студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

При освещении линзы плоской нормально падающей волной на выходе из линзы в плоскости, примыкающей к ней справа, распределение фаз колебаний описывается формулой (8.8). Эта формула означает, что колебания в точке, отстоящей на расстояние от оптической оси, опережают по фазе колебания в точке, расположенной на оптической оси, на величину

2 27 .

Вспомним теперь о принципе Гюйгенса–Френеля: представим себе, что плоскость, примыкающая к линзе справа, заполнена вторичными источниками, излучающими сферические волны. Легко сообразить, что колебания, созданные всеми этими вторичными источниками в точке — главном фокусе линзы — оказываются синфазными, поскольку опережение по фазе компенсируется отставанием, возникающим при распространении света от вторичного источника до точки . Действительно, разность расстояний равна: 7 2 72 7 2 27 , а соответствующая разность фаз 7 2 27 в точности

компенсирует начальную разность фаз для любой точки . Это свойство линзы называется таутохронизмом: все оптиче-

ские пути (для любого луча, проходящего от источника через линзу в точку, являющуюся изображением) занимают одно и то же время.

Синфазность колебаний в точке от всех вторичных источников, заполняющих плоскость 0 (примыкающую к линзе справа) означает, что с помощью линзы мы выстраиваем все элементарные векторы, составляющие спираль Френеля, в коллинеарную цепочку векторов: часть спирали Френеля, образованная зонами, уложившимися в диафрагму, как бы вытягивается в прямую линию (сравните с векторной диаграммой для зонной пластинки Френеля, см. рис. 8.19).

Длина полувитка спирали равна $ 0, где 0 — амплитуда волны, падающей на линзу. Тогда суммарная амплитуда колебаний есть $ 0, где — число зон Френеля, укладывающихся на линзе диаметром E: E2 7 , откуда

E2 47 и $E2 47 0. Отношение интенсивности света в фокусе к интенсивности падающей на линзу волны равно

Разумеется, интенсивность в фокусе больше, чем средняя интенсивность в пятне Эйри.

Если точечный источник света находится на конечном расстоянии 1 от линзы, то дифракционное пятно Эйри возникает не в фокальной плоскости, а на расстоянии 2 за линзой, где1 и 2 связаны формулой линзы (8.104). При этом полуширина

622 Дифракция [ Гл. 8

Это и есть изображение точечного источника.

Обратимся теперь непосредственно к вопросу о разрешающей способности оптических систем. Пусть во входной плоскости (на расстоянии 1 от линзы) находятся два близко расположенных некогерентных источника света 91 и 92. В плоскости изображения (на расстоянии 2) возникают два пятна Эйри. В силу некогерентности источников картина интенсивности в плоскости изображения представляет собой сумму интенсивностей, созданных каждым из источников. Если расстояние между центрами пятен Эйри мало (меньше их размера), то пятна накладываются друг на друга. Возникает вопрос: можно ли по наблюдаемой в плоскости изображения картине интенсивности сделать вывод

При этом, как показывает расчет, в суммарной картине интенсивности между двумя максимумами возникает небольшой20 $ провал, по наличию которого можно визуально разрешить два источника.

Смещению пятен в плоскости изображения соответствует расстояние между точечными источниками во входной плоскости (на расстоянии 1 от линзы), равное 1 2 . Мы получаем оценку минимального разрешимого расстояния между точечными источниками

Если вы рассматриваете с расстояния наилучшего зрения1 25 см две светящиеся точки, то, принимая диаметр зрачка равным E 3 мм и 500 нм (наиболее чувствительная для глаза область спектра), получим 5 10 2 мм. Это и есть оценка минимально разрешимого расстояния для человека с нормальным зрением.

При оценке возможностей любой оптической системы (в том числе глаза человека) следует принимать во внимание и характеристики непосредственно регистрирующей среды: фотоэмуль-

сии, если мы используем фотопленку или фотопластинку, или чувствительных к свету элементов сетчатки человеческого глаза (палочки и колбочки), если речь идет о визуальном наблюдении. Любая регистрирующая среда обладает определенной дискретностью; чувствительные элементы — зерна фотоэмульсии или палочки в сетчатке глаза имеют конечные размеры и, что существенно, реагируют на свет (поток энергии) как целое. Это означает, в частности, что свет, фокусируясь оптической системой в малое пятнышко, которое, быть может, много меньше размеров зерна, вызывает химическую реакцию в зерне целиком. Другими словами, минимальный размер площадки в фоточувствительной среде, реагирующий на свет, не может быть меньше размера зерна фотоэмульсии.

Интересно, что размер палочек в сетчатке человеческого глаза удивительным образом согласован с размером зрачка, т. е. как раз равен размеру пятна Эйри на сетчатке.

Если рассматриваются удаленные объекты, то обычно говорят об угловом расстоянии # 1. Изображение рассматривается при этом в фокальной плоскости линзы (при 1 , 2 7). Согласно (8.109) имеем

# 1,22

=

Рассматривая удаленные источники невооруженным глазом (E 3 мм), получаем # 2 10 4 рад. При наблюдении удаленных источников (например двух звезд) в телескоп с диаметром объектива E 5 м, находим # 1 10 7 рад. Зеркальный объектив такого размера, т. е. параболическое зеркало, используемое для фокусировки света, находится в лаборатории Маунт-Паломар, в Кордильерах, США; на Кавказе имеется телескоп с диаметром зеркала E 6 м (телескоп-рефлектор).

8.12. Принципы голографии

Мы уже отмечали ранее, что любой приемник света (глаз человека, фотопластинка, фотоэлемент) реагирует на энергию световой волны, т. е. величину, пропорциональную квадрату ам-

плитуды волны. По этой причине все эти приемники объединяют общим названием — квадратичные детекторы. При таком спо-

собе регистрации волнового поля информация о фазовой структуре волны (т. е. о форме волновых поверхностей) оказывается как будто бы утраченной. Проблема, которую называют в оптике «фазовой проблемой», состоит в том, чтобы по картине интенсивности (квадрата амплитуды) восстановить полную информацию о волновом поле: не только распределение амплитуд колебаний, но также и фазовую структуру волны, т. е. форму волновых поверхностей.

624 Дифракция [ Гл. 8

Пусть некоторый предмет (например, пешка, изображенная

на рис. 8.54) освещается когерентным светом лазера и пусть волна, отраженная предметом (будем называть ее далее предметной

плитуд , и фаз , колебаний в плоскости 0 однозначно определяет ход волнового процесса в области & 0. Это утверждение означает, в частности, следующее: представим себе, что нам удалось воссоздать в плоскости 0 то же самое распределение амплитуд и фаз колебаний в отсутствие предмета.

Тогда в области & 0 возникает волновое поле, тождественное полю, созданному предметом: ни один наблюдатель, находящийся в области & 0, не отличит это поле от поля реально присутствующего предмета. Наблюдатель увидит этот предмет именно там, где он находился, создавая на плоскости0 поле 7п , . Вопрос состоит в том, как реализовать «правильное» граничное условие? Попробуем сделать это, установив в плоскости 0 в схеме эксперимента, изображенного на рис. 8.54, фотопластинку. Предположим, что функция пропускания фотопластинки после необходимой обработки (проявление, закрепление) пропорциональна интенсивности волны, освещающей пластину во время экспозиции, т. е. пропорциональна величине : , , 2. Попробуем теперь, используя полученную пластинку, восстановить изображение предмета. Установим пластинку в плоскости 0 и осветим ее слева плоской, нормально падающей волной (предмет при этом отсутствует). Пластинка, изменяя амплитуду прошедшей волны, не влияет на форму волнового фронта, поэтому в плоскости, примыкающей к ней справа, получим световое поле с плоским волновым фронтом (и разной в разных точках , амплитудой колебаний). Ясно, что полученное на выходе из пластинки (в плоскости 0 ) граничное поле отличается от поля, которое создавалось предметной волной. Поэтому и волна в области& 0, будет иметь мало общего с волной, возникающей при отражении от предмета — изображение не восстановится.

Попробуем поступить по другому. Представим себе, что нам удалось каким-то образом изготовить тонкую пластинку-

8.12 ] Принципы голографии 627

Итак, суммарное поле за голограммой описывается действительно положительной функцией. Исследуем его более детально.

Из (8.112) находим

Поле в плоскости 0 представляется в виде суммы трех слагаемых. Соответственно, волна в области & 0 есть сумма трех волн: каждое слагаемое на границе 0 ответственно за появление «своей» волны в области & 0.

Первое слагаемое 2 2 «отвечает» за появление волны 712 2D — плоской волны, бегущей в области & 0 вдоль оси . Второе слагаемое 72 2D — волновое поле со сферическим волновым фронтом: именно такое поле создавал в каждой точке плоскости 0 точечный источник света, который находился на расстоянии 0 слева от голограммы в процессе записи. Ясно, что и в области & 0 поле 72 порождает расходящуюся сферическую волну, неотличимую от предметной волны (сферической волны, исходящей из точки 9 в процессе записи голограммы). Поэтому наблюдатель, который находится справа (в области & 0) и смотрит на голограмму как в окошко, «увидит в окне», на расстоянии 0 слева от голограммы, светящуюся точку 9 , т. е. расходящаяся сферически волна кажется наблюдателю исходящей из точки 9 , хотя никакой светящейся точки на стадии реконструкции изображения нет — есть только фотопластинка-голограмма, освещаемая плоской волной. Это — мнимое изображение предмета. Рассмотрим теперь последнее, третье слагаемое в (8.113): 73 2D .

Волновой фронт в этой волне «вывернут наизнанку» по отношению к волне 72: если в волне 72 колебание в точке , плоскости 0 отстает по фазе от колебаний в начале координат, то

вволне 73 колебание в точке , опережает по фазе колебание

вначале координат на ту же величину. Это слагаемое описывает поле, которое создавала бы в плоскости 0 сферическая волна,

сходящаяся в точку 9 на расстоянии 0 справа (рис. 8.57). Ясно поэтому, что граничное поле 73, возникающее в процессе реконструкции, порождает сферическую волну, сходящуюся в точку 9 . Это — действительное изображение предмета. Его можно

наблюдать, расположив на расстоянии 0 за голограммой экран наблюдения — мы увидим яркую точку, в которую сфокусирована волна.

Описанные закономерности сохраняются в общих чертах при голографировании произвольного предмета: в процессе реконструкции возникают три волны: волна создающая мнимое изображение, которое находится слева от голограммы, там же, где находился предмет при записи; волна, создающая действитель-

ное изображение, которое располагается симметрично справа от голограммы; а также волна, бегущая вдоль оси и не несущая информации о форме волнового фронта предметной волны.

Вернемся к интерференционной картине (8.112), которая записана на голограмме точечного источника. Как она выглядит?

Функцию (8.113) можно переписать в виде

от начала координат до точки , в плоскости фотопластинки. Соответственно фаза колебаний в сферической волне в точке

, есть 0 32 2 0 . Принимая начальную фазу на оси в плоскости 0 нулевой, запишем: 2 0 32. Мы полагаем таким образом, что колебания опорной (плоской) волны и сферической волны в точке ( 0, 0) синфазны. В результате получим

(фокусируя параллельный пучок света в точку 9 — действительный фокус зонной пластинки), и как рассеивающая линза,

которая преобразует параллельный пучок, падающий на пластинку, в расходящуюся сферическую волну, исходящую из мнимого фокуса 9 , и как плоскопараллельная пластинка, поскольку часть света за пластинкой сохраняет структуру освещающего параллельного пучка.

В случае произвольного предмета на голограмме записывается сложный интерференционный узор, который можно рассматривать как совокупность зонных кольцевых решеток Габора, причем каждая из них ответственна за восстановление «своей» точки предмета на стадии реконструкции изображения.

8.13. Разрешающая способность голограммы

Рассмотрим более детально волну, ответственную за создание действительного изображения. Конечно, сходящаяся сферическая волна не фокусируется строго в точку 9 : изображением является не точка, а маленькое дифракционное пятнышко. Действительно, плоская восстанавливающая волна, пройдя сквозь голограмму, преобразуется в сферическую волну (мы говорим сейчас о той части волны, которая ответственна за создание действительного изображения), причем сферический волновой фронт ограничен размерами голограммы. Эта сходящаяся сферическая волна ничем не отличается от сферической волны, возникающей за собирающейся линзой, размер E которой равен размеру голограммы. При фокусировке света линзой возникает дифракционное пятно (пятно Эйри), размер которого определяется формулой (8.109). Ясно, что и голограмма создает изображение — дифракционное пятно, размер которого определяется аналогичной формулой:

в процессе записи, E — размер голограммы. Если записывать на голограмму изображения двух точек, расстояние между которыми меньше , то при восстановлении изображений возникают два пятна, налагающиеся друг на друга так, что, согласно критерию Рэлея, они оказываются неразрешимыми. Сказанное касается, разумеется, и мнимого изображения точечного источника: наблюдателю оно кажется маленьким пятнышком размера , находящимся на расстоянии 0 за голограммой.

Ограничения на разрешающую способность голограммы могут быть связаны также с зернистостью регистрирующей среды. Для того чтобы оценка (8.115) была справедлива, необходимо, чтобы размер зерна фоторегистрирующей среды был меньше мельчайшего размера интерференционных полос на голограмме, возникающих при интерференции предметной и опорной волн.

Вернемся к примеру, рассмотренному выше — голограмме точечного источника. Оценим минимальное расстояние между интерференционными кольцами в зонной пластинке Габора диаметра E (это расстояние уменьшается от центра голограммы к краю). Пусть кольцо, примыкающее к краю голограммы, имеет порядок . Тогда E2 , откуда E2 4 . Минимальное расстояние между кольцами

1 1 1

мы полагаем 1. Отсюда имеем

Итак, чтобы полностью использовать разрешающую способность голограммы размера E, необходимо использовать фоторегистрирующую среду с размером зерна Æз, определяемым условием Æз E.

8.14. Схема с наклонным опорным пучком

При наблюдении голографических изображений, полученных по схеме Габора, действительное и мнимое изображения создают взаимные помехи: изображения 9 и 9 находятся на одной прямой с точкой, в которой расположен глаз наблюдателя (рис. 8.57). Помехи создаются также возникающей при восста-

ного пучка обеспечивается призмой П. Поле предметной вол-

ны на голограмме есть 7п , D 2 0 2 2 (мы вновь используем параболическое приближение). Наклонная опорная волна имеет вид 7о D7о , где 4о # — пространственная частота опорной волны. Мы полагаем, что волны имеют равные