- •Теория электрической связи
- •Оглавление
- •I. Сообщения, сигналы и помехи, их математические модели
- •1. Общие сведения о системах электрической связи
- •1.1. Информация, сообщения, сигналы и помехи
- •1.2. Общие принципы построения систем связи
- •1.3. Классификация систем связи
- •2. Математическая модель сигналов
- •2.1. Математическое описание сигнала
- •2.2. Математическое представление сигналов
- •2.3. Геометрическое представление сигналов
- •2.4. Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций
- •3. Спектральные характеристики сигналов
- •3.1. Спектральное представление периодических сигналов
- •3.2. Спектральное представление непериодических сигналов
- •3.3. Основные свойства преобразования Фурье:
- •1) Линейность.
- •4) Теорема запаздывания.
- •10) Спектры мощности.
- •4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
- •4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
- •Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для u(t) имеет следующий вид:
- •4.2. Спектр дискретизированного сигнала
- •4.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности (сигнал амплитудно-импульсной модуляции или аим сигнал)
- •4.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов
- •4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
- •5. Случайные процессы
- •5.1. Характеристики случайных процессов
- •Функция распределения вероятностей сп (фрв).
- •Двумерная фрв.
- •Функция плотности вероятностей случайного процесса (фпв)
- •Стационарность.
- •Эргодичность.
- •5.2. Нормальный случайный процесс (гауссов процесс)
- •5.3. Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.4. Фпв для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.5. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса
- •5.6. Флуктуационный шум
- •6. Комплексное представление сигналов и помех
- •6.1. Понятие аналитического сигнала
- •6.2. Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота узкополосного случайного процесса
- •7. Корреляционная функция детерминированных сигналов
- •7.1. Автокорреляция вещественного сигнала
- •Свойства автокорреляционной функции вещественного сигнала:
- •7.2. Автокорреляция дискретного сигнала
- •7.3. Связь корреляционной функции с энергетическим спектром
- •7.4. Практическое применение корреляционной функции
- •II. Методы формирования и преобразования сигналов
- •8. Модуляция сигналов
- •8.1. Общие положения
- •8.2. Амплитудная модуляция гармонического колебания
- •8.3. Балансная и однополосная модуляция гармонической несущей
- •9. Методы угловой модуляции
- •9.1. Принципы частотной и фазовой (угловой) модуляции
- •9.2. Спектр сигналов угловой модуляции
- •9.3. Формирование и детектирование сигналов амплитудной и однополосной амплитудной модуляции
- •9.4. Формирование и детектирование сигналов угловой модуляции
- •10. Манипуляция сигналов
- •10.1. Временные и спектральные характеристики амплитудно- манипулированных сигналов
- •10.2. Временные и спектральные характеристики частотно-манипулированных сигналов
- •10.3. Фазовая (относительно-фазовая) манипуляция сигналов
- •III. Алгоритмы цифровой обработки сигналов
- •11. Основы цифровой обработки сигналов
- •11.1. Общие понятия о цифровой обработке
- •11.2. Квантование сигнала
- •11.3. Кодирование сигнала
- •11.4. Декодирование сигнала
- •12. Обработка дискретных сигналов
- •12.1. Алгоритмы дискретного и быстрого преобразований Фурье
- •12.2. Стационарные линейные дискретные цепи
- •12.3. Цепи с конечной импульсной характеристикой (ких-цепи)
- •12.4. Рекурсивные цепи
- •12.5. Устойчивость лис-цепей
- •13. Цифровые фильтры
- •13.1. Методы синтеза ких-фильтров
- •13.2. Синтез бих-фильтров на основе аналого-цифровой трансформации
- •IV. Каналы связи
- •14. Каналы связи
- •14.1. Модели непрерывных каналов
- •14.2. Модели дискретных каналов
- •V. Теория передачи и кодирования сообщений
- •15. Теория передачи информации
- •15.1. Количество информации переданной по дискретному каналу
- •15.2. Пропускная способность дискретного канала
- •15.3. Пропускная способность симметричного дискретного канала без памяти
- •15.4. Методы сжатия дискретных сообщений
- •15.4.1. Условия существования оптимального неравномерного кода
- •15.4.2. Показатели эффективности сжатия
- •15.4.3. Кодирование источника дискретных сообщений методом Шеннона-Фано
- •15.4.4. Кодирование источника дискретных сообщений методом Хаффмена
- •15.5. Количество информации, переданной по непрерывному каналу
- •15.6. Пропускная способность непрерывного канала
- •16. Теория кодирования сообщений
- •Классификация помехоустойчивых кодов
- •16.1. Коды с обнаружением ошибок
- •16.1.1. Код с проверкой на четность.
- •16.1.2. Код с постоянным весом.
- •16.1.3. Корреляционный код (Код с удвоением).
- •16.1.4. Инверсный код.
- •16.2. Корректирующие коды
- •16.2.1. Код Хэмминга
- •16.2.2. Циклические коды
- •16.2.3. Коды Рида-Соломона
- •V. Помехоустойчивость
- •17. Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений
- •17.1. Основные понятия и термины
- •17.2. Бинарная задача проверки простых гипотез
- •17.3. Приём полностью известного сигнала (когерентный приём)
- •17.4. Согласованная фильтрация
- •17.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма
- •17.6. Некогерентный приём
- •17.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приёма
- •18. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений
- •18.1. Оптимальное оценивание сигнала
- •18.2. Оптимальная фильтрация случайного сигнала
- •18.3. Потенциальной помехоустойчивости передачи непрерывных сообщений
- •19. Адаптивные устройства подавления помех
- •19.1. Основы адаптивного подавления помех
- •19.2. Подавление стационарных помех
- •19.3. Адаптивный режекторный фильтр
- •19.4. Адаптивный высокочастотный фильтр
- •19.5. Подавление периодической помехи с помощью адаптивного устройства предсказания
- •19.6. Адаптивный следящий фильтр
- •19.7. Адаптивный накопитель
- •VI. Многоканальная связь и распределение информации
- •20. Многоканальная связь и распределение информации
- •20.1. Частотное разделение каналов
- •20.2. Временное разделение каналов
- •20.3. Кодовое разделение каналов
- •20.4. Синхронизация в спи с многостанционным доступом
- •20.5. Коммутация в сетях связи
- •VII. Эффективность систем связи
- •21. Оценка эффективности и оптимизация параметров телекоммуникационных систем (ткс)
- •21.1. Критерии эффективности
- •21.2. Эффективность аналоговых и цифровых систем
- •21.3. Выбор сигналов и помехоустойчивых кодов
- •22. Оценка эффективности радиотехнической системы связи
- •22. 1. Тактико-технические параметры радиотехнической системы связи
- •22.2. Оценка отношения сигнал/помеха на входе радиоприемники радиотехнической системы связи
- •22.3. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов
- •22.4. Количество информации при приёме дискретных сигналов радиотехнической системы связи
- •22.5. Количество информации при оптимальном приёме непрерывных сигналов
- •22.6. Выигрыш в отношении сигнал/помеха
- •22.7. Пропускная способность каналов радиотехнической системы связи
- •VIII. Теоретико-информационная концепция криптозащиты сообщений в телекоммуникационных системах
- •23. Основы криптозащиты сообщений в системах связи
- •23.1. Основные понятия криптографии
- •23.2. Метод замены
- •23.3. Методы шифрования на основе датчика псевдослучайных чисел
- •23.4. Методы перемешивания
- •23.5. Криптосистемы с открытым ключом
- •13.6. Цифровая подпись
- •Заключение
- •Список сокращений
- •Основные обозначения
- •Литература
- •Теория электрической связи
6. Комплексное представление сигналов и помех
Представление детерминированных сигналов рядами ортогональных функций оказывается полезным при анализе прохождения сигналов через линейные радиотехнические устройства.
При анализе нелинейных преобразований сигналов и, в частности, модуляции и демодуляции, требуется иной подход. Этот подход основывается на понятии аналитического сигнала.
6.1. Понятие аналитического сигнала
Многие формулы гармонического анализа записываются значительно проще и некоторые задачи решаются легче, если использовать в качестве элементарных функций экспоненциальные функции мнимого аргумента, например, комплексная огибающая легко отделяется от множителя с несущей частотой при выражении сигнала в комплексной форме.
A∙cos[j(ω0t + φ)] = [А∙ехр(j φ)]∙ехр (ω0t).
Если разложить косинус суммы по формуле Эйлера [6, 21], то:
cos(ωt + φ) = 1/2[exp{j(ωt + φ)} + exp{-j(ωt + φ)}]. (6.1)
Этой записи можно дать геометрическую трактовку, пользуясь представлением комплексных чисел в виде точек или векторов на плоскости.
Выражение exp{j(ωt + φ)} представляет в данном случае вектор единичной длины, проведенный под углом ωt + φ к действительной оси (рис. 6.1). При изменении времени t этот вектор, единичной длины, меняет положение, вращаясь в положительном направлении с угловой скоростью ω.
Изобразить синусоиду в форме (6.1), это значит представить ее суммой двух векторов, длина каждого из которых равна 1/2, расположенных в любой момент времени симметрично относительно действительной оси и вращающихся в разных направлениях с угловыми скоростями ω и -ω (рис. 6.2).
Рис. 6.1. Геометрическая трактовка Рис. 6.2. Экспоненциальное
трактовка экспоненциальной ф-ции представление элементарной
мнимого аргумента функции
В момент t = 0 они занимают положения под углами φ и –φ относительно действительной оси. Геометрическая сумма векторов всегда совпадает по направлению с действительной осью и представляет действительную функцию времени cos(ωt + φ).
При представлении косинусоиды в виде cos(ωt + φ) = Re[exp{j(ωt + φ)}] можно ограничиться одним вращающимся в положительном направлении вектором и представить косинусоиду его проекцией на действительную ось.
В этом случае нет необходимости вводить отрицательные частоты. Длина вектора представляет амплитуду косинусоиды, а угол, образуемый им в данный момент с действительной осью – полную фазу (ωt + φ).
Проекция этого вектора на мнимую ось равнаIm[exp{j(ωt + φ)}] = sin (ωt + φ), т.е. представляет ту же косинусоиду, сдвинутую по фазе на π/2 (рис. 6.3).
Значительное количество сигналов применяемых в системах электросвязи можно представлять в виде:
s(t) = A(t)∙cos[ωt + φ(t)] (6.2)
т.е. как «квазигармоническую» функцию с переменными «амплитудой» и «начальной фазой».
Рис. 6.3. Проекции единичного
вектора на действительную и
мнимую оси
Такой сигнал можно интерпретировать геометрически как проекцию на действительную ось вращающегося вектора, но при этом изменяющего свою длину и угловую скорость. Для описания свойств сигнала представленного в форме (6.2) вводят понятие комплексного аналитического сигнала.
Аналитический сигнал формируется путем отбрасывания области отрицательных частот спектра вещественного сигнала и удвоения спектра в области положительных частот. Так, если s(t) – вещественный сигнал, записываем s(t) ↔ S(f) и аналитический сигнал
sa(t) ↔ 2σ(f)∙X(f), (6.3)
где σ(f) – единичная ступенчатая функция в частотной области.
Единичная ступенчатая функция равна нулю в интервале от минус бесконечности до некоторой точки и единице в интервале от этой точки до плюс бесконечности. Ступенчатая функция во временной области имеет вид
(6.4)
Преобразование Фурье единичной ступенчатой функции равно
(6.5)
Т.о. можно определить единичную ступенчатую функцию в частотной области и ее преобразование Фурье. Пусть
тогда
(6.6)
Заметим, что если s(t) – синусоида постоянной амплитуды, то операция, указанная в выражении (6.3), состоит просто в замене вещественной синусоиды комплексной экспонентой. В более общем случае для нахождения вещественной и мнимой частей sa(t) можно преобразовать спектр в выражении (6.3) во временную область:
(6.7)
Свертка s(t) с импульсной функцией не меняет s(t), поэтому можно записать
(6.8)
Вещественная часть sa(t) является исходной вещественной функцией, а мнимая часть определяется в формуле (6.8) интегралом от функции, содержащей s(t). Этот интеграл называется преобразованием Гильберта функции s(t) и обозначается
(6.9)
Существует следующее обратное соотношение:
(6.10)
Таким образом, s(t) и s*(t) представляют собой пару преобразований Гильберта и аналитический сигнал можно записать как
sa(t) = s(t) + js*(t). (6.11)
Исходя из этого, аналитический сигнал в момент времени t может быть представлен точкой на комплексной плоскости, если по оси абсцисс откладывать значения реального сигнала s(t), а по оси ординат – сопряженного с ним сигнала s*(t), (рис. 6.4).
Легко показать, что функция sin(ω0t) является преобразованием Гильберта cos(ω0t). Поэтому аналитический сигнал, соответствующий cos(ω0t), имеет вид sа(t) = cos ω0t + j sin ω0t = =exp(jω0t). Аналитический сигнал общего вида удобно представлять в экспоненциальной форме как
sa(t) = |sa(t)|exp [jФ(t)], (6.12)
где |sa(t)| = [s2(t) + j∙s*2(t)]1/2;
Ф(t) = arctg [s*(t)/s(t)].
Рис. 6.4. Представление аналитического
сигнала точкой
Теперь положим Ф(t) = ω0t + φ(t) и запишем
sa(t) = |sa(t)| ехр [jφ(t)] ехр (jω0t) = (t) exp (jω0t) (6.13)
Комплексная огибающая (t) получается удалением комплексного множителя, связанного с несущей, из аналитического сигнала:
(t) = sa(t)∙ехр (-jω0t) = |sa(t)| ехр [jφ(t)]. (6.14)
Если (t) – узкополосная относительно f0 функция, то она будет обладать свойствами, которые мы интуитивно связываем с огибающей. В противном случае это просто удобное математическое представление.
Для получения спектра функции s*(t) можно применить функцию sign, которая тесно связанной с единичной ступенчатой функцией и определяется как
(6.15)
Соотношение между функцией sign и единичной ступенчатой функцией σ(t) показано графически на рис. 6.5.
Рис. 6.5. Единичная ступенчатая функция σ(t) и функция sign (t)
Функция sign может быть определена и в частотной области sign (f). С помощью выражений (6.5) и (6.15) получаются следующие соотношения для пар преобразований:
Функция sign может быть определена и в частотной области sign (f). С помощью выражений (6.5) и (6.15) получаются следующие соотношения для пар преобразований:
(6.16)
Таким образом, спектр функции s*(t) имеет вид:
l/πt ↔ -j∙sign (f);
(6.17)
С помощью обобщения теоремы Парсеваля можно показать, что s(t) и s*(t) ортогональны. Для двух заданных функций s1(t) и s2(t) обобщенное соотношение Парсеваля состоит в том, что
(6.18)
откуда
(6.19)
но S(f)[ -j∙sign (f)∙S(f)]* = j| S(f)|2 ∙ sign (f).
В силу того, что эта функция частоты нечетна, интеграл в выражении (6.19) по всему частотному диапазону равен нулю. Поэтому
Спектральные плотности энергии s(t) и s*(t) одинаковы, следовательно, полная энергия аналитического сигнала в два раза больше энергии вещественного.