Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

процессах теплопроводности для одинаковых значений Ю- далеки друг от друга по координате Zy по абсолютной величине их различие умень­

шается с у1Леньшением ^ .

Распределение напряжений в поглощаю­ щем излучение упругом теле при импульсном

коэффихщента поглощения излучения v [31]. Если пренебречь процессом теплопроводности при определении температуры в поглощающем излучение теле, то

чения. Нормальное напряжение в этом случае при однородных краевых условиях задается со­ отношением

Рис. 4.2.3. РаспределеЕше напряжений в поглощающем излучение полуограниченном упругом теле

рис. 4.2.3. Сплошные кривые соответствуют слу­ чаям, когда скорость распространения теплоты конечна, штриховые - параболическому распре­ делению температуры и штрихпункгирные - соотношению (4.2.50). Различия в положениях и величине экстремумов приведенных кривых

существенно зависят от параметра К ; с умень­

шением R при фиксированном значении п эти кривые сближаются. То же самое происходит и

при уменьшении п для фиксированных значе-

НИИ R 2. При п<1 распределение напряжений в упругом теле можно приближенно определять по соотношению (4.2.50).

4.2.4.ЗАДАЧИ ТЕРМОМЕХАНИКИ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

Во многих технологических процессах со­ временного машиностроения встречаются твер­ дые деформируемые тела, масса и конфигурация которых изменяются вследствие непрерывного или дискретного присоединения или удаления частиц материала. При этом рассматриваемое тело находится, как правило, под действием определенных объемных и поверхностных тер­ момеханических нагрузок. В качестве наиболее распространенных процессов, в которых прихо­ дится иметь дело с телами, подвергающимися термомеханическому нагружению одновременно с присоединением материала извне, можно ука­ зать, например, намотку изделий из полимерных

икомпозиционных материалов, напьшение раз­ ного рода деталей и покрытий из керамических

идругих тугоплавких материалов, кристаллиза­ цию слитков в технологических линиях непре­ рывной разливки, выращивание кристаллов, различные варианты технологий изготовления сплавов способом быстрого отверждения и др. Имеется также широкий круг процессов, в кото­ рых деформируемое тело, подвергающееся тер­ момеханическому нагружению, теряет свои ма­ териальные частицы вследствие плавления, испа­ рения, изнашивания, распада и т.д. В качестве примеров таких процессов можно упомянуть выгорание твердых топлив, абляцию при обдуве, коррозионные повреждения и др.

Тела, испытывающие присоединение или удаление частиц, называют телами переменного состава. Этот термин следует считать заимствованньпк* из классической механики тел перемен­ ной массы, где он имеет более узкое содержа­ ние, поскольку деформированность тел там не рассматривается. Задачи, возникающие при ма­ тематическом моделировании термонапряженно­ го состояния таких деталей и элементов конст­ рукций, относят задачам термомеханики тел переменного состава.

Если тело изменяет массу и конфигурацию только вследствие присоединения частиц мате­ риала извне, то его называют наращиваемым (или растущим) телом. Процесс наращивания, осуществляется посредством присоединения "конечных объемов дополнительного материала в отдельные моменты времени, называют дискретньв1 наращиванием. Если к растущему телу в каждый бесконечно малый промежуток времени (на рассматриваемом интервале) присоединяется элемент материала, имеющий инфинитезималь-

ные размеры, то имеет место непрерывное на­ ращивание.

С точки зрения построения математичес­ кой модели процессов термомеханического нагружения растущих тел основной интерес пред­ ставляет случай непрерывного наращивания. Это связано с тем, что такие процессы, как, напри­ мер, температурное напыление керамики или намотка тонких слоев и нитей на оправку, осу­ ществляются путем присоединения бесконечно малых масс материала за каждый бесконечно малый промежуток времени. Кроме того, неко­ торые процессы дискретного наращивания, на­ пример послойное намоноличивание гидротех­ нических сооружений с помощью технологии укатанного бетона, допускают аппроксимацию соответствующим непрерывньп^ процессом. Ак­ туальность исследования процессов непрерывно­ го наращивания определяется также тем обстоя­ тельством, что при математическом моделирова­ нии таких процессов возникают постановки за­ дач, принципиально отличающиеся от задач механики тел постоянного состава. Теоретичес­ кий анализ указанного круга задач составляет предмет механики растущих тел, основные пред­ ставления которой изложены в монографии [1] (там же приведены постановки и решения неко­ торых модельных задач, а также дополнительная библиография).

В технологических процессах наращивания предусматривается специальная подготовка мате­ риала, предназначенного для нанесения на суб­ страт, а непосредственно процесс нанесения часто осуществляют путем интенсивного темпе­ ратурного воздействия на наносимый материал. Например, в процессах плазменного напыления мелкодисперсные частицы материала расплавля­ ются в струе высокотемпературной плазмы. Тех­ нологические операции намотки осуществляют, как правило, с применением пластифицирован­ ного связующего, при отверждении которого протекают различные физико-химические про­ цессы, связанные с теплообменом. Аналогичным образом, процесс твердения бетона при намоноличивании массивных конструкций сопровожда­ ется вьщелением значительного количества теп­ ла, обусловленного реакциями гидратации це­ мента. Это означает, что при построении теоре­ тических моделей процессов наращивания ука­ занного типа необходимо учитывать теплообмен между приращиваемыми элементами и наращиваемьп^ телом, а также тепловьщеление, проте­ кающее в теле при изменениях структурного состояния материала.

Принципиальная особенность наращивае­ мых тел заключается в том, что каждый прира­ щиваемый элемент начинает деформироваться в составе тела только с определенного момента времени, называемого моментом присоединения данного элемента. До этого момента элемент может быть приведен в произвольное термонап­ ряженное состояние, не согласованное с состоя­

нием поверхности тела в том месте, где он при­ ращивается.

Формоизменение наращиваемого тела (т.е. изменение его геометрической формы) имеет два существенно различных аспекта. С одной сторо­ ны, это деформация, вызванная действием при­ ложенных к телу поверхностных и объемных термосиловых нагрузок, с другой стороны, это изменение формы вследствие неравномер11ого притока материала к разным участкам внешней поверхности тела. Термин "деформация" приме­ нительно к растущему телу имеет обычное для механики сплошной среды содержание, но от­ ражает только первый из указанных аспектов. Второй аспект, в принципе никак не связанный с первым, служит характерным признаком на­ ращиваемого тела. Вводимое при формулировке геометрически линейных задач механики расту­ щих тел предположение о малости деформаций не накладывает никаких офаничений на формо­ образование рассматриваемого тела вследствие наращивания.

С точки зрения кинематики конечных де­ формаций отличие наращивания тела от тел по­ стоянного состава состоит в том, что для него невозможно зафиксировать какую-либо единую отсчетную конфигурацию частиц, по отношению к которой имело бы смысл говорить об измене­ нии полевых величин (перемещений, деформа­ ций и др.), определяющих состояние наращива­ емого тела. Действительно, поскольку тело в процессе наращивания непрерывно пополняется новыми элементами, то произвольно выбранный элемент его не имеет прообраза ни в одной из конфигураций тела в моменты времени, предше­ ствующие моменту присоединения рассматрива­ емого элемента. Кроме того, так как различные частицы могут присоединяться к телу в одной и той же точке пространства (имеется в виду слу­ чай конечных деформаций), для наращиваемого тела невозможно ввести корректное определение вектора перемещения.

Поскольку приращиваемый элемент вовле­ кается в деформирование в составе растущего тела с момента его присоединения, то лишь с этого момента можно говорить о его совместном деформировании с окружающими элементами. В рамках бесконечно малых деформаций непре­ рывно наращиваемого тела условия совместности полных деформаций среды не выполняются. Совместными оказываются лишь скорости де­ формаций, что ЯЕитяется следствием инкремен­ тального характера присоединения и загружения элементов тела [I].

То обстоятельство, что применительно к растущему телу условия совместности выполня­ ются для скоростей деформаций, приводит к необходимости задания специфических началь­ ных условий для всех компонентов тензора де­ формаций, которые фактически определяют начальные деформации каждого элемента расту­ щего тела в момент присоединения. Поскольку в

Функционал F определяется зависимостью

^ll(G,-G\''^)*du^]dS. (4.2.56)

причем для получения первого и третьего слага­ емых использовались свойства коммутативности свертки и соотношения симметрии для Сш и

Щк1 •

Применяя теорему Гаусса-Остроградского для слагаемого

{dàG^j I dxj )*dUi = d(ddGy / dxj )* u^,

запишем (4.2.57) в форме

имеет вид и^ (х^, /) 4- а5и^ (Xj^, /);

8^y(x^,/)+aÔ8^,.(x^,0;

а,у(х^,0+ос5а,у(хд^,0, где а - действительное число, а Ьи-, Ьг^, 5а^у -

произвольные, но достаточно гладкие изменения переменных.

Тогда первая вариация функционала, опре­

-\-î{&j^*dA^)dS+ \\{G^ -'G\"'^)*(^U^ +5G^*du^]dS,

(4.2.57)

Если уравнение поля и граничные условия (4.2.51)-(4.2.54) выполняются, то bF=0. С дру­ гой стороны, если bF=0, то для произвольно заданных ом/, Ьву и ба^, как следует из (4.2.58), необходимо обращение в нуль выражений, сто­ ящих при соответствующих вариациях, т.е. в качестве уравнений Эйлера следуют уравнения поля, а в качестве естественных граничных усло­

вий - соотношения (4.2.54).

Для краевой задачи связанной теории тер­ моупругости в [115] предложены вариационные формулировки, соответствующие принципам минимума потенциальной энергии системы; Кастильяно, Хеллингера-Рейсснера и ХуВашицу, причем в функционалы с помощью свертки явно включены начальные условия. Наиболее удобно для решения краевых задач использовать принцип минимума потенциаль­ ной энергии системы или принцип Лагранжа для полей перемещений и температуры, который состоит в следующем [21].

Пусть векторное поле перемещения u(x,t) и скалярное поле температуры T(x,t) представ­ ляют собой кинематически и термически допус­ тимые поля, т.е. поля, удовлетворяющие гранич­ ным условиям для перемещения Ui~Ai на S^ и

температуры Т = Тна Sj и имеющие соо1ъетствующие свойства гладкости. Тогда среди всех таких полей истинными (удовлетворяющими решению смешанной задачи связанной термоуп­ ругости) являются те, которые сообщают стацио­ нарные значения функционалу

+- Lui*UidV - \Pyg*-^*TdV -

где di (х^ ), v^. {Xj^ ) , 7"Q ( Х ^ ) - начальные рас­ пределения соответственно компонентов вектора перемещения, скоростей их изменения и темпе­

ратуры.

Как частные случаи из этой формулировки следуют вариационные принципы для задачи динамической термоупругости и нестахщонарной теплопроводности.

àg

где g{t) = t и g(t) = — = 1 - функция време- dt

ни;

a свертка двух функций определяется выражени­ ем

/

ф(х, 0*v|/(:»^,О = /ф(л:, ^ - T)V|/(X,Т)JT.

О

Как показано в [21, 115], в качестве урав­ нений Эйлера из условия стационарности функ1щонала следуют уравнение движения в переме­ щениях и уравнение теплопроводности:

а в качестве естественных граничных условий соотношения

Автоматически выполняются также начагтьные условия

Ui(x^fi) = df(x,^);

4.2.6. ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ НЕОБРАТИМЫХ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

Применительно к процессам деформирова­ ния твердых тел под диссипацией энергии пони­ мают переход части энергии деформации под действием внешних термомеханических нагрузок в тепловую энергию. Вообще, для механических систем (дискретных или непрерывных) переход их механической энергии в другие формы (в конечном счете, после ряда возможных превра­ щений, в тепловую) обусловлен протеканием различных диссипативных процессов. К диссипативным процессам относят, в частности, тре­ ние, диффузию, процессы неупругого (вязкого, пластического и т.д.) деформирования, необра­ тимые фазовые и структурные превращения, химические реакции.

В качестве количественной характеристики диссипации энергии в процессе деформирования твердого тела используют скорость диссипации энергии, которая определяется скоростью внут­ реннего производства энтропии, т.е. приращени­ ем энтропии вследствие протекания внутренних необратимых процессов. Внутренняя диссипация энергии (6^3 учета процесса теплопроводности), как следует из (4.2.15),

(4.2.60) Если свободная энергия термодинамичес­ кой системы может быть представлена в виде

соотношения (4.2.17) и соответствующей квадра­ тичной формы, то без учета процесса теплопро­ водности

В соотношении (4.2.61) удержаны слагае­ мые одного порядка малости и принято, что

(Т)

Ец линейно зависит от температуры.

Приближенно оценить изменение темпера­ туры вследствие изменений деформаций и внут­ ренних параметров состояния можно по форму­ ле

Изменение энтропии внутри термодинамической системы вследствие процесса теплопроводности можно рассматривать как произведение

"обобщенной силы" -Т дТ / дх^ на соответ­ ствующий поток q^ I Т. Обычно предполагают (см., например [47, 72, 87]), что и для других типов необратимых процессов скорость внутрен­ него производства энтропии определяется выра­ жением

J 0

дИ- ^ а = Ji,X^, (À:=1,...W, /=1,...,/М) (4.2.63)

àt

где /)t - обобщенные потоки; Х^ - соответствую­ щие обобщенные термодинамические силы; m - конечное натурагаьное число. В приведенной записи (4.2.63) скалярные величины J^ и Х^ следует рассматривать как компоненты несколь­ ких векторов обобщенных потоков и соответ­ ствующих им векторов обобщенных термодина­ мических сил. Функцию а в (4.2.63) называют диссипативной.

Один из возможных путей дальнейшего анализа необратимых термодинамических про­ цессов предполагает наличие линейньис феноме­ нологических соотношений между обобщенными потоками и обобщенными термодинамическими силами:

Примером феноменологического соотно­ шения такого рода является закон теплопровод­ ности Фурье, устанавливающий линейную связь между вектором плотности теплового потока и градиентом температуры.

Подстановка (4.2.64) в (4.2.63) дает поло­ жительно определенную квадратичную форму

В термодинамике показано, что матрица коэффициентов Ljçi в (4.2.65) является симмет­ ричной, т.е. Ljçi—Lik (к, /=!,...,Aw). Утверждение о симметричности матрицы L^i составляет со­

держание принципа Онзагера.

При моделировании процессов неупругого деформирования тве^)дых тел часто используют представление диссипативной функции вида (4.2.63), в котором в качестве обобщенных тер­ модинамических сил используют компоненты тензора напряжения, а в качестве обобщенных

потоков - компоненты скорости неупругои де­ формации. При этом наличие других диссипативных процессов иногда не учитывают, по­ скольку производство энтропии вследствие не­ упругого деформирования может играть суще­ ственно большую роль, нежели вследствие диф­ фузионных процессов.

При количественном анализе диссипации энергии в общем случае необратимых процессов требуется совместное решение уравнений термомеханики сплошной среды при заданных на­ чальных и граничных условиях. Такая система уравнений обсуждается, например, в [72, 87]. Получение замкнутых решений связанных задач термомеханики даже в наиболее простых случаях (например, для одномерных процессов) связано со значительньп^и трудностями. Численный ана­ лиз термомеханических процессов осуществляют обьршо на основе пространственно-временной дискретизации основных уравнений. При этом дискретизацию по пространственным координа­ там проводят с помощью конечных элементов, а по времени - с помощью конечных разностей. Основы конечно-элементного подхода к расчету термомеханического поведения твердых дефор­ мируемых тел изложены, например, в [72]. Под­ робный анализ диссипативных процессов при­ менительно к пластическому деформированию твердых тел дан в [87, т.П].

Глава 4.3

]У1ЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕ]УШЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ

Для большинства конструкционных и теп­ лозащитных материалов затраты энергии на де­ формирование тела, вызванное изменением его температуры, малы по сравнению с затратами на изменение внутренней энергии (см.п. 4.2.2). В этих случаях температурное состояние тела мож­ но рассчитывать независимо от его напряженнодеформированного состояния и определять на одном из начальных этапов анализа термопроч­ ности конструкции.

4.3.1. ТИПОВЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ И ПОСТАНОВКА ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Распространение теплоты в элементах кон­ струкции как в твердых телах обьгшо происхо­ дит посредством теплопроводности (если только конструкционные или теплозащитные материалы не являются полупрозрачными для теплового излучения или пористыми с сообщающимися между собой порами, по которым может дви­ гаться жидкость или газ). Поэтому расчет темпе­ ратурного состояния конструкции связан с ре­ шением задач теплопроводности в твердом теле соответствующей конфигурации с заданными на его поверхности условиями теплообмена с окру­ жающей средой или теплоносителями, определя­ емого в общем случае двумя другими способами передачи теплоты - конвекцией и излучением.

(4.3.6)

Если ориентахщя главных осей тензора X оди накова во всех точках тела, то процесс теплопро­ водности в таком теле удобнее описывать в сис­ теме координат, оси которых совпадают с осями X, Y, Z. Такие случаи характерны для тел в виде моно1фисталлов и для конструкций, выполнен­ ных из композиционных или армированных материалов с определенным взаимным располо­ жением слоев, волокон или армирующих эле­ ментов.

Когда какие-либо два главных значения

тензора X совпадают (например, Х^ =Ху), тоща в плоскости, содержащей соответствующие оси (в плоскости XOY и параллельных ей), ма­ териал тела является изотропным и выбор ори­ ентации этих осей может быть произвольным. Такие материалы называют трансверсально изо­ тропными (по отношению к фиксированной оси Z). К ним относят слоистые композиционные материалы при условии, что в плоскости каждо­

где а -X I с - тензор коэффициентов темпера­ туропроводности материала тела, обладающий для анизотропного тела такими же свойствами,

к.«к и тензор X . В частном случае равенства между собой всех трех главных значений тензора

X(Xj^ =Ху =^z ~ ^) материал тела становится изотропным, и вместо формулы (4.3.8) получает­ ся

где а (MVC) - коэффициент температуропровод­ ности, который имеет смысл коэффициента мо­ лекулярной диффузии внутренней энергии и характеризует скорость распространения изотер­ мической поверхности в материале рассматрива­ емого элемента конструкции [55].

Для изотропного тела с объемом V имеем дифференциальное уравнение теплопроводности [27]

с — — = di\[XgradT(M,t)] + qy, M е V dt

(4.3.10) относительно температуры T(Myt) как функции пространственных координат точки M и време-

ни /. Это уравнение в общем случае является нелинейным, так как величины с и X могут за­ висеть от искомой функции T(M,t), а объемная мощность внутренних источников теплоты qy

может нелинейно зависеть от температуры.

Если в ожидаемом диапазоне изменения температуры тела изменениями величин с, X и qy от Т можно пренебречь по сравнению с их средними значениями, то уравнение (4.3.10) становится линейным. Если к тому же тело од­ нородно, т.е. величины с и X не зависят от про­ странственных координат, то выражение (4.3.10) переходит в дифференциальное уравнение теп­ лопроводности с постоянными коэффициентами [27]

Если процесс теплопроводности стационарный (дТ/дМ) и qi^y то получается уравнение Лап­ ласа

Стационарный процесс теплопроводности в теле с внутренними источниками теплоты (qy Ф 0) и постоянным коэффициентом теплопроводности (X=const) описывается уравнением Пуассона

VV(M, t)+qy(M)/X = 0,Me V. (4.3.14)

Для анизотропного тела дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид, анало­ гичный уравнению (4.3.10), в котором X следует

В граничные условия входят условия теп­ лообмена на поверхности тела. Если определение температурного состояния рассматриваемого тела неразрывно связано с одновременным нахожде­ нием распределения температуры в окружающей среде, теплоносителях или в контактирующих с ним твердых телах, то на соответствующих учас­ тках поверхности рассматриваемого тела задают­ ся условия сопряжения температурных полей. Задачи теплопроводности, в математическую формулировку которых входят такие условия, называют сопр51женными. Простейший вариант задания условий сопряжения температурных полей соответствует идеальному тепловому кон­ такту рассматриваемого тела с окружающей сре­ дой или соседним твердым телом [5, 27, 55].

Рис. 4.3.2. К анализу граничных условий на поверхности тела

Для отражения наиболее характерных осо­ бенностей теплонапряженных конструкций рас­ смотрим тело, имеющее произвольную внешнюю поверхность S и внутреннюю полость с повер­ хностью S (рис: 4.3.2). К обеим поверхностям подводятся конвективные и лучистые тепловые

лучистой энергии, но и радиационным теплооб­ меном между отдельными участками поверхнос­ ти тела.

Граничное условие для произвольной точ­ ки поверхности имеет вид (штрихи опущены) [27]

для решения которого удобно пользоваться гра­ фиком (рис. 4.3.3). Ясно, что при N^{=0 (собственное излучение отсутствует) 0 = 1 и

Т =Т. Этот случай в теории теплопроводности отвечает граничному условию I рода [27, 55].

Если в выражении (4.3.16) ^ „ ^ п ^ ^ ^ "°

N

Рис. 4.3.3. График для определения равновесной температуры

сравнению с 1 - ^^ , то собственное излучение с

теории теплопроводности граничному условию III рода [27, 55], но в общем случае нелинейное относительно 7^,. Его можно линеаризовать, если допустимо считать Я., Р и ^д не зависящими от Гп-

Критерий Био Bi в выражении (4.3.16) яв­ ляется отношением термического сопротивления тела к термическому сопротивлению конвектив­ ной теплоотдачи от среды к поверхности и ха­ рактеризует степень неравномерности распреде­ ления температуры по толщине тела. При Bi>>l правую часть этого выражения можно прирав­ нять нулю, пренебрегая отводом тепла внутрь тела вследствие его большого термического со­ противления (/i/X>>i/P), и считать, что на поверхности устанавливается равновесная темпе­ ратура Т, соответствующая равновесию конвек­ тивного и лучистого тепловых потоков и потока собственного излучения. Тогда значение Т на­ ходят из алгебраического уравнения

При сопоставимых между собой термичес­ ких сопротивлениях тела и конвективной тепло­ отдачи выражение (4.3.15) можно записать в виде граничного условия III рода

мен отсутствует (Р=0), то выражение (4.3.15) будет соответствовать граничньп^ условиям II рода [27, 55]

когда на поверхности тела* задается плотность подводимого теплового потока.

В том случае, когда термическое сопротив­ ление тела мало по сравнению с суммарным термическим сопротивлением теплообмена

( / i / A , « l / P j , ) , перепад температуры по тол­ щине h оказывается незначительным по сравне­

нию с разностью \т -т„ и температуру тела в