студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

8.7 ] Дифракция Френеля 591

размер отверстия в непрозрачном экране равен радиусу первой зоны Френеля (отверстие освещается плоской волной интенсивности :0)?

Пятно Пуассона. Пусть на пути плоской волны расположен непрозрачный круглый диск (либо круглый шарик). Какова

Если теперь на пути волны установить непрозрачный диск, перекрывающий вклад нескольких первых зон Френеля (например, тех самых трех и одной трети зон), то колебание в точке наблюдения создается теперь лишь оставшимися периферийными зонами, вклад которых изображается вектором A. Мы видим, что если число перекрытых диском зон не слишком велико, так что скручиванием спирали можно пренебречь, то длина вектора A, т. е. амплитуда колебаний в центре тени от диска практически такая же, какая была бы в точке 6 при отсутствии диска.

Из сказанного выше ясно, что совершенно неважно, каков конкретный радиус диска (или шарика). Длина вектора A на рис. 8.22 практически не изменилась бы, если бы диск перекрыл не три с небольшим зоны Френеля, а, скажем, семь с небольшим

(это приближение мы уже использовали ранее, см. (8.46)). Из

последних равенств находим разность расстояний 02 2 и разность фаз колебаний в точке 6

оси @. Итак, колебание от интересующей нас полоски вторичных источников в точке наблюдения 6 можно записать в виде

Разбив всю щель на такие элементарные полоски, параллельные краям щели, и сложив колебания от всех элементарных полосок, заполняющих щель (от 1 до 2), найдем

Мы приходим к спирали Корню (см. § 1.3), которая служит для оценки интеграла (8.55).

Последний из изображенных на рис. 8.24 векторов 1 антиколлинеарен первому вектору 0. Он изображает вклад полоски вторичных источников, который противофазен вкладу первой полоски (находящейся на оси @). Мы получаем 2 02 $, откуда находим расстояние от края этой ( -й) полоски до оси @:

чим еще один полувиток (рис. 8.25), причем вектор 2 изображает вклад полоски, отстоящей от точки наблюдения на расстояние(оно больше, чем расстояние от оси @ до точки наблюдения, на длину волны ), поэтому вектора 0 и 2 коллинеарны — разность фаз колебаний 2$. Мы имеем 2 02 2$, от-

куда 0 2 . Вектор 2 изображает суммарный вклад полосы,

лежащей между двумя прямыми 0 01 и 0 02 2 . В данном случае вместо кольцевых зон Френеля мы имеем зоны в виде полос (их называют зонами Шустера по имени англий-

ского физика А. Шустера (1851–1934)).

Продолжая дальше построение векторной диаграммы, мы придем к спирали Корню, изображенной на рис. 8.26. Спираль,

очень быстро скручиваясь (благодаря квадратичной зависимости фазы колебаний 2 02 от координаты 0), все ближе при-

ближается к точке 91, называемой фокусом спирали. Каждый последующий полувиток спирали изображает вклад в суммарное колебание последовательно расположенных зон Шустера, причем-я зона Шустера — это полоса, внешний край которой отстоит от точки наблюдения на расстояние 2 и на расстояние

0 от оси @. Нижняя половина спирали Корню (от нуля до точки 92) описывает вклад вторичных источников (элементарных полосок 0 ), расположенных ниже оси @ (0 ' 0). С ростом ширины щели ( 1 , 2 на рис. 8.23) работают все более мелкие витки спирали Корню, которые все ближе прилегают к фокусам 91 и 92. Вектор 0, соединяющий фокусы спирали, определяет амплитуду колебаний в точке наблюдения при отсутствии препятствия.

Очевидно, амплитуда колебаний в точке 6 близка к максимальной, если открыты две зоны Шустера (т. е. «работает» один полувиток верхней половины спирали и один полувиток нижней половины, рис. 8.27). Амплитуда колебаний (длина вектора A) при этом больше, чем амплитуда колебаний 0 при отсутствии препятствия. Соответствующая ширина щели равна при этом2 . Если размер щели увеличить таким образом, что

2 2 (так, что на верхней и нижней полуспирали начинают «работать» полувитки вторых зон Шустера, рис. 8.28), то амплитуда колебаний в точке наблюдения уменьшается: длина вектора A на рис. 8.28 меньше, чем 0.

Дифракция на краю экрана. С помощью спирали Корню можно качественно исследовать картину дифракции плоской волны на полубесконечном экране (непрозрачный экран с прямолинейным краем перегораживает нижнюю полуплоскость 0 ' 0, рис. 8.29). Согласно законам геометрической оптики в плоскости наблюдения мы должны были бы иметь распределение интенсивности, показанное на рис. 8.29 штриховой линией: интенсивность равна нулю в области тени ( ' 0) и равна :0 при & 0.

Вычисляя величину , входящую в фазовый множитель D , мы не можем довольствоваться грубой оценкой 0: ошибка при вычислении фазы колебаний должна быть мала по сравнению с $ и, следовательно, ошибка в вычислении мала по сравнению с длиной волны . Выражение (8.57) запишем в виде

2 2 2 20 2@ 02 @2

идалее, поскольку 2 2 2 0, то

Разумеется, мы полагаем при этом, что отброшенные члены разложения радикала в степенной ряд малы по сравнению с длиной волны . Обратим внимание, что, согласно граничным условиям Кирхгофа, граничное поле 70 0, @ отлично от нуля лишь на открытой части волнового фронта, поэтому при оценке выражения (8.58) интерес представляют лишь значения 0, @ , лежащие в области отверстия. Очевидно, что последнее слагаемое в (8.58) ограничено величиной 2 2 0 :

12 42 )2 ,

2 0 2 0

где — максимальный линейный размер отверстия. Потребуем теперь, чтобы точка наблюдения находилась столь далеко от отверстия и (или) размер отверстия был столь мал, чтобы выполнялось неравенство 2 2 0 или, что то же,

Последнее неравенство — условие применимости полученных соотношений — называется условием дифракции Фраунгофера.

Обсуждая ранее условия, при которых справедливы выводы геометрической оптики (в частности, закон прямолинейного распространения света), мы пришли к неравенству (8.32): 2 1, которое, очевидно, противоположно неравенству (8.59). Если геометрическое приближение справедливо при малых расстояниях и (или) больших размерах препятствий , то фраунгоферовы дифракционные картины возникают, напротив, на больших расстояниях и (или) при малых размерах препятствий,

расположенных на пути волны. Условие 8 1 эквивалентно следующему: размер отверстия много меньше размера первой

зоны Френеля. Промежуточная область 8 1 называется обычно

областью дифракции Френеля. В этой ситуации размер отвер-

стия и радиус первой зоны Френеля сравнимы между собой.

Итак, при условии (8.59) получим следующее приближенное выражение для :

Введем обозначения 0 4, 0 ; тогда формула (8.61) приобретает вид

Последнее соотношение означает, что для нахождения светового поля в точке наблюдения достаточно найти преобразование Фурье граничного поля 70 0, @ : 7 , , %0 4, , взяв в качестве аргументов преобразования 4 0,

0. В частном случае, если граничное поле является функцией одной переменной, 70 0 , то (8.62) приобретает вид

598 Дифракция [ Гл. 8

расстоянии 0 от начала координат. При достаточном удалении точки 6 (неравенство (8.59)) разность расстояний 0 можно оценить так: 0 (угол определяет направление на точку наблюдения: 0). Разность фаз колебаний

0 0 0.

Если падающая на щель волна имеет в точке 0 комплексную амплитуду 70 0 , то колебание в точке наблюдения от этого

что совпадает с выражением (8.63), где 4 0 . Еще раз подчеркнем, что при выполнении неравенства (8.59)

поле в точке наблюдения 7 , определяется направлением на эту точку — углом .

Если точка наблюдения смещается вдоль фиксированного направления, приближаясь или удаляясь, так что угол остается неизменным: 0 (и при этом остается справедливым неравенство (8.59)), то значение интеграла (8.63) остается

В частности, картину дифракции можно характеризовать рас-

Это распределение : , изображенное в полярных координатах, называют диаграммой направленности.

Продолжая изучение дифракции Фраунгофера, рассмотрим три конкретных примера.

Дифракция Фраунгофера на щели (ширина щели , щель освещается слева плоской нормально падающей волной). Граничное поле 70 0 , возникающие в плоскости 0, примыкающей к непрозрачному экрану со щелью справа, имеет вид изображенный на рис. 8.9 а. Согласно (8.64) для нахождения картины фраунгоферовой дифракции, необходимо найти преобразование Фурье этой функции. Задача полностью аналогична нахождению спектра прямоугольного импульса (см. 1.4). Здесь роль длительности импульса > играет ширина щели , а роль частоты — величина 4 (которую мы назвали ранее

8.9 ] Дифракция Фраунгофера 599

пространственной частотой). Используя эту аналогию, находим

сосредоточена подавляющая величина потока энергии (более 80 %). Этот интервал углов (от до ) называют главным максимумом дифракционной картины (легко найти с по-

мощью (8.66), что максимальная интенсивность в ближайшем боковом максимуме, в направлении 3 2 , составляет примерно 0,05 от интенсивности в направлении 0). Мы видим, что сужение щели (уменьшение ) приводит к уширению угла : свет расходится от щели во все более широком интервале углов. Можно сказать и по-другому: с уменьшением ширины щели уширяется пространственный спектр — спектр плоских волн, бегущих от щели.

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

(рис. 8.33). При дифракции плоской волны на круглом отверстии в непрозрачном экране, на удаленной плоскости наблюдения

sin

1,22( /d)

Рис. 8.33

наблюдается картина дифракции, показанная на рис. 8.33 а: центральное яркое дифракционное пятно (которое называется пятном Эйри) окружено чередующимися светлыми и темными кольцами. Соответствующий график : показан на рис. 8.33 б.

600 Дифракция [ Гл. 8

Угловая полуширина пятна Эйри (главного максимума в картине : ) определяется условием

В телесном угле сосредоточена подавляющая доля потока энергии ( 80 %) дифрагированной волны.

Дифракция Фраунгофера на решетке. Рядом со щелью, дифракцию на которой мы рассмотрели выше (эта картина дифракции описывается функцией 7 , см. формулу (8.66)), расположим параллельно еще одну такую же щель, центр которой находится в точке 0 , рис. 8.34. Расстояние от второй щели до точки наблюдения (от любого элемента этой щели) на ве-

лебательный процесс в точке наблюдения есть 7 7 D'. Если расположить рядом еще одну щель, сдвинутую относительно первой на расстояние 2 (и на расстояние от второй), то получим суммарное колебание 7 7 D' 7 D 2'. Наконец, если мы имеем решетку, состоящую из ! параллельно рас-

Сумму, входящую в (8.70), мы уже находили ранее (1.16) (сумма колебаний, фазы которых составляют арифметическую прогрессию) с помощью векторной диаграммы, показанной на