студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

6.5 ] Излучение колеблющегося диполя 521

в направлении своей оси колеблющийся диполь не излучает!

Найдем общую мощность, излучаемую диполем по всем направлениям. Рассмотрим на волновой поверхности — сфере радиуса — элементарное колечко, заштрихованное на рис. 6.11 б. Его площадь

ная энергия, излучаемая в 1 с по всем направлениям 6 9 . Используя (6.26), находим

2

2

Важное следствие полученного выражения: энергия, излучаемая диполем за 1 с, быстро (пропорционально 4) растет с ростом частоты и именно поэтому для передачи радиосигналов используются высокие частоты (в радиовещании от 105 до 108 Гц, что соответствует длинам волн от 3 км до 3 м).

Поскольку колеблющийся диполь излучает энергию, то для поддержания незатухающих гармонических колебаний необходим источник, восполняющий потерю энергии, равную 6. Выражение (6.28) можно представить в виде, аналогичном формуле 6 :2 2, определяющей мощность джоулевых потерь в колебательном контуре с сопротивлением . Поскольку заряд колеблющегося диполя меняется по закону / /0 , то ток

: / /0 :0 , где :0 /0 80 . Исполь- зуя последнее выражение, получим из (6.28):

Роль сопротивления играет величина

2 2

изл 60073

При таком определении формула (6.29) принимает вид

2

6 изл2 +0

Введенная величина изл играет для потерь на излучение ту

же роль, что и сопротивление контура для потерь на нагревание. Величина изл называется сопротивлением излучения.

Вернемся к классической модели атома, согласно которой электрон в атоме совершает гармонические колебания (как ко-

леблющийся осциллятор): 0 . Энергия, запасенная ос-

циллирующим электроном, равна ) 2 2 2 2. Вычисляя ее в момент, когда электрон проходит положение равновесия

( 0 и 0), найдем ) 2 02 2 2820 2/2 . Потери энергии за период колебаний, связанные с излучением, равны

) 6 6 2$ , где 6 определяется формулой (6.29). Добротность нашей колебательной системы найдем, используя (2.42):

Для электрона, колеблющегося с частотой 2$ 6 1014 Гц (излучение зеленого света), используя числовые значения9,1 10 31 кг, / 1,6 10 19 Кл, получим

C 1,4 107

Столь высокой добротностью не обладает ни одна «рукотворная» колебательная система. Время затухания (в течение которого амплитуда осцилляций уменьшается в D раз) равно

> Æ1 29 7,7 10 9 с

Затухание осциллятора, обусловленное излучением электромагнитной волны, называют радиационным затуханием.

6.6. Отражение электромагнитной волны от идеального проводника

Волна (6.30) линейно-поляризована: вектор имеет только -компоненту, а вектор только-компоненту (ось перпендикулярна плоскости рисунка и направлена к читателю).

Как известно, на поверхности проводника (при 0) должно выполняться граничное условие

(равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля). Это условие окажется выполненным, если мы предположим, что наряду с падающей на поверхность проводника волной (6.30) возникает отраженная волна

-1 , ,

(6.32)

1 , 0!

7

Направление отраженной волны противоположно положительному направлению оси , поэтому аргумент косинуса в (6.32) есть . Кроме того, векторы , и ! должны составлять «правую» тройку (как в любой бегущей плоской электромагнитной волне), поэтому при изменении направления волны на противоположное изменяется и направление одного из векторов — либо , либо . Граничное условие (6.31) принимает вид

Подставляя (6.30) и (6.32) в граничное условие (6.33), получаем , т. е. амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны — коэффициент отражения равен единице, а знак « » в последнем равенстве означает, что на поверхности проводника (при 0) колебания поля -1 в отраженной волне происходят в противофазе с колебаниями поля -1 в падающей

волне:

-1 , ,

(6.34)

1 , 0!

7

Тогда результирующая волна в диэлектрике (расположенном над проводником), т. е. сумма волн (6.34) и (6.30), есть

- , -1 , -1 , 2 ,

(6.35)

, 1 , 1 , 2 0!

7

Последние формулы описывают стоячую электромагнитную волну, в которой на поверхности проводника (при 0) находится узел электрического поля - 0, 0 и пучность магнитного поля 0, 2 <1 .

Заметим, что разрыв тангенциальных компонент магнитного поля (внутри идеального проводника 0) обусловлен токами проводимости, которые индуцируются падающей электромагнитной волной.

-компонента вектора ! равна нулю, # и # — соответственно - и -компоненты вектора !1, # — угол между вектором !1 и осью .

Вновь полагаем, что наряду с волной -1 возникает отражен-

ная волна

-1 ,

причем ее амплитуда 1, направление распространения # и начальная фаза должны быть выбраны так, чтобы выполнялось граничное условие — равенство нулю тангенциальной компоненты вектора в суммарной волне на поверхности (при 0). Легко видеть, что это условие выполняется, если амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей волны ( ), угол

На проводящей поверхности (при 0)

-0, , 0,

т.е. требуемое граничное условие выполняется.

водящий стенки (т. е. при ) установить вторую проводящую стенку (параллельно первой), причем выбрать расстояние между

нится, поскольку необходимые граничные условия — равенство нулю тангенциальной компоненты поля на проводящих поверхностях (при 0 и ), автоматически выполняются. При условии (6.39) имеем из (6.38)

Итак, между двумя параллельными проводящими стенками, расположенными на расстоянии друг от друга (коридор между стенками представляет собой простейший волновод) могут распространяться волны вида (6.40): каждому значению отвечает свой тип волны — своя «мода» волновода, разным модам отвечают различные конфигурации поля — различные распределения амплитуды колебаний в фиксированном сечении

где 0 2$ 2$ — длина волны в вакууме.

вданном случае означает, что в плоскости колебания либо синфазны как, например, в моде 1, либо отличаются по фазе на $ как, например, в моде 2, где колебания в области 0 ' ' 2 сдвинуты по фазе на $ по отношению к колебаниям

вобласти 2 ' ' .

Волновые поверхности перемещаются вдоль оси волновода — оси , причем фазовая скорость может быть найдена из (6.40)

и (6.41)

,

Как ясно из (6.44), фазовая скорость волн в волноводе больше скорости света в вакууме.

Расстояние между волновыми поверхностями, на которых фаза колебаний отличается на 2$ (т. е. колебания синфазны) — это длина волны в волноводе, равная

Итак, длина волны в волноводе больше длины волны той же частоты в вакууме.

Наконец, из (6.40) ясно, что если — действительное число, то - , , действительно представляет собой бегущую вдоль оси волну с перемещающимися волновыми поверхностями. Из (6.41) следует, что для этого необходимо выполнение нера-

Таким образом, существует критическая частота кр — минимальная частота волны, которая может распространяться

(бежать) по волноводу. Эта частота отвечает значению 1

Соответствующая длина волны в вакууме кр 2$ кр2 — это максимальное значение длины волны в вакууме, которая может бежать по волноводу. Критическому условию отвечает угол # (направление пары плоских волн, составляющих моду волновода), равный, согласно (6.43):

6.8. Электромагнитная волна на границе раздела двух диэлектриков

Полностью задача падения электромагнитной волны на границу раздела двух диэлектриков решена в § 11.3. Здесь мы приведем лишь результаты, относящиеся к нормальному падению (рис. 6.16), чтобы обратить внимание на аналогию с поведением

двух диэлектриков — оказались выполненными, вновь предположим, что в диэлектрике 1 с диэлектрической проницаемостью <1 (расположенном над границей раздела 0 на рис 6.16) наряду

528 Электромагнитные волны [ Гл. 6

с падающей волной

-1 , 1 1 , G1 , < 1 1 1

(6.48)

возникает отраженная волна

-1 , 1 1 , G1 , < 1 1 1 , (6.49)

а в диэлектрике 2 (<2), расположенном под границей 0 — прошедшая волна:

Используя выражения (6.48), (6.49) и (6.50) при 0, после несложных вычислений получим формулы, связывающие амплитуды отраженной и прошедшей волны с амплитудой падающей

(При 1 ' 2 1 и 2 имеют разные знаки. Это означает, что в отраженной волне колебания вектора 1 противофазны колебаниям вектора 1 в падающей волне при 0. При этом колебания магнитных полей, как видно из (6.49), оказываются синфазными. Рисунок 6.16 соответствует именно этому случаю.)

Для коэффициентов отражения и прохождения, равных соответственно отношению средних за период потоков энергии

вотраженной и прошедшей волнах к среднему потоку энергии

впадающей волне, находим

Обратите внимание на замечательное сходство полученных выражений с формулами (5.40), определяющими коэффициенты отражения и прохождения звуковой волны, падающей на границу раздела двух сред с различными значениями -3 (- — модуль упругости, 3 — плотность).

Эта величина для акустических волн играет ту же роль, что и показатель преломления <1 для электромагнитной волны.

Г л а в а 7

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

7.1. Принцип суперпозиции волн

Пусть в некоторой среде один источник создает волновой процесс 1 , , а другой — волновой процесс 2 , . Согласно принципу суперпозиции, если излучают одновременно два источника, то результирующий волновой процесс , есть

Смысл этого равенства состоит в том, что распространяющиеся одновременно волны не влияют друг на друга, поэтому результирующее возмущение есть просто сумма неискажающих друг друга возмущений. Другими словами, в равенстве (7.1)1 , — это волна, которую создавал бы первый источник (если бы второй волны не было), так же как 2 , — это волна, которую создавал бы второй источник в отсутствие первого.

Опыт подтверждает справедливость принципа суперпозиции в широких пределах: свету далекой звезды, идущему к нам из космоса, не мешает распространяться свет других звезд или свет горящей поблизости лампочки; радиоволны, заполняющие все окружающее пространство, не влияют друг на друга — вращая ручку настройки приемника, мы ловим передачу определенной радиостанции, несмотря на то, что приемник буквально погружен в океан радиоволн; звуки голосов многих людей, разговаривающих в комнате, не отскакивают друг от друга, подобно бильярдным шарам — они беспрепятственно проходят друг сквозь друга, не искажая друг друга.

Итак, для всех линейных волн независимо от их природы, справедлив принцип суперпозиции: можно сказать, что линейность волнового уравнения является математическим отражением (следствием) принципа суперпозиции: если возможны решения 1 , и 2 , , то возможно также и решение (7.1).

Рассматривая в двух последующих главах явления интерференции и дифракции, мы будем иметь в виду либо скалярные, либо векторные, но одинаково поляризованные волны. Под - понимается, таким образом, либо колебания плотности среды при распространении в ней звуковой волны, либо колебания проекции электрического поля в электромагнитной волне (полагаем при этом, что все волны имеют, скажем, только -компоненту),

либо какую-либо другую величину, изменяющуюся по волновым законам. При этом векторная сумма (7.1) заменяется скалярной суммой

Каков же результат наложения двух волн? Рассмотрим вначале наиболее простой, и в то же время исключительно важный случай, а именно, монохроматические волны.

7.2. Интерференция монохроматических волн

Итак, пусть в пространстве распространяются две монохроматические волны одинаковой частоты :

в любой точке наблюдения (радиус-вектор фиксирован) есть сумма гармонических колебаний. Квадрат амплитуды (т. е. интенсивность) результирующего колебания найдем, используя (1.7) (см. § 1.2):

где 2 1 — разность фаз слагаемых колебаний в точке наблюдения. Напомним, что интенсивность : 2 — это величина, равная (с точностью до константы) плотности потока

энергии в монохроматической волне. Равенство (7.3) показывает, что плотность потока энергии в результирующей волне не равна в общем случае сумме плотностей потоков энергии в слагаемых волнах. В пространстве, где налагаются два волновых процесса, происходит перераспределение потоков энер-

гий: в некоторых точках пространства результирующая интен-

сивность оказывается больше суммы интенсивностей :1 21 и

:2 22 слагаемых волн; в других точках, наоборот, результиру-

ющая интенсивность меньше суммы интенсивностей. Результат зависит от интерференционного слагаемого 2 1 2 ,

т. е. от разности фаз колебаний в данной точке наблюдения.

Явление наложения волн, при котором результирующая ин-

тенсивность оказывается не равной в общем случае сумме интенсивностей слагаемых волн, называется интерференцией.

Соотношение (7.3) является основным для описания интерференции двух монохроматических волн. Оно может быть записано в виде