье
- •Разложение функции только по синусам или косинусам
- •Ядра и многочлены Фейера
- •Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации
- •Теорема Ляпунова
- •Дифференцирование и интегрирование тригонометрического ряда Фурье
- •Задания для самостоятельной работы
5.6Разложение функции только по синусам или косинусам
Пусть функция f |
определена на отрезке [0, T ]. Для простоты бу- |
||||||
дем считать, что она кусочно дифференцируема на [0, T ]. Рассмотрим |
|||||||
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
f(x), x [0, T ], |
||||||
e |
|
f( x), x |
|
[ |
− |
T, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Она является четной и на промежутке (0, T ] обладает дифференциальными свойствами функции f, причем fe0(x) = f0(x) в тех точках x из (0, T ), в которых f дифференцируема. Если функция f дифференцируема в точке x0 (0, T ], то по теореме о дифференцируемости суперпозиции функция fe дифференцируема в точке −x0 [−T, 0) и
fe0(−x0) = (f(−x))0x=x0 = −f0(−x0).
Если в точке x0 (0, T ) функция f не дифференцируема, но существуют конечные предельные значения f0(x0 ± 0), то существуют конечные пределы:
lim |
f0 |
( |
x |
lim |
f0 |
( |
x |
) = |
f0 |
( |
x |
, |
x→x0±0 |
e |
|
) = x→x0±0 |
|
|
|
|
0 ± 0) |
и
lim f0(−x) = −f0(−x0 0).
x→x0±0
Всилу сказанного, функция fe кусочно дифференцируема на [−T, T ],
азначит, учитывая ее четность,
|
|
f(x) |
a0 |
|
∞ |
|
|
|
kπx |
где |
|
|
||||||
|
|
|
|
+ |
|
ak cos |
|
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
T |
|
|
|
||||||||||
|
|
e |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
kX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
T |
|
|
|
|
kπx |
|
2 |
T |
|
|
|
kπx |
|
|||
ak = |
|
Z |
f(x) cos |
|
|
|
dx = |
|
|
Z |
f(x) cos |
|
dx, |
|||||
T |
|
T |
T |
T |
||||||||||||||
|
|
−T |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
и полученный ряд Фурье сходится в каждой точке x R, его сумма S(x) является 2T -периодической функцией и
|
|
|
|
|
f(x + 0) + f(x − 0) |
|
, |
|
x |
|
( T, T ) |
|
|||||||||
|
S(x) = |
|
e |
|
|
2 |
e |
|
|
− |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(T |
− |
0) + f( T + 0) |
, x = ±T. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
2 e |
− |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
lim f(x) = f(+0), f( |
− |
0) = lim f( |
− |
x) = |
lim f(x) = f(+0), |
|||||||||||||||
e(+0) = x→+0 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
x→−0 |
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|||||
то S(0) = f(+0). А так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f |
T |
|
|
|
|
lim |
f( x) = lim |
f(x) = f(T |
− |
0), |
||||||||||
|
e(− |
|
+ 0) = x→−T +0 |
|
− |
x→T −0 |
|
|
|
|
|
|
165
fe(T − 0) = f(x) = f(T − 0),
то S(T ) = S(−T ) = f(T − 0).
Следовательно, S(x) = f(x) в точках непрерывности функции f, содержащихся в [0, T ], и потому в них функция f разлагается в полу-
ченный ряд Фурье, содержащий только функции cos |
kπx |
, k N0. |
||
|
||||
T |
||||
В случае T = π функции f разлагается в классический ряд Фурье |
||||
только по cos kx, k N. |
|
|
|
|
С помощью функции |
|
|
|
|
f(x) = |
f(x), x (0, T ), |
|
|
|
|
0, x = 0, x = T, |
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
−f(−x), x (−T, 0), |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая является нечетной, аналогично рассуждая, можно получить разложение функции f в ряд Фурье только по функциям sin kπxT , k N
(соответственно, по sin kx, k N, если T = π), в точках непрерывности функции f, содержащихся в (0, T ). К этим точкам можно присоединить точки 0 и T , если в них функция f равна нулю.
Пример 5.3. Функцию f(x) = x разложить по косинусам кратных
дуг на отрезке [0, π]. |
|
|
|
|
|
Пусть |
|
x, x [0, π], |
|||
f(x) = |
|||||
e |
|
x, x |
|
[ |
π, 0). |
− |
|
− |
|||
e |
|
|
|
e |
является четной, 2π—перио- |
Тогда f(x) = |x|, x [−π, π], и функция |
f |
дической, непрерывной, кусочно дифференцируемой. Поэтому для всех
|
a0 |
|
∞ |
e |
|
|
kX |
x [−π, π] имеет место равенство f(x) = |
2 |
+ |
ak cos kx, в котором |
|
|
|
=1 |
2 Zπ
a0 = π 0 x dx = π .
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
||||
ak = |
|
|
|
Z |
f(x) cos kx dx = |
|
|
Z |
f(x) cos kx dx = |
|
Z |
x cos kx dx = |
||||||||||||||||
|
π |
π |
π |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−π |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
, k = 2n, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, k = 2n 1, n |
|
N |
. |
||||||
|
|
πk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
2 |
(( 1) |
|
|
1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π(2n − 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как fe(x) = f(x) для всех x [0, π], то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
∞ |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = x = |
2 − |
|
|
|
|
|
|
− |
1)2 cos(2n − 1)x, |
x [0, π]. |
|||||||||||||||||
|
=1 π(2n |
|
|
166
Заметим, что f(0) = 0, поэтому 0 = |
π |
∞ |
4 |
. Отсюда |
||||||
|
− =1 |
|
||||||||
2 |
π(2n 1)2 |
|||||||||
|
π2 |
= ∞ |
1 |
|
|
|
nX |
− |
|
|
следует, что |
|
. |
|
|
|
|||||
|
8 |
(2n |
2 |
|
|
|
|
|||
|
=1 |
1) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
Пример 5.4. Найти и исследовать на сходимость ряд Фурье 2π— периодической функции
f(x) = − ln | sin x2 |, x 6= 2πk, k Z.
Прежде всего заметим, что данная функция является четной, 2π-пе- риодической, дифференцируемой на R \ {2πk, k Z}, а, значит, и на множестве G0 = [−π, 0) S(0, π], абсолютно интегрируемой на [−π, π]. Ее график на множестве G0 имеет вид, представленный на рисунке 5.1.
y 6
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
0 |
π |
|
x |
|
−π |
|
Рис. 5.1: График функции y = − ln | sin x2 |.
Поэтому для всех x G0, а в силу 2π—периодичности, для всех x 6= 2πk, k Z,
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
a0 |
+ |
∞ an cos nx где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
x |
|
|
||||||||
a0 = − |
|
Z |
ln sin |
|
|
dx = − |
|
|
Z |
ln sin |
|
|
|
dx − |
|
|
|
Z |
ln sin |
|
dx = |
|||||||||||||||||||
π |
2 |
π |
2 |
|
|
π |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π/2 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
π/2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
π/2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
= − |
|
Z |
|
ln sin |
|
|
dx − |
|
|
Z |
ln cos |
|
|
dx = − |
|
|
|
Z |
ln( |
|
sin x) dx = |
|||||||||||||||||||
π |
|
2 |
|
π |
2 |
|
π |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
a |
|||||
= ln 2 − |
|
Z |
|
ln sin x dx = ln 2 − |
|
|
Z |
ln sin |
|
dt = ln 2 + |
0 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
π |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
167
Таким образом, a0 = 2 ln 2. Далее, для всех n N,
|
|
|
|
2 |
π cos nx ln sin |
x |
|
|
|
|
2 sin nx |
|
|
|
x |
|
π |
|
π |
sin nx cos x2 |
|
|
|
||
an = |
− |
dx = |
− |
ln sin |
|
+ |
dx = |
||||||||||||||||||
π |
|
π n |
|
|
π n sin x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
sin(n + 1 )x + sin(n |
|
1 )x |
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
Z |
− |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
2 |
2 sin x |
|
2 |
|
dx = |
|
(Dn(x) + Dn−1(x)) dx = |
|
. |
|||||||||||||
πn |
|
|
|
|
|
|
2π n |
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Dn(x) — ядро Дирихле, и для получения последнего равенства использована формула (5.12). Таким образом,
|
x |
|
∞ |
cos nx |
|
|
|||
− ln | sin |
|
| = ln 2 + |
nX |
|
|
, |
x 6= 2πk, k Z. |
||
2 |
=1 |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полагая x = π, получим, что ln 2 = |
∞ |
(−1)n−1 |
. |
||||||
nX |
|||||||||
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
5.7Разложение sin1 x и ctg x на простые дроби
Проведем разложение функции cos αx, α 6= k, k Z, в ряд Фурье на отрезке [−π, π]. Так как функция cos αx непрерывна на [−π, π], то
cos αx Rf1[−π,π]. Поскольку она дифференцируема на [−π, π] и cos απ = cos(−απ), то ее ряд Фурье сходится на [−π, π] к f(x), а его сумма яв-
ляется 2π-периодической функцией. Учитывая четность функции cos αx получаем, что
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kX |
ak cos kx, x [−π, π], |
где |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
cos αx = |
2 |
+ |
=1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ak = |
|
|
|
Z |
cos αx cos kx dx = |
|
|
Z (cos(α + n)x + cos(α − n)x) dx = |
|||||||||||||||||
|
π |
π |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
sin(α + n)π |
+ |
sin(α − n)π |
= |
(−1)n |
sin απ |
+ |
sin απ |
= |
|||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
α + n |
α |
− |
n |
|
|
|
π α + n α |
− |
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(−1)n sin απ |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
n |
|
= |
(−1)n 2α sin απ |
, n |
N0 |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
α + n α |
|
|
|
|
|
|
π (α2 |
|
|
n2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
(α2 |
|
|
n2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
|
π |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cos αx = |
sin απ |
|
1 |
|
+ |
∞ ( |
|
|
1)n |
|
|
|
|
|
2α |
|
|
|
|
cos nx , x |
|
|
[ |
|
π, π]. (5.19) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если x = 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 = sin απ |
1 |
+ |
∞ ( |
1)n |
|
|
2α |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
απ |
π(α2 |
|
|
n2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
168