Теорема 97. При сложении (вычитании) векторов происходит сложение

для векторов a= (a1, a2, a3) è b= (b1, b2, b3) в пространстве.

1.6.3. n-мерные векторы. Векторное пространство.

В предыдущем пункте мы увидели, что векторы можно рассматривать как упорядоченные пары или тройки (в зависимости от того, рассматривается вектор на плоскости или в пространстве) чисел компонент вектора. Можно этим не ограничиваться и рассматривать упорядоченные наборы с произвольным

числом компонент. Так естественным образом возникает понятие n-мерного

вектора, имеющее многочисленные применения в математике и многочисленных прикладных науках. Благодаря тому, что удобно оперировать данными,

записанными в виде упорядоченного набора чисел, n-мерные векторы и свя-

занные с ними понятия часто используются во многих экономических задачах и моделях.

Определение 98. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность (набор) n действительных чисел, называемых компонентами вектора.

−

Òàê, a= (a1, a2, . . . , an) n-мерный вектор с компонентами a1, a2, . . . , an.

1.6.4. Линейная зависимость векторов. Размерность и базис векторного пространства??? .

1.7. Лекция 7.

1.7.1. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Понятие собственного вектора и собственного значения матрицы часто используется при изучении ряда вопросов матричной алгебры и е¼ приложений.

Определение 99. Ненулевой вектор-столбец X 6= 0 называется собственным вектором квадратной матрицы A, если существует такое число λ, ÷òî

A · X = λ · X.

Число λ называется собственным значением матрицы A, соответствующим собственному вектору X.

33

Пример 100. Вектор

является собственным вектором матрицы

3−2

−8 3

Из определения 99 следует, что при умножении матрицы A на вектор X данный вектор переходит в коллинеарный самому себе вектор, то есть изменяется в λ ðàç.

Равенство из определения 99 можно записать в разв¼рнутой форме

a11x1 + a12x2 + . . . +a1nxn = λx1,

a21x1 + a22x2 + . . . +a2nxn = λx2,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1x1 + an2x2 + . . . +annxn = λxn,

ãäå

Последняя система может быть преобразована к следующему виду:

Чтобы полученная однородная система имела ненулевое решение (то есть чтобы существовал собственный вектор матрицы A), необходимо и достаточно, чтобы определитель этой однородной системы равнялся нулю:

34

Пример 102. Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы

Для нахождения собственных значений λ данной матрицы запишем ее характеристическое уравнение (см. определение (24)):

Решаем уравнение (51):

(7 − λ)(−1 − λ) − 9 · 1 = 0 −7 + λ − 7λ + λ2 − 9 = 0

λ2 − 6λ − 16 = 0.

Последнее уравнение является квадратным. Используя для его решения формулы из справочного материала (см. пункт 7.1), находим:

собственные значения матрицы A. Найд¼м собственные векторы

x1 X1 = x2 ,

соответствующие собственному значению λ1 = −2. Для этого рассмотрим систему (23), подставив в не¼ λ = λ1 = −2:

−

Последняя система равносильна одному уравнению 9x1 + x2 = 0. Так как уравнение всего одно, а неизвестных две, значения одной из них можно выбрать

произвольно. Полагая x1 = C, получаем векторы

C

X1 = −9C ,

которые при любом ненулевом C являются собственными векторами матрицы

A.

Аналогично находим собственные векторы X2, соответствующие собствен- ному значению λ2. Рассмотрим систему (23), подставив в не¼ λ = λ2 = 8:

35

Последняя система равносильна одному уравнению −x1 + x2 = 0. Так как уравнение всего одно, а неизвестных две, значения одной из них можно выбрать

произвольно. Полагая x1 = C, получаем векторы

C

X1 = C ,

которые при любом ненулевом C являются собственными векторами матрицы

A.

Таким образом, λ1 = −2, λ2 = 8 собственные значения, а векторы (C, −9C), (C, C) (C 6= 0 произвольная постоянная) собственные векторы матрицы

A.

1.7.2. Пример использования понятий линейной алгебры в экономических моделях. Линейная модель обмена.

В данном пункте приведена простейшая математическая модель, использующая понятия собственного значения и собственного вектора матрицы. Эта модель называется линейной моделью обмена , или, иначе, моделью международной торговли, и позволяет анализировать процесс взаимных закупок товаров.

Суть модели состоит в следующем. Рассмотрим n стран и величины x1, x2,

. . . , xn бюджеты этих стран, расходуемые на закупку товаров (торговые бюджеты). Долю бюджета xj, которую j-ая страна тратит на закупку товаров у i-

ой страны, обозначим через aij. Матрица долей бюджета или коэффициентов имеет вид:

Так как весь торговый бюджет страны расходуется только на закупки товара внутри страны и у других стран, то выполняются равенства

Определение 103. Матрица вида (26), для которой выполняется свойство

(27), называется структурной матрицей торговли .

Выручка i-ой страны от внутренней и внешней торговли находится по формуле

Pi = ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn.

Предположим, что торговля всех n стран является бездефицитной. Это озна- чает, что выручка от внутренней и внешней торговли каждой страны не меньше ее торгового бюджета, то есть для всех i = 1, 2, . . . , n должно выполняться

неравенство Pi > xi, или в развернутой форме

36

Из экономических соображений ясно, что если хотя бы одна страна имеет

торговый профицит (выручка строго больше торгового бюджета, Pi > xi), òî хотя бы одна из других стран должна иметь торговый дефицит (выручка стро-

го меньше торгового бюджета, Pi < xi). Поэтому, бездефицитности торговли одновременно всех n стран можно достигнуть только в том случае, когда торговля всех стран сбалансирована (выручка от внутренней и внешней торговли равна ее торговому бюджету, Pi = xi). Это означает, что в формулах (28) âñå

знаки > нужно заменить на равенства. Подтвердим теперь этот факт путем строгих математических рассуждений. Пусть выполнены условия бездефицитной торговли (28). Просуммируем все неравенства системы (28), получим:

В скобках в последнем неравенстве стоят суммы элементов каждого столбца структурной матрицы торговли, которые по свойству (27) равны единице.

Поэтому, формула (29) принимает вид:

x1 + x2 + . . . + xn > x1 + x2 + ... + xn,

откуда следует, что все условие бездефицитной торговли возможны лишь со знаком равенства. Таким образом, условия (28) принимают вид равенств:

или в матричной форме

AX = X.

Таким образом, задача о сбалансированности торговли n стран свелась к нахождению собственного вектора X структурной матрицы торговли A, соот-

ветствующего собственному значению λ = 1. Координаты этого собственного

вектора будут пропорциональны торговым бюджетам участвующим в торговле стран.

Пример 104. Структурная матрица торговли тр¼х стран имеет вид

0, 3 0, 2 0, 10, 2 0, 1 0, 6 . 0, 5 0, 7 0, 3

Определим, при каких соотношениях торговля между этими странами является сбалансированной. Для этого найдем собственный вектор X структурной

матрицы A, соответствующий собственному значению λ = 1, то есть решим матричное уравнение AX = X или, что то же самое, систему:

0, 3x1 + 0, 2x2 + 0, 1x3 = x1,

0, 2x1 + 0, 1x2 + 0, 6x3 = x2,

0, 5x1 + 0, 7x2 + 0, 3x3 = x3.

37