17.4. Согласованная фильтрация
По существу корреляционный приемник является активным фильтром и выполняет операцию скалярного произведения
.
(17.9)
Эту операцию можно реализовать также с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал, то напряжение на выходе фильтра
,
(17.10)
где g(t) – импульсная реакция фильтра, является зеркальным отображением s(t) относительно t = T.
Выберем g(t) такой, чтобы в момент t = T получить на выходе значение y(T), совпадающее со скалярным произведением (17.9).
Легко видеть, что это будет выполнено, если g(t) = si(T- t). Действительно, при этом
.
(17.11)
Такой фильтр называют согласованным (СФ) с сигналом si(t). Иначе говоря, фильтр является согласованным с сигналом s(t), если его импульсная реакция
g(t) = a·s(T - t), (17.12)
где а – постоянная.
Передаточная функция СФ с импульсной реакцией (17.12) определяется преобразованием Фурье
,
(4.13)
где
– функция комплексного сопряженная со
спектральной плотностью сигналаs(t).
Следовательно, с точностью до коэффициента a АЧХ согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s(t). Смысл согласования проявляется в том, что СФ хорошо пропускает те частоты, которые дают большой вклад в энергию сигнала. ФЧХ СФ (без учета слагаемого -ωT) обратна по знаку ФЧХ сигнала s(t). Благодаря этому при t = T все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик.
Отметим одно важное свойство СФ, которое иногда рассматривается как его определение. Будем подавать сумму детерминированного сигнала и белого шума на вход различных линейных цепей с постоянными параметрами и измерять в момент t = T отношение пиковой мощности сигнальной составляющей к средней мощности шума на выходе цепи. Оказывается, что это отношение максимально для СФ и равно
,
(17.14)
где Es – энергия сигнала;
G0 – спектральная плотность белого шума.
Иначе говоря, СФ является единственным линейным фильтром, обеспечивающим получение максимального возможного отношения сигнала к помехе на выходе.
Интересно сравнить с отношением h12 средних мощностей сигнала Рs и помехи P на входе фильтра:
Откуда
,
(17.15)
где n = 2FST – база сигнала.
Таким образом, улучшение отношения сигнала к помехе, даваемое СФ, тем больше, чем больше база сигнала n, т.е. чем сложнее форма сигнала.
Согласованный фильтр для сигнала произвольной формы может быть реализован (приближенно) на основе линии задержки с отводами (рис. 17.6).
Рис. 17.6. Согласованный фильтр на основе линии задержки с отводами
При подаче на вход 1 линии задержки с отводами (ЛЗО) короткого импульса, на вход ФНЧ поступают (с интервалом Δt, обусловленным конструкцией линии задержки) такие же импульсы с амплитудами, определяемыми коэффициентами усиления a0, a1, a2,… an-1. Тогда на выходе ФНЧ формируется, в частности если ФНЧ является идеальным, отклик представляющий собой конечную сумму ряда Котельникова аппроксимирующую сигнал s(t) требуемого вида.
Нетрудно видеть, что если короткий импульс подать на вход 2, то отклик будет зеркальной копией сигнала s[(n-1) Δt - t]. Коэффициенты a0, a1, a2,… an-1 представляют собой отсчеты сигнала s(t) с шагом, определяемым верхней частотой Fв спектра сигнала.
Следует иметь в виду, что такой способ реализации согласованного фильтра является хотя и универсальным, но заведомо приближенным, так как любой сигнал конечной длительности имеет нефинитную спектральную плотность, а идеальный ФНЧ нереализуем. Тем не менее такой фильтр применяется на практике: например, для согласованной фильтрации сигналов с линейной частотной модуляцией используют в качестве линий задержки с отводами интегральные устройства на поверхностных акустических волнах (ПАВ).
Форма сигнала на выходе такого фильтра отличается от формы входного сигнала. Но назначение согласованного фильтра состоит в вычислении корреляционного интеграла для наиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника. Иными словами, согласованный фильтр должен обеспечивать максимальное отношение сигнал/шум в момент времени t0.