Рис.3.5. Энергетическая структура и плотность электронных состояний в слабо легированном (а), с промежуточным уровнем легирования (б) и сильно легированном (в) полупроводниках

3.2. Концентрация носителей заряда в собственном и слабо легированном полупроводниках

Поскольку в полупроводнике, в общем случае, имеются носители заряда двух типов - электроны и дырки - ток проводимости в этих материалах имеет две составляющие:

где п и р - концентрации электронов и дырок соответственно; vn и vp -скорости дрейфа электронов и дырок.

Выражая дрейфовые скорости носителей заряда через подвижности и учитывая направление движения электронов и дырок в электрическом поле, можем записать в скалярном виде:

где Е - напряженность электрического поля;

σ - удельнаяпроводимостьполупроводника.

Таким образом, проводимость полупроводника определяется концентрацией иподвижностью носителей заряда.

Равновесная концентрация электронов в зоне проводимости полупроводникаможет бытьопределена выражением

где g(E) - энергетическая плотность состояний, f(E) - функция распределенияФерми-Дирака, Ес , Етах - энергиядназоныпроводимостии верхнего заполненного в ней уровня соответственно.

83

Если отсчет энергии вести от дна зоны проводимости (то есть положить Ес=0) и учесть, что f(E) резко уменьшается с ростом Е, то пределы интегрирования в формуле (3.10) можно принять равными 0 и

∞.

Для упрощения расчетов воспользуемся тем обстоятельством, что электронный газ в полупроводниках, в отличие от металлов, как правило, являетсяневырожденным.

Действительно, как показывает оценка, концентрация электронных состояний в разрешенной зоне полупроводника N ~ 1022 см-3, а концентрация свободных электронов, находящихся в этой зоне, n ~ 1012 -1018 см-3.

Таким образом, в разрешенной зоне f(E) ≈ n/N <<1, что реализуется только если ехр(Е-Ер/кТ)>>1. В этом случае распределение Фер- ми-Дирака фактически преобразуется в распределение МаксвеллаБольцмана:

где EF = − EF .

Как было показано ранее, плотность электронных состояний в

гдеmn - эффективная масса электроноввблизидназоныпроводимости.

Тогда

84

Определяя концентрацию электронов в зоне проводимости, целесообразно ввести в формулу границу этой зоны. Для этого изменим начало отсчета энергии; будемполагатьEv=0.

Тогда EF = EC − EF , и выражение (3.13) преобразуется к виду

Аналогичный расчет для концентрации дырок в валентной зоне дает следующуюформулу:

лентной зоне, mp- эффективная масса дырок вблизи потолка валентной зоны.

Из формул (3.15) и (3.16) следует, что концентрация свободных носителей заряда в разрешенных зонах определяется энергетическим расстоянием между уровнем Ферми и границей соответствующей разрешенной зоны.

85

Формулы (3.15) и (3.16) справедливы как для собственного, так и для слабо легированного полупроводника. Различие же их свойств объясняется различным положением уровня Ферми в этих материалах.

Определим положение уровня Ферми в собственном полупроводнике. Поскольку концентрация электронов в зоне проводимости собственного полупроводника ni равна концентрации дырок в валентной зоне pi, уравнение электронейтральности для собственного полупроводника имеет вид

Решая уравнение (3.17) относительно ЕF, получим

Учитывая выражения для Nc и Nv, а также то, что Ec+Ev=-Eg где Eg-ширина запрещенной зоны полупроводника (здесь мы полагаем Ес=0), формулу (2.41) можно переписать в виде

86

Рис.3.6. Температурная зависимость уровня Ферми в собственном полупроводнике с различными соотношениями эффективных масс электронов и дырок

Формула (3.19) определяет положение уровня Ферми в собственном полупроводнике при различных температурах. Видно, что при T → 0 К уровень Ферми располагается точно в середине запрещенной зоны собственного полупроводника, а с повышением температуры он смещается по линейному закону либо к дну зоны проводимости (если mp>mn ), либо, наоборот, к потолку валентной зоны зоны (если mр<mn) ( рис.3.6).

Подставляя (3.19) в (3.13), получим температурную зависимость концентрации свободных носителей заряда в собственном по-

Анализ выражения (3.20) показывает, что в отличие от металлов, у которых концентрация свободных носителей заряда практически не зависит от температуры, в собственном полупроводнике наблюдается экспоненциальное увеличение концентрации свободных носителей заряда с ростом температуры.

Пренебрегая слабой температурной зависимостью предэкспоненциального множителя в выражении (3.20), температурную зависимость концентрации свободных носителей заряда можно линеаризовать в координатах ln ni (T ) −1/ кТ (рис. 3.7).

87

Рис.3.7. Температурнаязависимостьконцентрациисвободных носителейзарядавсобственном полупроводникевкоординатах

ln ni −1/ T

Видно (рис.3.7), что по тангенсу угла наклона получающейся прямой линии можно экспериментально определить ширину запрещенной зоны собственного полупроводника. Иллюстрациясвойствсобственныхполупроводников приведенав табл.3.1.

Таблица3.1

Шириназапрещеннойзоныиконцентрациясвободныхносителей заряданекоторыхполупроводниковприТ=293 К

Из данных, приведенных в этой таблице, в частности, следует, что при не слишком высоких температурах концентрация собственных свободных носителей в полупроводнике оказывается очень низкой. Для сравнения отметим, что даже в химически очень чистых полупроводниках (концентрация примеси меньше 10 -6 ат.%) концентрация примеси, а значит, и потенциально возможная концентрация свободных носителей заряда, которые могут возникнуть при ионизации примесных атомов, оказывается порядка1016 см-3.

Именно этим обстоятельством объясняется высокая чувствительность свойств полупроводников к примесям и та важная роль, которую играют примеси вполупроводнике.

88

Определим положение уровня Ферми и концентрацию свободных носителей заряда в примесных полупроводниках. Для определенности рассмотрим полупроводник с донорными уровнями, то есть полупроводник n-типа.

Пусть концентрация донорных уровней - Nd, а количество электронов, находящихся на этих примесных уровнях – nd.

Тогда концентрация опустошенных донорных уровней (они имеют положительный заряд) равна (Nd - nd).

Уравнение электронейтральности полупроводника в этом случае имеетвид

Если температура полупроводника не очень высока, в результате чего вероятность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости мала, по сравнению с вероятностью перехода электронов с донорного уровня в зону проводимости, выполняется условие р « п (концентрация электронов определяется практически полностью примесью).

Выражение для ионизированных донорных уровней (Nd - nd) аналогично выражению концентрации дырок в собственном полупроводнике.

Таким образом, соотношение (3.21 ) можно заменить приближен-

Воспользовавшись формулой (3.15), преобразуем (3.22) к виду

Решая это уравнениеотносительно ЕF, получим

89

Полагая, как и раньше Ес=0, и вводя величину Ed= - Ed

( Ed > 0) -глубину залегания донорного уровня, получим из (3.24), с учетом(3.15 ), следующеевыражениедляЕF :

Изполученноговыражения следует, что приТ=0 КуровеньФерми в примесном полупроводнике (n-типа) располагается посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем. С повышением темпе-

сти, а при более высоких температурах начинает смещаться к середине запрещенной зоны ( рис.3.8).

Если же температура примесного полупроводника поднимается не от Т=0 К, а от некоторой Т=То, то возможна ситуация, когда уже

при любой Т>То имеет место соотношение > Nd h3 . В

этом случае уровень Ферми с ростом Т сразу начнет смещаться к середине запрещенной зоны (рис.3.8).

90

а б

Рис.3.8. Температурные зависимости уровня Ферми в примесном

Температура, при которой уровень Ферми пересекает примесный уровень, называется температурой истощения Ts. Начиная с этой температуры, количество свободных электронов не может расти за счет опустошения примесных уровней, поскольку они уже полностью истощены к этому моменту.

Из (3.25) следует, что температура истощения определяется фор-

Такимобразом, чемглубженаходятсядонорныеуровниичемвыше концентрация доноров, тем при более высокой температуре наступает режим истощения примеси.

Выше температуры истощения и до тех пор, пока вклад собственных носителей, обусловленных электронными переходами из валентной зоны в зону проводимости, не сравняется с вкладом примеси, концентрация свободных носителей заряда остается практически постояннойиравнойконцентрации доноров.

91

Начиная с некоторой температуры Ti , для которой имеет ме-

сто условие ni(Ti)≈ Nd, концентрация носителей заряда начнет значительно нарастать с повышением температуры за счет собственных носителей (рис.3.9).

Что же касается температур ниже температуры истощения, то подстановка формулы (3.25) в выражение (3.15) дает следующуютемпературнуюзависимостьконцентрации свободных носителей заряда в примес-

Таким образом, и в случае примесного полупроводника, температурная зависимость концентрации свободных носителей заряда линеаризуется в координатах In n ~ 1/T, а наклон получаемой прямой определяет глубину залегания донорного уровня ( рис.3.9).

Рис.3.9. Температурная зависимость концентрации свободных носителей заряда в примесном полупроводнике

92

Аналогичные зависимости и выводы можно получить и для полупроводниковсакцепторными примесями.

Используя формулу для концентрации неосновных носителей за-

концентрацию основных носителей заряда (3.15), определим произведение концентраций основных и неосновных носителей заряда. Послепреобразованийполучим

Полученное выражение показывает, что произведение концентраций основных и неосновных носителей заряда в примесном полупроводнике не зависит от положения уровня Ферми и концентрации примеси, а определяется только температурой.

Кроме того, видно, что концентрация неосновных носителей заряда в примесном полупроводнике меньше концентрации носителей этого типавсобственномполупроводнике.

Физически это объясняется наличием конкурирующего с генерацией свободных носителей заряда процесса их рекомбинации (встречи электрона и дырки и их аннигиляции), вероятность которого пропорциональна концентрациям носителей.

Соотношение (3.28) справедливо для любого слабо легированного полупроводника в условиях термодинамического равновесия и по аналогии с известным в химической термодинамике соотношением для концентраций реагирующих веществ часто называется законом действующих масс.

93

Для сильно легированных полупроводников имеет место следующее

где Eg - изменение ширины запрещенной зоны вследствие образования хвостов плотности состояний.

3.3. Подвижностьносителейзарядавполупроводнике. Температурнаязависимостьпроводимостиполупроводника

Предположим, что к кристаллу полупроводника приложено электрическое поле. На зонной диаграмме это проявляется в наклоне энергетических уровней электронов, в том числе краев зон, причем тангенс угла наклона пропорционален напряженности поля, а смещение уровня между двумя данными точками объема полупроводника - разности потенциалов между ними (рис.3.10).

Заметим, что энергетические диаграммы строятся для электронов, так что энергия электрона растет с повышением энергетических уровней на диаграмме, а энергия дырок, наоборот, увеличивается с понижением энергетических уровней. Увеличению потенциала, таким образом, соответствует понижениеэнергетических уровней.

Рис.3.10 . Движение электрона в полупроводнике под воздействием внешнего электрического по-

б

ля (а); энергетическая диаграмма полупроводникаприприложениик нему электрического поля ( б)

94

В течение промежутка времени, равного в среднем времени релак-

сации τ, электроны ускоряются вдоль направления поля. Направленное движение носителей под воздействием не слишком сильного поля представляет собой небольшое возмущение хаотического теплового движения.

Поэтому τ практически не зависит от напряженности поля.

Электронный газ в полупроводнике, как уже отмечалось, является невырожденным, то есть описывается статистикой МаксвеллаБольцмана. Функция распределения носителей заряда по проекции скорости vx в отсутствии и при приложении электрического поля вдоль оси х приведена на рис.3.11 .

В отличие от вырожденного электронного газа в металле, у которого в переносе заряда участвуют только электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, в полупроводнике все свободные электро-

95

Рис.3.11. Функция распределения носителей заряда по проекции скорости в отсутствии (сплошная линия) и при наложении (пунктир) электрического поля

Таким образом, подвижность электронов в общем случае равна

число столкновений, приводящих к утрате направленного движения носителя.

Аналогичным образом можно определить подвижность дырок в

Проанализируем зависимость подвижности электронов и дырок в полупроводникеоттемпературы.

96

В области высоких температур основное значение имеет рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях решетки, то есть на фононах.

Поскольку концентрация фононов nф в этой области температур,

какотмечалось ранее, пропорциональна Т, то

При высоких температурах фононы обладают столь высокими импульсами, что уже при единичных актах столкновения с ними носители заряда полностью утрачивают скорость в первоначальном на-

правлении, то есть ν ≈ 1.

Учитывая температурную зависимость средней скорости носи-

Таким образом, в области высоких температур, в которой основным механизмом рассеяния является рассеяние на фононах, подвижность носителей заряда (электронов, дырок) в полупроводниках падает с увеличением температуры по закону Т-3/2.

В области низких температур основным механизмом рассеяния является рассеяние носителей заряда на ионизированных примесных атомах. Электрическое поле ионов примеси отклоняет электроны (дырки), проходящие вблизи них, и тем самым уменьшает скорость их движениявпервоначальномнаправлении.

Подобную задачу впервые решил Резерфорд применительно к рассеянию α-частиц ядрами вещества. Используя подход и основные результаты, полученные Резерфордом, к задаче о рассеянии носителей заряда на примесях, число столкновений, приводящих к утрате направленного движения, можно определить как

где ν - скорость электрона,

ε - диэлектрическая проницаемость вещества, Ze - заряд рассеивающего иона.

Качественно этот результат понятен - чем выше начальная скорость электрона, тем большее число актов рассеяния потребуется для того, чтобы прекратить движение электрона в заданном направлении.

Длина свободного пробега носителей заряда в n- полупроводнике при данном механизме рассеяния определяется только концентрацией примеси (<λ> ~ 1/Nd) и от температуры не за-

висит. Величина подвижности

Таким образом, в области низких температур подвижность носителей заряда в полупроводнике, ограниченная рассеянием на ионизированных примесях, пропорциональна Т3/2.

График температурной зависимости подвижности носителей заряда в полупроводнике приведен на рис. 3.12.

Видно, что увеличение концентрации примесей ведет, с одной стороны, к уменьшению подвижности (так как <λ> ~ 1/Nd), а с другой стороны - к расширению области температур, в которой основным механизмом рассеяния является рассеяние на примесях, то есть к смещению положения максимума зависимости μ(Т) в область больших температур.

98

Рис.3.12. Температурная зависимость подвижности носителей заряда в примесном полупроводнике с различной концентрацией примеси: Nd2>Nd1

Учитывая температурные зависимости концентрации свободных носителей заряда и их подвижности, можно предсказать температурную зависимостьпроводимостиполупроводника.

В области температур ниже температуры истощения примеси (Т < Ts) температурная зависимость проводимости

определяется температурной зависимостью концентрации носителей

(так как μ - является степенной функцией температуры, a n - экспо-

ненциальной) и линеаризуется в координатах lnσ - 1/Т. При этом тан-

генс угла наклона получающейся прямой равен Ed/2k.

В области высоких температур T>Ti, где Тi - температура пе-

рехода к собственной проводимости, зависимость σ(Т) так же в ос-

новном определяется зависимостью n(Т), где n = ni. График зависимо-

99

сти σ(Т) в координатах lnσ - 1/Т и в этом случае имеет вид прямой линии, тангенс угла наклона которой равен Eg/2k.

В промежуточной области - от температуры истощения примеси до температуры перехода к собственной проводимости (Ts<T<Ti) - все примесные атомы уже ионизированы, однако заметной генерации собственных носителей еще не наблюдается. Поэтому в этой области температур концентрация свободных носителей заряда остается примерно постоянной и равной Nnp. В силу этого обстоятельства изменение проводимости полупроводника в указанной области температур определяется температурной зависимостью подвижности μ(Т). В зависимости от того, какой механизм рассеяния будет доминировать в этой области температур, проводимость будет либо расти с увеличением температуры (механизм рассеяния на примесях), либо уменьшаться сростомтемпературы (механизм рассеяния на фононах) (рис.3.13).

Приведенные выше выводы справедливы только для тех примесных полупроводников, у которых концентрация примеси не слишком велика.

Если же концентрация примеси достаточно высока, то энергетические уровни примесных атомов, как отмечалось ранее, образуют примесную зону. Перекрытие примесной зоны с ближайшей разрешенной зоной приводит к распределению электронов по энергиям, аналогичному металлам. Электронный газ в таких полупроводниках является вырожденным. Поэтому сильно легированные полупроводники час-

то называютвырожденнымиполупроводниками.

100