22.3. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов

Отфильтровать сигнал от помехи можно только при наличии отличий между ними. При оптимальной фильтрации сигнала минимизируется среднеквадратическая разность:

,

где Т длительность сообщения; S_neр(t) переданное сообщение; S_пр(t) принятое сообщение.

Оптимальный фильтр, удовлетворяющий этому выражению (фильтр Колмогорова - Винера), имеет амплитудно-частотную характеристику:

,

где G_c(ω), G_п(ω) – соответственно спектральные плотности мощности сигнала и помехи. Фазо-частотная характеристика должна быть линейной при любых сигналах и помехах, так как только в этом случае не будет линейных искажений.

Коэффициент передачи оптимального фильтра уменьшается с увеличением спектра помехи. Тем самым в оптимальном фильтре создаются условия, при которых подавление спектра помехи сопровождается, возможно, меньшим подавлением спектра сигнала.

В радиотехнических системах связи типичным является случай, когда спектральная плотность мощности помехи намного меньше сигнала, а отношение сигнал/помеха много больше единицы. В таких случаях помеха представляет собой случайный процесс типа белого шума. Тогда квазиоптимальным оказывается или идеальный полосовой фильтр, или фильтр низких частот с амплитудно-частотной характеристикой Н_опт(ω) = 1 при ω, принадлежащей полосе, занимаемой сигналом, и Н_опт(ω) = 0 при ω вне полосы частот сигнала.

В другом случае возможна ситуация, когда спектры сигнала и помехи перекрываются, но помеха является более узкополосной по сравнению с сигналом и се спектральная плотность мощности намного превышает спектральную плотность мощности сигнала (воздействие на сигнал мощных сосредоточенных помех). Тогда оптимальным оказывается фильтр с амплитудно-частотными характеристиками:

Н_опт(ω) = 0 при ω, принадлежащей полосе частот помехи, и

Н_опт(ω) = 1 при ω, принадлежащей полосе частот сигнала.

В этом случае в тракт приемника включают, кроме идеального полосового фильтра, идеальный заграждающий фильтр, обеспечивающий подавление помехи в ее полосе.

Для рассматриваемой радиотехнической системы морской связи приемник должен содержать фильтр, близкий по своим характеристикам к идеальному полосовому фильтру. Кроме указанного фильтра входная цепь приемника должна содержать фильтры, близкие, но своим характеристикам к идеальным заграждающим фильтрам.

22.4. Количество информации при приёме дискретных сигналов радиотехнической системы связи

Для рассматриваемой радиотехнической системы морской связи найдем вероятность ошибки при оптимальных когерентном и некогерентном приемах двоичных AM, ЧМ и ФМ-сигналов, если отношение сигнал/шум по напряжению h = 1,47. В таблице 22.1 приведены значения вероятностей ошибок, вычисленные для различных видов сигналов и приёма.

Количество информации, получаемой при приеме двух равновероятных сигналов с вероятностями ошибки, соответствующими таблице 22.1, можно вычислить по формуле

I = Н₀ - Н₁,

где Н₀ – априорная энтропия; Н₁ – апостериорная энтропия.

Для двух равновероятных сигналов априорная энтропия вычисляется по формуле

.

Для сигнала с амплитудной модуляцией апостериорная энтропия составляет:

.

Количество информации определяется как

I = Н₀ - Н₁ = 1 - 0,124 = 0,876 бит.

Аналогично вычислено количество информации для сигналов с частотной и фазовой манипуляциями.

Таблица 22.1

Вид дискретных сигналов	Вероятность ошибки при когерентном приеме	Вероятность ошибки при некогерентном приеме
AM	0,017	0,056
ЧМ	0,001	0,006
ОФМ	0,000003	0,000083

Результаты вычислений сведены в таблице 22.2. Результаты расчетов показывают, что предпочтительной является относительная фазовая манипуляция, позволяющая получить наибольшее количество информации при передаче сообщений.

Таблица 22.2

Вид дискретных сигналов	Количество информации при когерентном приеме, бит	Количество информации при некогерентном приеме, бит
AM	0,875	0,69
ЧМ	0,982	0,94
ОФМ	0,999	0,999

Таким образом, сравнение помехоустойчивости различных видов манипуляции можно произвести по вероятности ошибки при передаче определенных сигналов, по количеству передаваемой информации на два переданных сигнала. Кроме этого, очень часто сравнение помехоустойчивости производится по энергетическому выигрышу, под которым понимают различие в энергиях сигналов, обеспечивающих одинаковое значение вероятности ошибки при различных видах манипуляции, способах приема, кодирования и т.д. Энергетический выигрыш определяется по формуле

g_э = 10∙lg(E_S1 / E_S2) при Р_ош = const, N₀ = const,

где E_S1, E_S2 – соответственно энергии сигналов S₁(t) и S₂(t) .

Если g_э < 0 дБ, то имеются энергетические потери. Обычно значения энергий для расчета g_э находят по графическим зависимостям. Такие зависимости приведены на рисунке 22.1. Вероятность ошибки по оси ординат для удобства отложена в логарифмическом масштабе. Из графиков следует, что наибольшую помехоустойчивость имеет система с ФМ-сигналами, наименьшую – с АМ-сигналами. Проведя вычисления g_э, получим, что система с противоположными ФМ-сигналами дает энергетический выигрыш на 3 дБ (или в 2 раза) по сравнению с ортогональными ЧМ-сигналами и на 6 дБ (или в 4 раза) – по сравнению с АМ-сигналами. Физически это объясняется тем, что сигналы максимально отличаются друг от друга.

Для рассматриваемой радиотехнической системы морской связи определим энергетический выигрыш оптимального когерентного приема двоичных AM-сигналов по сравнению с оптимальным некогерентным приемом этих же сигналов. Пусть Р_ош =1,79∙10^-2. Из точек пересечения прямой Р_ош =1,79∙10^-2 зависимостей 4 (когерентный прием) и 5 (некогерентный прием) следует, что для обеспечения Р_ош =1,79∙10^-2 при когерентном приеме необходимо h₂² =10, а при некогерентном приеме h₃² = 14. Энергия сигнала определится как E = h²N₀, энергетический выигрыш составит:

g_э = 10∙lg(14/10) =1,46 дБ.

Для рассматриваемой радиотехнической системы морской связи определим энергетический выигрыш оптимального когерентного приема двоичных ЧМ сигналов по сравнению с оптимальным некогерентным приемом этих же сигналов. Пусть Р_ош =1,79∙10^-2. Из точек пересечения прямой Р_ош =1,79∙10^-2 зависимостей 2 (когерентный прием) и 3 (некогерентный прием) следует, что для обеспечения Р_ош =1,79∙10^-2 при когерентном приеме необходимо h₂² = 4,1, а при некогерентном приеме h₃² = 6,1. Энергия сигнала определяется по формуле E = h²∙N₀, энергетический выигрыш составит

g_э = 10∙lg(6,1/4,1) = 1,725 дБ.

Рис. 22.1. Зависимость вероятности ошибок от отношения сигнал/помеха для различных видов модуляции (манипуляции)

Таким образом, для рассматриваемой радиотехнической системы морской связи энергетический выигрыш g_э оптимального когерентного приема двоичных ЧМ-сигналов но сравнению с оптимальным некогерентным приемом этих же сигналов равен 1,725 дБ.

Из примера хорошо видно, что энергетические потери некогерентного приема незначительны (1,46 дБ для AM и 1,725 для ЧМ), поэтому при практической реализации приемников АМ и ЧМ-сигналов целесообразно использовать более простой некогерентный приемник.