студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

В тех точках, где 2$ , интенсивность максимальна

и равна 2 1 2 2. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, образует максимум (полосу) -го порядка. Там, где 2 1 $, возникают минимумы интенсивности (темные интерференционные полосы), для которых

Видность максимальна и равна единице при равных амплитудах 1 2 (при этом : 0). Видность близка к нулю, когда интенсивность одной из интерферирующих волн существенно больше другой.

Принцип суперпозиции справедлив, в силу линейности уравнения Гельмгольца, и для комплексных амплитуд (см. § 4.2): комплексная амплитуда результирующей волны 7 D

равна сумме комплексных амплитуд 71 1 D 1 и 72

2 D 2 слагаемых волн:

7 71 72

Соответственно, интенсивность результирующей волны

: 2 7 2 есть

71 2 и :2 72 2 — интенсивности слагаемых волн. Интерференционный эффект определяется двумя последними

2 1 2

Большинство эффектов интерференции и дифракции, которые будут рассматриваться в данной и последующей главах, наилучшим образом иллюстрируются на примере видимого света, т. е. электромагнитных волн с 400–700 нм. При этом эффект интерференции проявляется в виде чередующихся светлых и темных полос на экране наблюдения.

Рассмотрим несколько характерных случаев интерференции монохроматических волн.

Интерференция сферических волн 1). Две сферические волны излучаются точечными источниками 91 и 92 (рис. 7.1). Комплексные амплитуды волн в точке наблюдения 6 есть

(мы полагаем, что источники излучают синфазно, с одинаковой амплитудой), 1 и 2 — расстояния от источников 91 и 91 до точки наблюдения.

наблюдения. При (разность хода равна целому числу длин волн) разность фаз 2$ и, следовательно, получаем интерференционный максимум -го порядка.

При 2 1 2 получаем интерференционный минимум.

Геометрическое место точек, для которых 2 1

— это гиперболоиды вращения. Таким образом поверхности интерференционных максимумов и минимумов — гиперболоиды, сечение которых плоскостью, в которой лежат источники 91 и 92 (плоскость рисунка) показаны на рис. 7.1.

Ясно, что форма полос, наблюдаемых на каком-либо плоском экране, зависит от положения этого экрана. Например, если плоскость наблюдения перпендикулярна линии 9192, соединяющей источники (плоскость П1 на рис. 7.1), то интерференционные полосы имеют вид чередующихся светлых и темных колец.

Если экран расположен параллельно линии 9192 (экран П2), то интерференционные полосы представляют собой семейство гипербол — почти параллельных прямых, если ограничиться

1) Нелишне напомнить, что поперечные электромагнитные волны в принципе не могут быть сферическими; их элементарный источник — не точка, а колеблющийся диполь. Тем не менее, в оптике нередко пользуются приближением сферической волны (точечного источника и точечного фокуса). Это означает, что интересующий нас участок волнового фронта имеет сферическую форму с точностью до малых поправок. Если же кривизна фронта существенна лишь в одной плоскости, а в ортогональной плоскости пренебрежимо мала, используется приближение цилиндрической волны.

достаточно малой областью вблизи центра экрана (точка на

рис. 7.2).

Целое число называется порядком интерференции. Нулевой порядок интерференции соответствует разности хода 0 (геометрическое место точек нулевой разности хода — плоскость симметрии на рис. 7.1).

Если рассматривать небольшую область наблюдения, в которой амплитуды колебаний двух слагаемых волн примерно одинаковы: 0 1 0 2 , то получаем

где — скорость волны, :0 — интенсивность каждой из волн в плоскости наблюдения.

Формула (7.8) имеет универсальный характер, она справедлива при интерференции любых монохроматических волн одинаковой частоты и интенсивности.

Интерференция плоских волн. Рассмотрим результат интерференции двух плоских волн, волновые векторы !1 и !2 которых составляют углы # с осью и лежат в плоскости рис. 7.3.

Проекции векторов !1 и !2 на ось равны нулю. Комплекс-

Она не зависит от , т. е. одинакова в любой плоскости наблюдения и поскольку она не зависит от , то в любой

2 # 2$,

откуда

Обозначая через * угол схождения волн (* 2#), получаем

или для малых углов схождения: *2 *2

ния достаточно широких полос ( 0,1–1 см) угол схождения волн * приходится выбирать малым ( 10 4–10 5 радиан), поэтому практически всегда можно пользоваться приближенным выражением (7.11).

Для оценки минимально возможной ширины полосы необходимо, разумеется, использовать точное соотношение (7.10). Из него следует, что минимальная ширина интерференционных полос достигается при * $, т. е. при интерференции встречных

Это, как мы знаем, есть расстояние между соседними пучностями (или узлами) в стоячей волне.

Из формулы (7.12) можно сделать достаточно общий вывод: в монохроматическом волновом поле характерный масштаб пространственных неоднородностей не может быть существенно меньшим длины волны .

7.3. Квазимонохроматические волны

Элементарные представления о статистической природе излучения. В предыдущем параграфе мы говорили о волновых процессах, имеющих гармоническую зависимость от времени. Однако ни один реальный источник света не излучает волну, напряженность поля в которой меняется по гармоническому закону. Это подтверждается множеством экспериментальных фактов. Рассмотрим один из них: результат суперпозиции волн, излучаемых двумя независимыми источниками (например двумя электрическими лампочками).

Казалось бы, мы должны получить характерное чередование светлых и темных полос. Однако ничего подобного в действительности не происходит: если в комнате, где горит электрическая лампочка, зажечь еще одну точно такую же, то освещенность стен просто удваивается. Другими словами, при наложении света от двух лампочек складываются интенсивности и никаких интерференционных явлений не наблюдается.

Для того чтобы правильно ответить на возникающие вопросы и объяснить результат рассмотренного эксперимента (а также результаты множества других подобных фактов), необходимо отказаться от принятой ранее синусоидальной (гармонической) идеализации и более тщательно рассмотреть структуру оптического излучения.

Если бы мы имели столь малоинерционный прибор, что он мог бы следить за изменением напряженности электрического

поля в световой волне, испущенной каким-либо источником, то мы получили бы запись случайного процесса, а вовсе не

чать различные записи колебательного процесса - (рис. 7.5).

536 Интерференция волн [ Гл. 7

Полученная совокупность записей представляет собой ансамбль случайных функций. Случайный характер процесса проявляется

в том, что каждый раз мы получаем новую функцию - , не

повторяющую в точности ни одну из других функций; при этом невозможно предсказать заранее, какую точно из реализаций ансамбля мы получим в данном эксперименте. Любую из записей - можно характеризовать лишь вероятностно

(определяя, например, вероятность, с которой то или иное

значение принимает функция в любой момент времени). В этом состоит отличие случайного процесса, определяемого вероятностными законами, от процесса детерминированного,

в котором каждое значение измеряемой величины абсолютно точно предсказуемо.

Статистический характер светового излучения обусловлен фундаментальными физическими свойствами источника. Всякий реальный источник — это совокупность огромного числа атомов. Каждый из атомов может стать элементарным источником излучения, если благодаря какому-либо механизму (столкновение с другим атомом, электронный удар и т. д.) он будет переведен в возбужденное состояние. Случайный, статистический харак-

тер механизма возбуждения определяет статистическую природу излучения. Любой из атомов может начать высвечиваться в произвольный, случайный момент времени . Другое важное

обстоятельство связано с характером излучения отдельного атома. Возбужденный атом излучает конечное время. С классиче-

кой добротностью), поэтому длительность цуга >0 существенно больше периода колебания: >0 (характерные длительности цугов для оптического диапазона излучения >0 10 8–10 10 с, что на много порядков превышает период светового колебания10 15 с). Возбужденный атом, излучая цуг, постепенно теряет энергию и по прошествии времени порядка >0 переходит

в основное, невозбужденное состояние; говорят, что длительность цуга есть время жизни атома в возбужденном состоя-

нии. Последовательность цугов, излучаемых атомом какого-либо источника света, показана на рис. 7.7. Статистический характер

7.3 ] Квазимонохроматические волны 537

механизма возбуждения приводит к тому, что моменты возникновения излучаемых цугов 1, 2, , являются случайными независимыми величинами.

последовательность цугов, излучаемых каким-либо -м атомом через D , запишем суммарное излучение в виде

причем сумма (7.14) содержит в каждый момент времени огромное число «живых» (отличных от нуля) слагаемых.

Попробуем качественно описать свойства суммарного колебания (7.14), исходя из представления о цугах конечной продолжительности >0 и случайном характере их возникновения. Ясно, что вклад в суммарное колебание в некоторый момент времени вносят лишь те цуги, начало которых лежит в интервале от >0 до , поскольку все цуги, начавшиеся до момента >0, успевают затухнуть к моменту . Для уяснения качественной картины будем полагать, что число «живых» слагаемых в сумме (7.14)

(т. е. число излучающих в каждый момент времени атомов) равно !. Поскольку любой атом с равной вероятностью может

начать излучать в любой момент времени , то среднее число цугов, начало которых приходится на любой малый интервал

времени равно ! >0.

Таким образом, доля цугов, заканчивающихся за время и заменяющихся новыми, равна >0, причем через время >0 в сумме (7.14) все ! излучающих цугов заменяются новым набором.

Все сказанное выше можно пояснить, используя векторную диаграмму. Вектор, изображающий суммарное колебание (7.14), представляется на векторной диаграмме суммой большого числа

новая совокупность элементарных векторов, что приводит к новым значениям длины и угла наклона суммарного вектора, которые не связаны со старыми значениями этих величин.

Причем качественно ясно, что случайные функции и могут изменяться независимо друг от друга. Действительно, при

другой реализации направлений элементарных векторов может образоваться суммарный вектор той же длины , но имеющий произвольное направление : угол наклона суммарного векто-

ра никак не связан с его длиной. Можно сказать, что случайные функции и статистически независимы.

Как следует из изложенного выше, амплитуда и фаза суммарного колебания испытывают случайные изменения с харак-

терным временным масштабом >0. Мы приходим, таким образом, к представлению о квазимонохроматическом процессе и можем

записать колебание (7.14) в виде

где и — медленно и хаотически меняющиеся функции.

Характерный временной масштаб их изменения >0 носит название времени корреляции или времени когерентности. Принято говорить, что значения и > коррелированы при > ' >0 и некоррелированы при > & >0. Это же относится и к значениям

фазы и > . Еще раз напомним: мы полагаем, что функции и остаются практически неизменными на интервалах времени , содержащих большое число периодов светового колебания 2$ 0. Именно в этом смысле понимается медленность их изменения и именно поэтому процесс (7.15) является квазимонохроматическим.

Итак, квазимонохроматическое колебание (7.15) изображается на векторной диаграмме в виде вектора с медленно и хаоти-

чески изменяющимися длиной и направлением. Этому вектору соответствует комплексная функция

которая является аналогом комплексной амплитуды гармонического процесса и которую можно назвать комплексной амплитудой квазимонохроматического процесса (7.15). Мы будем пользоваться комплексным представлением квазимонохроматических колебаний, ставя в соответствие реальному процессу (7.15) комплексную функцию

Подчеркнем, что в выражении (7.17) статистический (случайный) характер имеет первый сомножитель — комплексная амплитуда 7 , второй же сомножитель D # описывает гармоническое колебание с частотой .

Можно сказать, что 7 является медленно и хаотически меняющейся огибающей в случайном процессе 2 , т. е. функция

7.3 ] Квазимонохроматические волны 539

7 описывает закон случайной амплитудно-фазовой модуляции гармонического процесса. Реальное возмущение - связано с 2 формулой

Поскольку в дальнейшем мы будем использовать комплексное представление (7.17), необходимо установить соотношение между комплексной функцией 2 и результатами экспериментальных наблюдений.

Сделаем несколько замечаний о свойствах фотоприемника, с помощью которого проводится анализ светового излучения.

Таким фотоприемником может быть глаз, фотопластинка, фотоэлемент и т. д. Все эти устройства регистрируют поток энергии,

усредненный за некоторое, характерное для данного фотоприемника, время , которое можно назвать временем регистрации (или постоянной времени фотоприемника). Посколь-

ку световой поток (поток энергии) пропорционален квадрату напряженности поля -2 в волне, то регистрируется величина

называемая интенсивностью света.

Постоянные времени разных приемников сильно различаются: у сетчатки глаза время регистрации 10 1 с (глаз не успевает замечать мелькания кадров на экране кино и телевизора). Время экспозиции фотоматериалов обычно10 2–10 4 с, хотя может быть и минуты, и даже часы. У некоторых типов фотоэлементов время регистрации 10 6– 10 8 с. Результат измерения существенно зависит от соотношения между временем экспозиции и характерным временным масштабом регистрируемых процессов.

Квазимонохроматические колебания характеризуются двумя временными масштабами: периодом «несущего колебания»0 2$ 0 и временем когерентности >0. В диапазоне видимого света, как отмечалось выше, 0 10 15 с, а время когерентности даже для самых узких спектральных линий не превышает значений >0 10 7–10 8 с (излучение когерентных источников света — лазеров — имеет время когерентности на несколько порядков больше). Таким образом, в оптике всегда 0 — не существует фоторегистрирующих устройств, способных следить за отдельным периодом светового колебания. Однако при сравнении и >0 можно выделить два случая:

1.>0. Такой фотоприемник может следить за случайными изменениями светового потока, обусловленными конечной длительностью цугов излучения атомов.

2.>0. Фотоприемник регистрирует средний световой поток (среднюю интенсивность). Этот способ регистрации можно назвать инерционным. Именно этот случай реализуется в большинстве оптических экспериментов и именно его мы будем иметь

ввиду в дальнейшем.

Используя (7.15), перепишем (7.19) в виде

(7.20) За время наблюдения подынтегральная функция во втором слагаемом в формуле (7.20), осциллируя с удвоенной световой частотой, многократно меняет знак, поэтому второй интеграл

пренебрежимо мал в сравнении с первым, тогда

1 2

(черта означает усреднение по времени регистрации). С другой стороны, используя (7.16), имеем

7 7 D D 2

Таким образом, наблюдаемая интенсивность выражается через комплексную амплитуду 7 равенством

: 12 7 7

Очевидно теперь, что интенсивность можно выразить аналогичным образом и через комплексную функцию 2 (исполь-

зуя (7.17)):

: 12 2 2