ФГБОУ ВПО Вологодская государственная молочнохозяйственная

академия им. Н. В. Верещагина Кафедра высшей математики и физики

"ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

методическое пособие для студентов экономического факультета (заочная и очно-заочная формы обучения,

направления подготовки 080100 "Экономика", 080200 "Менеджмент")

Вологда Молочное

2012

3

4. Задачи для контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2. Ранг матрицы и его нахождение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . 46 4.4. Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису.

Решение невырожденных систем линейных уравнений методами Крамера и обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6. Системы линейных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7. Собственные значения и векторы матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Решения типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.1. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2. Ранг матрицы и его нахождение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . 53

5.4.Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Решение невырожденных систем линейных уравнений метода-

ми Крамера и обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.6. Системы линейных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.7. Собственные значения и векторы матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6. Материалы для подготовки к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1. Список экзаменационных вопросов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.2. Примерные темы практических задач для экзамена . . . . . . . . . . . . . 68 6.3. Пример экзаменационного билета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7. Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.1. Нахождение корней квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8. Глоссарий (словарь терминов) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4

Введение1. Краткий курс лекций

1.1. Лекция 1.

1.1.1. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости.

Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных осей (ось Ox ось абсцисс è îñü Oy îñü îð-

динат), точки O начала координат, в которой пересекаются оси, а также масштаба. Положение любой точки плоскости однозначно определяется парой чисел (x, y), которые называются координатами точки. На рис. 1 изображены

îñü Ox, îñü Oy, точка O(0, 0), масштаб, точки A(4, 2), B(−1, 3), (6, 0).

Ðèñ. 1.

Пусть на плоскости заданы точки A(x1, y1) è B(x2, y2). Тогда расстояние между точками A è B находится по следующей формуле:

1.1.2. Уравнение линии на плоскости.

на плоскости называется уравнение, связывающее переменные x è y и такое, что координаты точек этой линии и

только они удовлетворяют этому уравнению. В общем случае уравнение линии на плоскости имеет вид

F (x, y) = 0.

Выведем уравнение окружности радиуса R с центром в точке

Пусть M(x, y) произвольная точка окружности. Тогда расстояние от точки M до точки M0 постоянно и равно R:

|MM0| = R.

5

Выражая |MM0| через координаты точек M è M0 с помощью формулы (1), получим:

p

(x − x0)2 + (y − y0)2 = R,

(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2

уравнение искомой окружности (см. рис. 2).

Ðèñ. 2.

1.1.3. Уравнение прямой на плоскости.

Рассмотрим различные формы записи уравнения простейшей линии на плоскости прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные

точки (x1, y1) è (x2, y2), может быть записано в виде

Общее уравнение прямой можно записать так:

Ax + By + C = 0,

ãäå A, B, C константы, причем A è B не равны нулю одновременно. Подробнее изучим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Постоянная k называется угловым коэффициентом прямой и совпадает с тангенсом угла α между прямой и положительным направлением оси Ox (ñì. ðèñ. 3):

Величина b в уравнении (4) совпадает с ординатой точки пересечения данной прямой и оси Oy (ñì. ðèñ. 3).

Ðèñ. 3.

6

Рассмотрим частные случаи расположения прямой, заданной уравнением (4), на плоскости.

1.Пусть k > 0, тогда (см. формулу (5)) tg α > 0 è óãîë α острый. Схематически такая прямая изображена на рис. 4.

2.Пусть k < 0, тогда (см. формулу (5)) tg α < 0 è óãîë α тупой. Схематически такая прямая изображена на рис. 5.

3.Пусть k = 0, тогда (см. формулу (5)) tg α = 0 è α = 0, то есть прямая параллельна оси Ox (схематически такая прямая изображена на рис. 6).

4.Пусть b = 0, тогда прямая проходит через начало координат (схемати- чески такая прямая изображена на рис. 7).

5.Пусть k = 1, b = 0, то есть уравнение этой прямой имеет вид y = x. Эта прямая проходит через начало координат ( b = 0) под углом α = 45◦ ê положительному направлению оси Ox (k = tg α = 1), то есть является биссектрисой первого и третьего координатных углов (см. рис. 8).

6.Пусть k = −1, b = 0, то есть уравнение этой прямой имеет вид y = −x.

Эта прямая проходит через начало координат ( b = 0) под углом α = 135◦ к положительному направлению оси Ox (k = tg α = −1), òî åñòü

является биссектрисой второго и четвертого координатных углов (см. рис. 9).

7

Если прямая с угловым коэффициентом k проходит через точку (x1, y1) то ее уравнение можно записать так:

y − y1 = k(x − x1)

уравнение пучка прямых .

1.1.4.Тангенс угла между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые l1 è l2 заданы уравнениями вида (5):

l1 : y = k1x + b1, l2 : y = k2x + b2.

8

Çíàÿ tg ϕ, с помощью таблиц, калькуляторов и т.п. можно найти сам угол

ϕ.

Выведем условие параллельности l1 k l2 и перпендикулярности l1 l2 ïðÿ- ìûõ l1 è l2.

Пусть l1 k l2. Тогда ϕ = 0, tg ϕ = 0, и, согласно формуле (6),

k1 − k2

= 0

1 + k1k2

èk1 = k2. При этом возможны 2 случая. Если k1 = k2 è b1 = b2, то прямые l1

èl2 совпадают. Если k1 = k2, íî b1 6= b2, то прямые l1 è l2 строго параллельны.

Обратное тоже верно. Итак,

k1 = k2, b1 6= b2

условие параллельности прямых l1 è l2.

Пусть l1 l2. Тогда ϕ = 90◦, è tg ϕ не существует. Это означает, согласно формуле (6), что знаменатель дроби в правой части (6) равен нулю:

1+ k1k2 = 0,

èk1 · k2 = −1. Обратное тоже верно: если k1 · k2 = −1, òî l1 l2. Èòàê,

k1 · k2 = −1

условие перпендикулярности прямых l1 è l2.

1.2. Лекция 2.

1.2.1. Матрицы и их основные виды.

Одним из основных понятий линейной алгебры является понятие матрицы.

Определение 2. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются е¼ элементами.

9

Матрицы обозначаются: A, B, C. Иногда дополнительно указывается раз-

A , B и т.д. В общем виде матрица записывается

m×n m×n

, ãäå

или, сокращ¼нно A = aij i = 1, . . . , m номер строки, j = 1, . . . , n

номер столбца, aij элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца.

Пример 3. Матрица

имеет размер 3×2. Укажем несколько е¼ элементов: a21 = −1, a32 = 4, a11 = 3.

Определение 4. Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение 5. Матрица называется квадратной n-ого порядка, если число е¼ строк равно числу столбцов и равно n.

является квадратной матрицей второго порядка.

Определение 7. Элементы матрицы aij, у которых i = j, называются диагональными и они образуют главную диагональ матрицы.

Пример 8. В матрице A из примера 3 главную диагональ образуют элементы a11 = 3 è a22 = 0.

Определение 9. Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной.

является диагональной.

Определение 11. Диагональная матрица n-ого порядка называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается E, если все е¼ диагональные элементы равны единице.

10

Определение 13. Матрица любого размера называется нулевой, если все е¼ элементы равны нулю.

Определение 14. Матрица размера m×1 называется матрицей-столбцом.

Определение 15. Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой.

1.2.2. Действия над матрицами.

Определение 17. Произведением числа λ на матрицу A размера m × n

называется матрица B = λ · A, размера m × n, элементы которой bij = λ · aij,

Определение 19. Суммой (разностью) двух матриц A и B одного размера m Ч n называется матрица C = A ± B того же размера, элементы которой

Произведение двух матриц A и B определено тогда и только тогда, когда число столбцов первого множителя A равно числу строк второго множителя

B.

Определение 21. Произведением двух матриц A è B называется мат-

m×k k×n

ðèöà C = A · B, элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-

m×n

ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B, i = 1 . . . m, j = 1 . . . n.

Пример 22. Матрицу

невозможно умножить на матрицу

5 6 B = 4 0 ,

11

так как число столбцов матрицы A равно 3 и не совпадает с числом строк матрицы B.

так как число столбцов матрицы A равно 2 и совпадает с числом строк матрицы B. Произведение A · B имеет размеры 3 × 3. Число строк произведения равно числу строк первого множителя A, число столбцов произведения равно числу столбцов второго множителя B. Найд¼м произведение

Пример 24. Матрицу

1 4 A = 3 5

можно умножить на матрицу

так как число столбцов матрицы A равно 2 и совпадает с числом строк матрицы B. Произведение A · B имеет размеры 2 Ч 4. Число строк произведения равно числу строк первого множителя A, число столбцов произведения равно числу столбцов второго множителя B. Найд¼м произведение

Произведения AB и BA не обязаны совпадать, даже если они оба определены и имеют один размер.

Замечание 26. Единичная матрица E обладает тем свойством, что если имеет смысл выражение EX (XE), то

EX = X (соответственно, XE = X).

12

Определение 27. Степенью Am (m = 2, 3, 4, . . .) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A:

Am = A · A · . . . · A .

| {z } m экземпляров

Матрица Am является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица

.

Пример 28. Пусть

Определение 29. Матрица A0 называется транспонированной к матрице A, если е¼ строки совпадают со столбцами матрицы A, а столбцы совпадают со строками матрицы A.

Если матрица A имеет размер m Ч n, то транспонированная матрица A0 имеет размер n Ч m.

Пример 30. Транспонируем матрицу

27

A = 0 −1 .

3×2 3 4

Поменяем строки и столбцы матрицы A местами и получим транспонированную матрицу

1.3. Лекция 3.

1.3.1. Определители квадратных матриц.

Каждой квадратной матрице A можно поставить в соответствие определенное число, называемое определителем (детерминантом) этой матрицы и обо-

значающееся символом = A . Понятие определителя является одним из

ключевых понятий линейной алгебры. Выясним, по какому закону квадратной матрице ставится в соответствие ее определитель. Сначала рассмотрим квадратные матрицы малых порядков: первого, второго и третьего.

ется число = a11 = a11.

Определение 32. Определителем второго порядка матрицы

a11 a12 a21 a22

называется число

13

Пример 33.

Определение 34. Определителем третьего порядка матрицы

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

называется число

Пример 35. Вычислим определитель

3 −1 2

−2 7 4

. По формулам (8) è (7) находим:

= 3 · (7 · 5 − 4 · 0) + (−2 · 5 − 4 · 1) + 2 · (−2 · 0 − 7 · 1) = 105 − 14 − 14 = 77.

Перейдем к общему случаю. Пусть A квадратная матрица n-ого порядка.

квадратной матрицы A n- ого порядка называется определитель матрицы (n−1)-ого порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Пример 37. Минором элемента a23 матрицы

−Mij, åñëè i + j нечетно.

14

Пример 39. A12 = (−1)1+2M12 = −M12; A31 = (−1)3+1M31 = M31.

Определение 40. Определитель (детерминант) произвольной квадратной матрицы есть сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

1.3.2. Свойства определителей.

1. Определитель матрицы не изменится, если матрицу транспонировать.

2.При умножении строки (или столбца) определителя на число c определитель увеличится в c ðàç.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменит знак.

4.Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

5.Если определитель содержит две равные строки (столбца) или пропорциональные строки (столбцы), то он равен нулю.

так как первый и второй столбец определителя пропорциональны.

6.Определитель не изменится, если в н¼м к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца).

15

так как последний определитель получен из первого прибавлением к третьей строке второй.

7.Определитель матрицы, все элементы над (под) главной диагональю которой равны нулю, равен произведению диагональных элементов:

В частности, определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

1.3.3. Ранг матрицы и его вычисление.

Понятие ранга матрицы играет важную роль при решении ряда математи- ческих и прикладных (в том числе экономических) задач.

Определение 49. Подматрицей матрицы A называется матрица, полученная из матрицы A вычеркиванием некоторых строк и/или столбцов.

Определение 50. Минорами k-ого порядка матрицы A называются определители ее квадратных подматриц k-ого порядка.

Например, у матрицы A размера 3 Ч 5 существуют миноры первого, второго и третьего порядков. У матрицы A размера mЧn существуют миноры порядка k 6 min{m, n}.

Определение 51. Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение: r(A).

16

Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

1)Åñëè m × n размер матрицы A, òî r(A) 6 min{m, n}.

2)Åñëè A квадратная матрица n-ого порядка, то r(A) = n тогда и только тогда, когда |A| 6= 0.

3)r(A) = 0 тогда и только тогда матрица A нулевая, то есть все ее элементы равны нулю.

Пример 52. Пользуясь определением 51, вычислим ранг матрицы

Матрица A имеет размер 4 Ч 4, поэтому r(A) 6 4. Но |A| = 0, так как матрица A содержит нулевой столбец, значит, r(A) 6 3. При этом матрица A содержит ненулевой минор 3-его порядка

поэтому r(A) = 3.

Но в большинстве случаев вычисление ранга матрицы перебором миноров трудоемко. Более удобно вычислять ранг матрицы, проводя над ней следующие

элементарные преобразования :

1)изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

2)вычеркивание нулевой строки (столбца) матрицы;

3)умножение всех элементов строк (столбцов) матрицы на ненулевое число;

4)прибавление к элементами строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца);

5)транспонирование матрицы.

Теорема 53. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований матрица приводится к ступенча- тому виду.

Определение 54. Cтупенчатой матрицей называется матрица A âèäà

17

Ступенчатая матрица содержит ненулевой минор r-о порядка:

a11 a12 · · · a1r

òàê êàê âñå aii 6= 0 (i = 1, 2, . . . , r), поэтому справедлива

Теорема 55. Ранг ступенчатой матрицы равен r числу ее строк.

Пример 56. Вычислим ранг матрицы

Выполним необходимые элементарные преобразования. Если это возможно,

удобно переставить строки и/или столбцы так, чтобы a11 = ±1. Поменяем местами первую и вторую строки:

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на (−3), (−4) и 7 и прибавим ко второй, третьей и четвертой строке, соответственно:

Обнулим все элементы второго столбца, кроме первых двух элементов. Для этого последовательно умножим вторую строку на (−1) и 3, затем прибавим к третьей и четвертой строке, соответственно:

Вычеркнем нулевые строки (третью и четвертую):

Полученная матрица является ступенчатой. Число ее строк равняется рангу исходной матрицы: r(A) = 2.

18

ãäå xj (j = 1, 2, . . . , n) неизвестные, а aij, bi (i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n) произвольные числа.

Определение 58. Решением системы (9) называется совокупность n чисел (x1 = k1, x2 = k2, ... ,xn = kn), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение 59. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ), если они имеют одно и то же множество решений.

Определение 60. Система (9) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение 61. Система (9) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Таким образом, имеет место следующая схема:

Ðèñ. 11.

С системой (9) можно связать три матрицы:

19

x1

Запишем систему (9) в матричной форме. Для этого сначала перемножим матрицы A è X:

то есть в результате получается матрица, содержащая левые части уравнений системы (9). Так как левые части системы должны совпадать с соответствую-

щими правыми частями, то эта матрица и матрица B должны быть равными:

Формула (10) и является матричной формой записи системы (9). Заметим, что линейное уравнение с одной переменной, изучаемое в школьном курсе, тоже можно записать в виде (10). Разница лишь в том, что если рассматривать

одно линейное уравнение с одной переменной, то под A, X и B в системе (10) надо понимать числа, а если рассматривать систему уравнений, то A, X и B в системе (10) будут означать матрицы.

1.4.2. Обратная матрица и ее нахождение. −1 такое, Для всякого числа a 6= 0 можно определить обратное ему число a

÷òî a · a−1 = 1. Аналогично вводится понятие матрицы, обратной данной.

Определение 62. Пусть A квадратная матрица. Матрицей, обратной к матрице A, называется квадратная матрица того же порядка A−1 такая, что

A · A−1 = A−1 · A = E.

Ниже приведены условие существования обратной матрицы и формула для

ååнахождения.

Определение 63. Квадратная матрица называется невырожденной, åñëè

ååопределитель не равен нулю.

Теорема 64. Если A квадратная матрица, то обратная матрица A−1 существует тогда и только тогда, когда матрица A является невырожденной.

20

ãäå = |A|, Aij алгебраические дополнения к элементам матрицы A.

Замечание 66. Матрица из алгебраических дополнений, стоящая в правой части формулы (11) называется матрицей, присоединенной к матрице A.

Пример 67. Докажем, что для матрицы

существует обратная матрица A−1 и найдем ее. Имеем:

2 −3 4

= |A| = 1 5 −2 =

4 1 −5

= 2·(5·(−5)−(−2)·1)+3·(1·(−5)−(−2)·4)+4·(1·1−5·4) = −46+9−76 = −113.

6= 0, значит, по теореме 64, существует обратная матрица A−1. Ïî ôîð- ìóëå (11)

ãäå Aij (i, j = 1, 2, 3) алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Найдем Aij:

A11 = (−1)1+1 5 −2 = 5 · (−5) − (−2) · 1 = −23;

1 −5

A21 = (−1)2+1 −3 4 = −((−3) · (−5) − 4 · 1) = −11;

1 −5

A31 = (−1)3+1 −3 4 = (−3) · (−2) − 4 · 5 = −14;

5 −2

A12 = (−1)1+2 1 −2 = −(1 · (−5) − (−2) · 4) = −3;

4 −5

A22 = (−1)2+2 2 4 = 2 · (−5) − 4 · 4 = −26;

4 −5

A32 = (−1)3+2 2 4 = −(2 · (−2) − 4 · 1) = 8;

1 −2

A13 = (−1)1+3 1 5 = 1 · 1 − 5 · 4 = −19;

4 1

21

Таким образом,

1.4.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Пусть в системе линейных уравнений число уравнений совпадает с числом неизвестных (m = n). Предположим, что матрица A данной системы невырожденна. Тогда, по теореме 64 существует обратная матрица A−1. Умножим обе части равенства (10) слева на A−1, затем проведем преобразования:

A−1 · A · X = A−1 · B, E · X = A−1 · B, X = A−1 · B.

Таким образом, верна

Теорема 68. Пусть задана система линейных уравнений, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, причем матрица системы является невырожденной. Тогда система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле

Пример 69. Решим методом обратной матрицы систему линейных уравне-

Так как = |A| = −113 6= 0 (см. пример 67), то система (13) имеет единственное решение. По формуле (12)

X = A−1 B,

и, подставляя в последнюю формулу матрицу A−1, найденную в примере 67, получим:

(−23) · (−4) + (−11) · 15 + (−14) · 19

1 = −113 (−3) · (−4) + (−26) · 15 + 8 · 19 =

(−19) · (−4) + (−14) · 15 + 13 · 19

22

1.4.4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Теорема 70. Пусть задана система линейных уравнений, в которой число уравнений совпадает с числом неизвестных (m = n), причем матрица A си-

стемы является невырожденной. Тогда система имеет единственное решение (x1, x2, . . . , xn), которое можно найти по следующим формулам Крамера:

Пример 71. Решим по формулам Крамера систему линейных уравнений

2x1 − 3x2 + 4x3 = −4,

x1 + 5x2 − 2x3 = 15,

4x1 + x2 − 5x3 = 19

(система та же, что и в задаче 69). Запишем матрицы