5. Решения типовых задач

5.1.Действия над матрицами.

Пример 1. Даны матрицы

Найдите 4AB − C2.

Решение. Сначала найдем произведение матриц A è B. Одну матрицу мож-

но умножить на другую тогда и только тогда, когда матрицы являются согласованными, то есть число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Так как матрица A имеет размер 3 × 2, а матрица B 2 × 3, то произведение AB имеет смысл (2 = 2), причем при умножении получится матрица размера 3 × 3. В результате умножения A íà B получим:

Теперь матрицу AB умножим на 4. При этом каждый элемент нужно умножить на 4. Заметим, что размер получившейся матрицы будет тем же, что

50

Следующим действием найдем C2, то есть произведение матрицы C на саму себя. Так как матрица C имеет размер 3 × 3, то выражение C2 имеет смысл (3 = 3), причем матрица C2 имеет размер 3 × 3. В результате получим:

Наконец, вычтем из матрицы 4AB матрицу C2. Матрицы можно склады-

вать или вычитать, если размер их одинаков. При сложении и вычитании двух матриц их соответствующие элементы складываются или вычитаются, соот-

ветственно. Так как матрицы 4AB и C2 имеют одинаковый размер 3 Ч 3, их разность имеет смысл. Производя вычитание, получим:

Решение. Выполним элементарные преобразования. Необходимо переставить местами строки или столбцы, чтобы добиться того, чтобы a11 6= 0. Åñëè

это возможно, удобно переставить их так, чтобы a11 = ±1. Поменяем местами первую и четвертую строки:

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на (−4) и (−5), затем прибавим ее

51

ко второй и третьей строке, соответственно:

Обнулим все элементы второго столбца, кроме первых двух элементов. Для этого сначала умножим вторую строку на 3, третью на (−3), а четвертую

íà 14. Затем последовательно сложим вторую строку с третьей и четвертой:

Вычеркнем третью строку, все элементы которой нулевые:

Полученная матрица является ступенчатой. Число ее строк равняется рангу исходной матрицы: r(A) = 3.

ОТВЕТ: r(A) = 3.

Пример 3. Вычислить ранг матрицы

2 4

5 −3

Решение. Выполним необходимые элементарные преобразования. Чтобы сократить вычисления, транспонируем матрицу:

24

Обнулим нижний элемент первого столбца, для чего ко второй строке прибавим первую, умноженную на (−2):

Полученная матрица является ступенчатой. Число ее строк равняется рангу исходной матрицы: r(A) = 2.

ОТВЕТ: r(A) = 2.

52

5.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пример 4. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

4x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0,

x1 − 3x3 + 4x4 = 6,

7x1 + 2x2 − x3 + 6x4 = 2.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Выполним необходимые элементарные преобразования над матрицей. Сна- чала для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на (−4) и (−7), потом прибавим ее ко второй и третьей строке, соответственно:

Обнулим третий элемент второго столбца. Для этого сложим вторую строку с третьей:

Матрица приведена к ступенчатому виду. Этой матрице, эквивалентной матрице Aр, соответствует следующая система, равносильная исходной:

x1 − 3x3 + 4x4 = 6,

Эта система из трех уравнений с четырьмя неизвестными имеет бесконеч- ное множество решений, зависящее от одного ( 4 − 3 = 1) параметра. Для их нахождения разделим переменные на основные и свободные. Число основных переменных должно совпадать с числом уравнений в системе (30), в нашем случае их три. За основные переменные возьмем те, что стоят "на ступень-

ках" системы (30), òî åñòü ýòî x1, x2 è x3. Переменная x4 в этом случае будет свободной (параметром):

x4 = C, C произвольное действительное число .

53

Двигаясь по системе (30) "снизу вверх", последовательно находим неизвестные

Èòàê,

(C произвольная постоянная) общее решение исходной системы. Для нахождения какого-нибудь частного решения возьмем произвольное значение C и подставим его в формулы (31). Полагая, например, C = 0, получим:

Пример 5. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

−2x1 − 3x2 − 2x3 + 7x4 = 5,

x1 + 2x2 + 4x3 − 9x4 = 1,

3x1 + 7x2 + 18x3 − 38x4 = 10.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Выполним элементарные преобразования. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

54

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на 2 è (−3), затем прибавим ее ко второй и третьей строке, соответственно:

Обнулим третий элемент второго столбца. Для этого сложим вторую строку, умноженную на (−1) с третьей:

Вычеркнем третью строку, все элементы которой нулевые:

Матрица приведена к ступенчатому виду. Этой матрице, эквивалентной матрице Aр соответствует следующая система, равносильная исходной:

(

Система (32) состоит из двух уравнений с четырьмя неизвестными и имеет

бесконечное множество решений, зависящее от двух ( 4 − 2 = 2) параметров. Для их нахождения разделим переменные на основные и свободные. Возьмем переменные x1 è x2, стоящие "на ступеньках" системы (32), в качестве основ- ных. Тогда переменные x3 è x4 будут свободными (параметрами):

x3 = C1, x4 = C2 C1, C2 произвольные действительные числа .

Двигаясь по системе (32) "снизу вверх", последовательно находим переменные x2 è x1:

x2 = −6x3 + 11x4 + 7 = −6C1 + 11C2 + 7;

x1 = −2x2 − 4x3 + 9x4 + 1 = −2(−6C1 + 11C2 + 7) − 4C1 + 9C2 + 1 =

= 12C1 − 22C2 − 14 − 4C1 + 9C2 + 1 = 8C1 − 13C2 − 13.

Èòàê,

x1 = 8C1 − 13C2 − 13; x2 = −6C1 + 11C2 + 7; x3 = C1; x4 = C2 (33)

(C1, C2 не зависящие друг от друга произвольные постоянные) общее решение исходной системы. Для нахождения какого-нибудь частного решения

55

выберем произвольным образом значения C1 è C2 и подставим их в формулы (33). Полагая, например, C1 = C2 = 0, получим:

x1 = −13; x2 = 7; x3 = x4 = 0

частное (базисное) решение исходной системы.

ОТВЕТ: x1 = 8C1 − 13C2 − 13, x2 = −6C1 + 11C2 + 7, x3 = C1, x4 = C2 (C1,

C2 не зависимые друг от друга произвольные постоянные) общее решение системы; x1 = −13, x2 = 7, x3 = x4 = 0 частное решение системы.

Пример 6. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

−2x1 − 3x2 − 2x3 + 7x4 = 5,

x1 + 2x2 + 4x3 − 9x4 = 1,

3x1 + 7x2 + 18x3 − 38x4 = 11

(сравните эту систему с системой из примера 5).

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

37 18 −38 11

Выполняя элементарные преобразования над матрицей подобно тому, как это делалось в примере 5, получим:

Последняя строка матрицы справа может быть записана как уравнение

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1,

которое не имеет решений, так как при любых x1, x2, x3 è x4 его левая часть

равна нулю, а правая единице. Это означает, что исходная система не имеет решений.

ОТВЕТ: система не имеет решений.

5.4. Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Решение невырожденных систем линейных уравнений методами Крамера и обратной матрицы.

−

Пример 7. В трехмерном пространстве заданы векторы a1= {2, 4, −3},

−

a3 образуют базис в этом пространстве и разложите по этому базису вектор

−

b. Разложение осуществить, решая систему линейных уравнений, сделав это двумя способами: методом обратной матрицы и методом Крамера.

56

Решение. 1) Три вектора образуют базис в трехмерном пространстве тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, не равен нулю. Составим определитель и вычислим его разложением по первой строке:

Найдем x1, x2 è x3. Для этого запишем равенство (35) в кординатной форме, а затем преобразуем его в систему линейных уравнений:

−4 −3 1 −2 −4 −3x1 + 1x2 − 2x3

5

B = 3 матрица-столбец свободных коэффициентов . (38)

−4

Так как = |A| = −70 6= 0 (см. формулу (34)), поэтому система (36) имеет единственное решение, находящееся по формуле

57

Здесь A−1 матрица, обратная матрице A, которая находится так:

ãäå Aij (i, j = 1, 2, 3) алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Найдем Aij:

A11 = (−1)1+1 8 5 = 8 · (−2) − 5 · 1 = −21;

1 −2

A21 = (−1)2+1 0 −1 = −(0 · (−2) − (−1) · 1) = −1;

1 −2

A12 = (−1)1+2 4 5 = −(4 · (−2) − 5 · (−3)) = −7;

−3 −2

A22 = (−1)2+2 2 −1 = 2 · (−2) − (−1) · (−3) = −7;

−3 −2

A23 = (−1)2+3 2 0 = −(2 · 1 − 0 · (−3)) = −2;

−3 1

A33 = (−1)3+3 2 0 = 2 · 8 − 0 · 4 = 16.

4 8

Таким образом,

и, подставляя найденную матрицу A− в формулу (39), получаем:

58

Здесь i (i = 1, 2, 3) определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой i-ого столбца столбцом свободных коэффициентов B (см. формулу (38)).

Найдем i (i = 1, 2, 3):

5 0 −1

1 = 3 8 5 =

−4 1 −2

= 5 · (8 · (−2) − 5 · 1) + 0 − 1 · (3 · 1 − 8 · (−4)) = 5 · (−21) − 35 = −140;

2 5 −1

= 2 · (3 · (−2) − 5 · (−4)) − 5 · (4 · (−2) − 5 · (−3)) − 1 · (4 · (−4) − 3 · (−3)) =

= 2 · 14 − 5 · 7 − 1 · (−7) = 0;

2 0 5

3 = 4 8 3 =

−3 1 −4

= 2 · (8 · (−4) − 3 · 1) + 0 + 5 · (4 · 1 − 8 · (−3)) = 2 · (−35) + 5 · 28 = 70.

Èòàê, x1 = 2, x2 = 0, x3 = −1 решение системы (36).

5) Подставляя найденное решение системы (36) в формулу (35), получим

59

5.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости.

Пример 8. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(−8; 6), B(16; 13), C(4; −3). Найти:

1)длины сторон треугольника ABC;

2)уравнения сторон треугольника ABC и угловые коэффициенты этих сторон ;

3)доказать, что угол C треугольника ABC прямой;

4)уравнение медианы AM;

5)уравнение высоты CH;

6)координаты точки H основания высоты CH;

7)уравнение окружности с центром в точке M, проходящей через вершины B и C треугольника;

8)построить на чертеже треугольник ABC, медиану AM, высоту CH и окружность из пункта 7).

Решение. 1) Для нахождения длин сторон треугольника ABC воспользуемся

следующей формулой для расстояния d между двумя точками (x1, y1) è (x2, y2) на плоскости:

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1, y1) è (x2, y2),

y = 247 x + 253

уравнение прямой AB. Ее угловой коэффициент kAB = 247 . Аналогично,

60

уравнение прямой AC. Ее угловой коэффициент kAC = −34 . Аналогично предыдущему,

уравнение прямой BC. Ее угловой коэффициент kBC = 43 .

3)Чтобы доказать, что угол C треугольника ABC прямой, достаточно показать, что прямые AC è BC перпендикулярны. Условие перпендикулярности

двух прямых с угловыми коэффициентами k1 è k2 записывается так:

есть условие (44) выполняется, прямые AC è BC перпендикулярны и угол при вершине C прямой.

4) Найдем сначала координаты точки M основания медианы AM. Òàê êàê M середина стороны BC, то координаты (xM , yM ) точки M находятся

ãäå (xB, yB) è (xC, yC) координаты точек B è C, соответственно. Подставляя в (45) координаты точек B è C, получим:

координаты точки M.

Запишем уравнение медианы AM, для чего подставим в (42) координаты точек A è M:

общее уравнение медианы AM.

5)Уравнение высоты CH треугольника ABC удобно искать в виде уравнения пучка прямых:

Так как высота CH проходит через точку C, можно в качестве x1 è y1 â уравнении (47) взять координаты этой точки. Уравнение (47) приобретет вид

61

Остается найти k = kCH угловой коэффициент прямой CH. Òàê êàê CH высота треугольника ABC, то прямые CH è AB перпендикулярны. Значит, согласно формуле (42), kCHkAB = −1. Òàê êàê kAB = 247 (см. пункт 2), то

Подставляя найденное значение kCH = k в формулу (48), получим:

уравнение высоты CH.

6)Точка H точка пересечения прямых AB è CH. Поэтому, координаты (x, y) точки H являются решением системы уравнений, состоящих из уравнений прямых AB è CH. Составим и решим эту систему (уравнения прямых AB è CH были найдены выше):