студ ивт 22 материалы к курсу физики / kingsep_as_lokshin_gr_olkhov_oa_kurs_obshchei_fiziki_osnovy

6.1 ] Уравнения Максвелла и волновое уравнение 511

пар, например - и . Продифференцируем первое из уравнений (6.8) по , а второе — по . Мы получим

Мы пришли к важному результату: поле - , подчиняется волновому уравнению, т. е. изменение во времени и пространстве электрического поля - происходит по законам распространения волн, в частности, описывается функцией вида

- , -

Эта функция, как мы знаем, описывает волну, распространяющуюся вдоль оси (в положительном (знак « »), либо в отрицательном (знак « ») направлении оси ), причем скорость волны , как следует из (6.10), есть

в вакууме (< 1 1) и равна

2,998 108 м/с 3 108 м/с

Это одна из самых замечательных мировых констант в физике. Мы могли бы, дифференцируя первое из уравнений (6.8) по , а второе — по , получить (исключив из системы смешанную

производную .2- . . .2- . .) волновое уравнение для магнитного поля :

2 0! 2 ,2 72 2

т. е. точно такое же волновое уравнение, что и (6.10). Этому уравнению подчиняется волновой процесс вида

,

Волна бежит вдоль оси с той же скоростью, что и волна

- . Эта пара волн - , представляет собой бегущую вдоль оси плоскую электромагнитную волну, в которой поле име-

ет только -компоненту, а поле имеет только -компоненту, т. е. колебания полей и происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения — оси . Итак, плоская

электромагнитная волна поперечна (и в этой волне колебания полей и — взаимно перпендикулярны).

Рассмотрев таким же образом пару уравнений (6.9), мы пришли бы к аналогичному выводу: волны - и образуют плоскую электромагнитную волну, бегущую вдоль оси, в которой неразрывно связаны между собой (взаимно индуцируют друг друга) поля - и , эта электромагнитная волна также поперечна.

Вернемся к электромагнитной волне - , . Пусть изменения - в волне описываются некоторой функцией 7 : - 7 , а изменения — функцией :. Используя правило дифференцирования сложной функции, найдем:

где штрих означает дифференцирование по аргументу . Первое из уравнений (6.8) как раз и связывает между собой производные .- . и . .:

7

Интегрируя последнее равенство, получаем

7

Знак « » в последнем равенстве относится к волне, бегущей слева направо (т. е. к аргументу ), а знак « » к волне, бегущей справа налево (к аргументу ). Произвольная постоянная в последнем равенстве представляет собой некоторое статическое поле, которое нас не интересует, поскольку оно не связано с переменными полями, образующими волну. Полагая поэтому 0, находим

6.3. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга

Напомним, что электрическое и магнитное поля обладают энергией. В каждой единице объема, заполненного электрическим и магнитным полями, локализована энергия, равная

516 Электромагнитные волны [ Гл. 6

Это — частный случай теоремы Пойнтинга (разд. II, гл. 9):

изменение энергии электромагнитного поля в единицу времени обусловлено тем, что через сечение 1 в объем втекает энергия, равная 91, а через сечение 2 из объема вытекает

энергия, равная 92. Таким образом, физический смысл величины 9, которую мы определили равенством (6.16), — это плотность потока электромагнитной энергии, т. е. энергия, протекающая

в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Обратим внимание, что для -волны, бегущей слева направо, величины - и имеют одинаковый знак, поэтому в этой волне в любой момент времени 9 0 — энергия течет слева направо.

Вектор S, введеный с помощью равенства

определяет величину и направление потока электромагнитной

энергии и называется вектором плотности потока энергии, или

вектором Пойнтинга.

Рассмотрим поток энергии в волне, бегущей слева направо вдоль оси , которая содержит как -волну, так и -волну. Суммарное электрическое поле этой волны есть

- - ,

где и — единичные орты в направлении осей и соответственно. Магнитное поле волны

G G ,

так как в -волне положительному полю - соответствует отрицательное поле G . Вектор Пойнтинга в сумарной волне есть

- - , G G

Поскольку 0 и 0, то из последнего равенства получаем

9 - G - G 9 9 ,

где 9 и 9 — потоки энергии, которые существовали бы в отдельно взятых -волне и -волне. В частном случае монохроматических волн, используя (6.13), можно получить (упражнение для читателя):

где 9 — среднее значение потока энергии за период колебания.

6.4. Стоячая электромагнитная волна

Рассмотрим суперпозицию двух бегущих навстречу друг другу гармонических волн одинаковой частоты, амплитуды и поляризации (например, две -волны). В волне, бегущей слева направо:

Еще раз подчеркнем, что колебания полей -1 и -2 происхо-

Соотношения (6.20) описывают стоячую электромагнитную волну. Связь между полями - и в этой волне в корне отличается от (6.12) — связи - и в бегущей волне. Напомним, что, согласно (6.12), в любой фиксированной плоскостиколебания полей - и происходят синфазно; там, где в данный момент максимально поле -, там же в этот момент максимально поле (значит, там же в этот момент максимальна плотность электромагнитной энергии и там же максимален и поток энергии). Это — полная аналогия с тем, что происходит в бегущей упругой волне. В стоячей электромагнитной волне колебания - и сдвинуты по фазе на четверть периода:

втот момент времени, когда электрическое поле максимально

вданном месте ( 1), магнитное поле обращается в нуль ( 0) и наоборот. Значит, за четверть периода происходит полное превращение электрической энергии в магнитную и наоборот. Кроме того, пучностям электрического поля ( 1) соответствуют узлы магнитного поля ( 0), т. е. пучности электрического и магнитного полей сдвинуты друг относительно друга на 4 (разумеется, так же сдвинуты друг относительно друга и узлы). Согласно (6.18) поток энергии равен нулю в тех местах, где обращается в нуль либо электрическое поле волны, либо магнитное поле. Следовательно, промежуток пространства, равный 4 (вдоль оси ) — от узла электрического поля до ближайшего узла магнитного поля, не обменивается энергией с соседними участками (сравните с продольной упругой стоячей волной в стержне с закрепленными концами, либо с поперечной волной в натянутой струне). Распределение электрического

- , 2

полностью аналогичны типам упругих стоячих волн в стержне.

6.5. Излучение колеблющегося диполя

Колеблющийся диполь является простейшей системой, излучающей электромагнитную волну. Модель колеблющегося диполя используется при исследовании излучения многих реальных

ременным напряжением , , которым питается осциллятор. Дипольный момент такой системы есть, по определению, / , где — вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному (см. разд. II).

При гармоническом изменении заряда / /0 имеем

где — скорость электромагнитных волн: вибратор находится в вакууме. Кроме того, нас будет интересовать излучение диполя на расстояниях от него, больших по сравнению с длиной волны

При выполнении указанных условий диполь называется точечным.

Согласно классическим представлениям, возбужденный электрон в атоме ведет себя как гармонический осциллятор, совершающий колебания относительно положения равновесия. При этом частота колебаний определяется массой электрона и «жесткостью связи» (см., например, модель атома Томсона, гл. 4.1). В результате гармонических колебаний электрона атом приобретает переменный дипольный момент (6.21).

Приведем без вывода формулы, определяющие электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне, излучаемой колеблющимся диполем:

Формулы (6.23) определяют поля и в точке наблюдения, отстоящей от середины диполя на расстояние . Единичный вектор n направлен от центра диполя к точке наблюдения

(рис. 6.9 б). Обсудим физическое содержание формул (6.23).

1. Поля и определяются второй производной по времени дипольного момента p (вектором ), т. е. ускорением,

с которым меняется заряд диполя / (либо расстояние между зарядами ): волна излучается лишь ускоренно движущимися зарядами.

2.Поля и на расстоянии от колеблющегося диполя

вмомент времени зависят от значения в более ранний момент времени — запаздывание зави-

пендикулярен вектору . Пространственная картина полей и показана на рис. 6.10: линии вектора расположены по

меридианам, а линии — по параллелям сферы с центром

вточке, совпадающей с центром диполя.

4.Поля - и убывают при удалении от диполя обратно пропорционально первой степени расстояния 1 (в отличие от

поля статического диполя, которое убывает по закону 1 3 —

т.е. гораздо быстрее).

5.Излучение диполя обладает определенной анизотропией: амплитуды полей зависят от широтного угла B: - и макси-

мальны в направлении B 0 (т. е. на экваторе) и обращаются в нуль на полюсах (B $ 2).

Найдем, используя (6.21), 8 . Имеем 8

280 ; 8 280 . Подставляя последнее выражение в (6.23), найдем

Важно подчеркнуть, что на больших расстояниях ( ) волновые поверхности, излучаемые колеблющимся диполем, имеют сферическую форму, а амплитуда колебаний убывает по закону 1 — так же, как в сферической волне, излучаемой точечным источником.

На рис. 6.11 а показана полярная диаграмма направленности излучающего диполя — зависимость 9 от B (при фиксиро-