- •Содержание
- •1.6.4 Линейная зависимость векторов. Размерность и базис векторного пространства
- •2 Содержание практических занятий
- •3 Правила выполнения контрольной работы
- •4 Задачи для контрольной работы
- •5 Решения типовых задач
- •6 Материалы для подготовки к экзамену
- •7 Справочный материал
- •8 Глоссарий (словарь терминов)
Пусть a, b, c действительные числа. Тогда:
åñëè D > 0, то корни x1 è x2 действительны и различны;
åñëè D = 0, то корни x1 è x2 действительны и совпадают между собой;
åñëè D < 0, то действительных корней уравнение не имеет, но имеет комплексные корни.
8. Глоссарий (словарь терминов)
•n-мерное линейное пространство линейное пространство, в ко-
тором существует n линейно зависимых векторов, а любые из (n + 1) векторов являются линейно зависимыми. ??
• n-мерный вектор упорядоченная совокупность n действительных чисел (компонент). 33
• n-мерные векторы равные такие, что все их соответствующие компоненты равны. ??
•Алгебраическое дополнение Aij элемента aij квадратной матрицы n-
ого порядка минор Mij, взятый со знаком (−1)i+j: Aij = (−1)i+jMij. 14
•Базис n-мерного линейного пространства совокупность n линей-
но независимых векторов этого пространства. ??
• Базисное решение системы линейных уравнений (54) решение, у
которого все свободные переменные равны нулю. |
28 |
• Базисные переменные в системе линейных уравнений то же, что
|
основные переменные в системе линейных уравнений. |
27 |
|
• |
|
|
|
Вектор направленный отрезок AB с началом в точке A и концом в |
|||
|
точке B, который можно перемещать параллельно самому себе. |
29 |
|
• Вектор нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. |
30 |
•Векторное пространство множество векторов с действительными
компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения векторов на число, удовлетворяющие некоторому набору свойств (аксиом). ??
•Векторы коллинеарные векторы, лежащие на одной прямой или
параллельных прямых. 30
• Векторы линейно зависимые векторы, по крайней мере один из которых является линейной комбинацией остальных. ??
•Векторы линейно независимые векторы, не являющиеся линейно зависимыми. ??
•Векторы противоположные векторы такие, что: 1) лежат на одной
прямой или параллельных прямых; 2) имеют равные длины; 3) направлены в противоположные стороны. 30
•Векторы равные векторы такие, что: 1) лежат на одной прямой или
параллельных прямых; 2) имеют равные длины; 3) направлены в одну сторону. 30
•Главная диагональ квадратной матрицы совокупность элементов
a11, a22, ... , ann. 10
•Декартова система координат на плоскости то же, что и прямоугольная система координат на плоскости . 5
70
• Детерминант квадратной матрицы то же, что и определитель
квадратной матрицы. 13 |
|
длина отрезка, изображающего вектор. |
30 |
• Длина вектора |
|
• Конец вектора AB точка B. 29 |
|
−− − −
•Координаты n-мерного вектора x в базисе e1, e2, ... ,en числа x1, x2, ... ,xn из представления (53). ??
•Координаты вектора упорядоченная пара (для вектора на плоско-
сти) или тройка (для вектора в трехмерном пространстве) чисел, являющаяся разностью соответствующих координат конца и начала вектора.
??
•Координаты точки упорядоченная пара (для точки на плоскости)
или тройка (для точки в трехмерном пространстве) чисел, однозначно определяющая положение точки. ??
• Коэффициенты при неизвестных в системе линейных уравнений
(54) числа aij. ??
• Линейная комбинация нескольких векторов сумма произведений
этих векторов на произвольные действительные числа. |
?? |
•Линейное пространство то же, что и векторное пространство.
??
•Матрица размера m × n прямоугольная таблица чисел, содержащая
m строк и n столбцов. 9
• Матрица диагональная квадратная матрица, все недиагольные элементы которой равны нулю. 10
• Матрица единичная квадратная матрица E, все недиагольные эле-
менты которой равны нулю, а диагональные единице. |
10 |
• Матрица квадратная матрица, число строк которой совпадает с числом столбцов. 10
• Матрица квадратная n-ого порядка матрица размера n × n. 10
• Матрица коэффициентов при переменных системы линейных урав-
• |
нений то же, что и матрица системы. 19 |
|
Матрица невырожденная квадратная матрица, определитель ко- |
||
• |
торой не равен нулю. ?? |
|
Матрица нулевая матрица, все элементы которой равны нулю. |
11 |
•Матрица, обратная по отношению к квадратной матрице A матрица A−1 того же размера, что и матрица A и такая, что при умножении этой матрицы на матрицу A как справа, так и слева получается единичная
матрица: A−1 A = A A−1 = E. 20
• Матрица, присоединенная к квадратной матрице A квадратная
матрица того же порядка, элементы которой являются алгебраическими дополнениями к матрице A0, транспонированной к матрице A. 21
• Матрица системы линейных уравнений (54) матрица
|
a11 |
a12 |
· · · |
a1n |
|
||
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
A = |
a. . |
|
21. . . . |
a. .22. . . . |
·.·.·. . . |
a. .2.n. |
. 19 |
|
|
1m |
m2 |
· · · |
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Матрица-столбец матрица, содержащая только один столбец, то
есть матрица размера m × 1. |
11 |
71
• Матрица-столбец переменных в системе линейных уравнений (54) матрица
x1
x2
X = . 20
. . . xm
• Матрица-столбец свободных коэффициентов в системе линейных уравнений (54) матрица
b1
b2
B = . 20
. . . bm
• Матрица-строка матрица, содержащая только одну строку, то есть
матрица размера 1 × n. |
11 |
|
|
|
|
|
|
• Матрица ступенчатая матрица вида |
|
a2k |
|
||||
|
0 |
a22 |
· · · |
a2r |
· · · |
, |
|
a11 |
a12 |
|
a1r |
|
a1k |
|
|
. |
0. . . . . .0. . . .·.·.·. . .a. . . . .·.·.·. . .a. . . |
|
|||||
|
|
|
· · · |
rr |
· · · |
rk |
|
|
|
|
|
|
|
ãäå aii 6= 0 äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , r. 17
• Матрицы равные две матрицы одинакового размера, все соответ-
ствующие элементы которых равны. |
10 |
• Матрицы согласованные две матрицы такие, что число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. ??
•Минор Mij элемента aij квадратной матрицы n-ого порядка определитель матрицы (n − 1)-ого порядка, полученной из исходной матрицы
вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. 14
• Минор k-ого порядка матрицы A определитель квадратной подматрицы k-ого порядка. 16
• Модуль вектора то же, что и длина вектора. 30
• Начало вектора AB точка A. 29
•Общее решение системы линейных уравнений совокупность всех решений системы. 26
•Определитель квадратной матрицы число, равное сумме произведе-
ний элементов строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения. 13
•Основные переменные в системе линейных уравнений r переменных (r ранг матрицы системы), определитель матрицы коэффициен-
тов при которых отличен от нуля. |
27 |
|
• Подматрица матрицы A матрица, полученная из матрицы A вычер- |
||
киванием некоторых строк и/или столбцов. |
16 |
•Произведение n-мерного вектора на число λ вектор, каждая компонента получена из соответствующей компоненты исходного вектора умножением на λ. ??
72
−
• Произведение вектора a на число λ вектор, лежащий с векто-
−
ðîì a на одной прямой или параллельных прямых, имеющий длину
− |
|, направление которого совпадает с направлением вектора |
−, åñëè |
|
|λ|| a |
a |
||
λ > 0 и противоположно ему, если λ < 0. |
30 |
|
•Произведение матрицы A на число λ матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы A íà
число λ. 11
• Произведение (согласованных) матриц A размера m × n è B размера n × l матрица размера m × l, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B. 11
•Прямоугольная система координат на плоскости две взаимно
перпендикулярных оси, пересекающиеся в точке O начале координат, а также масштаб. 5
• |
|
n |
− |
â âèäå |
|
− по базису |
− |
1 |
− |
2 |
− |
n |
|
|
Разложение |
|
|
|
e |
, e |
, ... ,e |
ïðåä- |
|||||||
|
|
-мерного вектора x |
|
|
|
|
||||||||
|
ставление вектора x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− |
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x= x1 |
e1 +x2 |
e2 + . . . + xn en, |
|
|
|
|
(53) |
|||
|
ãäå x1, x2, ... ,xn действительные числа. |
?? |
|
|
|
|
|
|
|
• Размерность линейного пространства максимальное число содер-
|
жащихся в нем линейно независимых векторов. |
?? |
||||||
|
Разность |
− |
− |
векторов |
− è |
− |
, начала которых совпадают век- |
|
• |
a |
− b |
a |
b |
||||
|
|
|
|
|
− |
|||
|
тор, начало которого совпадает с концом вектора |
|||||||
|
b, а конец с концом |
|||||||
|
−. |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
вектора a |
|
|
|
|
|
|
|
• Разность матриц A è B одинакового размера матрица того же размера, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов матриц A è B. 11
• Ранг матрицы наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Или, что то же самое, наибольшее число линейно независимых
строк (столбцов) этой матрицы. |
16 |
•Расширенная матрица системы линейных уравнений матрица си-
стемы, к которой справа приписан столбец свободных коэффициентов. 24
•Решение системы линейных уравнений c n неизвестными совокуп-
ность n чисел (x1 = k1, x2 = k2, ... , xn = kn), при подстановке которых
каждое уравнение системы обращается в верное равенство. |
19 |
•Свободные коэффициенты в системе линейных уравнений (54) числа bi. ??
•Свободные переменные в системе линейных уравнений переменные не являющиеся основными. ??
73
• Система из m линейных уравнений с n переменными (неизвестными) система уравнений вида
|
|
|
a21x1 |
+ a22x2 |
+ . . . |
+a2nxn = b2 |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+ . . . |
+a1nxn = b1 |
, |
|
(54) |
||||||
|
|
|
|
. . . |
. . |
. . . . . . . . |
. . . . . . . . |
. . . |
. . . |
. . |
. . |
. . |
. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1x1 + am2x2 + . . . |
+amnxn = bm, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå |
xj |
( |
|
|
) неизвестные, а |
aij |
, |
bi |
( |
i = 1, 2, . . . , m |
, |
j = |
||||
|
|
j = 1, 2, . . . , n |
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, . . . , n) произвольные числа. 19
• Система уравнений неопределенная система, имеющая более одного решения. 19
• Система уравнений несовместная система, не имеющая решений. 19
• Система уравнений определенная система, имеющая единственное решение. 19
•Система уравнений совместная система, имеющая хотя бы одно решение. 19
•Системы уравнений равносильные системы, имеющие одно и то
же множество решений. 19
• Системы уравнений эквивалентные то же, что и системы урав-
нений равносильные. |
19 |
|
• Собственное значение квадратной матрицы A, соответствующее соб- |
||
ственному вектору X число λ из формулы (55). |
33 |
|
• Собственный вектор квадратной матрицы A вектор-столбец X 6= 0 |
||
такой, что |
AX = λX |
|
|
(55) |
для некоторого числа λ. 33
•Степень Am (m = 2, 3, 4, . . .) квадратной матрицы A произведение m матриц, равных A. 13
•Cтолбец свободных коэффициентов в системе линейных уравнений (54) то же, что матрица-столбец свободных коэффициентов в
системе линейных уравнений (54). ??
• Сумма n-мерных векторов вектор, каждая компонента которого
|
равна сумме соответствующих компонент исходных векторов. |
?? |
||||
|
|
− |
è − |
|
− совпадает с началом |
|
• |
Сумма векторов a |
b |
таких, что конец вектора a |
|
||
вектора |
− |
|
|
−, à |
||
|
|
|
|
|||
|
b вектор, начало которого совпадает с началом вектора a |
|||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
конец с концом вектора b. |
31 |
|
•Сумма матриц A и B одинакового размера матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B. 11
•Транспонирование матрицы переход от матрицы A к матрице A0,
в которой столбцы и строки поменялись местами с сохранением порядка. 13
•Уравнение линии на плоскости уравнение вида F (x, y) = 0 такое,
что координаты точек этой линии и только они удовлетворяют этому уравнению. 5
74
• Характеристическое уравнение квадратной матрицы A уравнение
|A − λE| = 0 с неизвестным λ. 34
• Частное решение системы линейных уравнений произвольное реше-
ние этой системы. 26 |
|
• Элементы матрицы числа, заполняющие матрицу. |
9 |
•Элементы матрицы диагональные элементы, образующие главную диагональ матрицы. 10
Список литературы
[1]Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман, Высшая математика для экономистов: учебник для вузов; под редакцией Н. Ш. Кремера , ЮНИТИ, М., 2002.
[2]В. П. Минорский, Сборник задач по высшей математике , "Наука", М., 2003.
[3]В. И. Ермаков и др., Общий курс высшей математики для экономистов , ИНФРА-М, Ì., 2002.
[4]M. С. Красс, Математика для экономических специальностей , "Äåëî", Ì., 2003.
[5]M. С. Красс, Б. П. Чупрынов, Математика для экономического бакалавриата , ИНФРА-М, М., 2011.
[6]Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, Высшая математика для экономи- ческого бакалавриата , "Юрайт", М., 2012.
[7]М. Я. Выгодский, Справочник по высшей математике , "ÀÑÒ", Ì., 2010.
[8]М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике , "ÀÑÒ", Ì., 2009.
[9]Д. В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие для вузов, "Профессия", СПб., 2003.
[10]В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович, Краткий курс высшей математики , "Наука", М., 1986.
[11]С. Н. Мариничева, Линейная алгебра: методические указания и задания для са-
мостоятельной работы , ИЦ ВГМХА, Вологда Молочное, 2009.
[12] С. Н. Мариничева, Ю. А. Плотникова, М. Г. Плотников, Е. В. Дурова, Векторная алгебра: методические указания и задания для самостоятельной работы сту-
дентов ВГМХА им. Н.В. Верещагина, изучающих дисциплину ¾Математика¿ , ИЦ ВГМХА, Вологда Молочное, 2012.
75